专题04 两角和与差的余弦-北师大版《数学》拓展模块上册《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

专题04 两角和与差的余弦 一、知识梳理 1. 两角和与差的余弦公式 (1) 两角差的余弦公式： (2) 两角和的余弦公式： 2. 公式核心说明 1. 公式结构记忆：余余正正，和减差加 1　 和角：余弦相乘减正弦相乘； 2　 差角：余弦相乘加正弦相乘。 2. 适用范围：为任意角，弧度制、角度制均可使用。 3. 逆用功能：看到 ，可反向合并为单角余弦。 3. 解题常用思路 1. 直接求值：给出角度，逆用公式合并，代入特殊角； 2. 给值求值：已知 ，先求配套三角函数，再套和差余弦； 3. 角变换：拆角，如 等； 4. 诱导公式 + 和差公式综合化简。 2、 题型精练 题型1 直接逆用和差余弦公式求值 【典例 1】计算 答案： 分析：本题考查逆用两角和的余弦公式、特殊角余弦值。 详解：由两角和余弦公式逆用： 原式 【典例 2】计算 答案： 分析：本题考查弧度制下逆用两角和的余弦公式、特殊角三角函数。 详解：逆用和角余弦公式： 原式 题型2 诱导公式 + 和差余弦综合化简求值 【典例 1】计算 答案： 分析：本题考查逆用两角差余弦公式、诱导公式化简三角函数。 详解：原式 由诱导公式 ， 原式 题型 3 综合解答题 【典例 1】已知角为锐角，， (1) 求 ； (2) 若 ， 锐角，求 答案：(1)；(2) 分析：(1) 考查同角三角函数平方关系；(2) 考查拆角、两角差余弦公式、角范围判断符号。 详解：(1)已知 锐角， 故 (2) 已知 锐角，， 所以 3、 知识检测 一、单选题 1．（    ） A． B． C． D． 答案：B 分析：本题考查诱导公式五、六、逆用和、差角的余弦公式化简、求值、诱导公式二、三、四知识点.逆用余弦差角公式与诱导公式可求. 详解：； 故选：B. 2．（   ） A． B． C． D． 答案：A 分析：本题考查逆用和、差角的余弦公式化简、求值知识点.根据两角和的余弦公式求解即可. 详解：， 故选：A 3．（   ） A． B． C． D．1 答案：B 分析：本题考查逆用和、差角的余弦公式化简、求值知识点.根据两角和的余弦公式计算即可. 详解：， 故选：B. 4．（    ） A． B． C． D．1 答案：A 分析：本题考查逆用和、差角的余弦公式化简、求值知识点.由两角差的余弦公式即可得解. 详解：. 故选：A ． 5．等于（    ）. A． B． C． D．1 答案：C 分析：本题考查逆用和、差角的余弦公式化简、求值、求特殊角的三角函数值知识点.根据两角和差的余弦公式和特殊角的三角函数值即可求解. 详解：. 故选：C. 6．（    ） A． B． C． D．1 答案：A 分析：本题考查逆用和、差角的余弦公式化简、求值知识点.直接运用两角和的余弦公式进行计算. 详解：原式. 故选：A. 7．的值为（   ） A．1 B．0 C． D． 答案：D 分析：本题考查逆用和、差角的余弦公式化简、求值、诱导公式二、三、四、求特殊角的三角函数值知识点.逆用两角差的余弦公式，结合诱导公式计算即可. 详解：． 故选：D. 8．已知、均为锐角，且，，则（    ） A． B． C． D． 答案：C 分析：本题考查已知正（余）弦求余（正）弦、已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦知识点.根据同角三角函数的关系结合三角函数的和的公式，即可求解. 详解：因为、均为锐角， 则， ， 故选：C 9．计算：（      ） A． B． C． D．1 答案：B 分析：本题考查逆用和、差角的余弦公式化简、求值知识点.逆用两角差的余弦公式化简求值即可. 详解：， 故选：B. 10．（    ） A． B． C． D． 答案：C 分析：本题考查逆用和、差角的余弦公式化简、求值、特殊角的三角函数值知识点.根据两角差的余弦公式及特殊角的余弦值求解即可 详解：因为. 故选：C. 11．已知，，则（ ） A． B． C． D． 答案：B 分析：本题考查已知正（余）弦求余（正）弦、用和、差角的余弦公式化简、求值、给值求值型问题知识点.由同角三角函数的平方关系式和两角和与差的余弦公式即可得解. 详解：因为，所以，则>0， 所以， 所以. 故选：B. 12．等于（    ） A． B． C． D． 答案：D 分析：本题考查用和、差角的余弦公式化简、求值、特殊角的三角函数值知识点.根据两角和与差的余弦公式求解. 详解：根据两角和与差的余弦公式，可得， . . 所以，. 故选：D. 二、填空题 13．已知，锐角，则________． 答案： 分析：本题考查同角三角函数关系、两角差余弦公式求值。 详解： 故答案为：． 14．_______，_______. 答案： 分析：本题考查用和、差角的余弦公式化简、求值、逆用和、差角的余弦公式化简、求值、诱导公式五、六知识点.由诱导公式得，进而根据余弦的和角公式计算即可；直接利用余弦的和差角公式展开整理即可. 详解：解：因为， 所以； . 故答案为：； 15．已知为锐角，且，，则______. 答案： 分析：本题考查已知正（余）弦求余（正）弦、用和、差角的余弦公式化简、求值知识点.先求得、的值，再通过关系式及两角差的余弦公式求解即可． 详解：因为α，β为锐角，所以，且，， 所以，， 因为， 所以 . 故答案为： 16．已知，则__________. 答案： 分析：本题考查诱导公式一、用和、差角的余弦公式化简、求值知识点.利用诱导公式和余弦和两角和的余弦公式化简得，即可得到结果. 详解：因为 ， 即 所以. 故答案为：. 17．若，，则_________. 答案：11 分析：本题考查用和、差角的余弦公式化简、求值、已知弦（切）求切（弦）知识点.利用两角和（差）的余弦公式展开，求出、，再根据商数关系即可得解. 详解：因为，所以-=， 因为，所以+=-， 所以，， 所以. 故答案为：11 三、解答题 18．已知角均为锐角，且,求的值． 答案： 分析：本题考查已知正（余）弦求余（正）弦、用和、差角的余弦公式化简、求值知识点.先由诱导公式化简，再由同角三角函数的平方关系求解的值，再由两角和的余弦公式求解即可. 详解：已知为锐角，， 则； ∵，则， ∴=， ∴. 19．求下列各式的值： (1)； (2)． 答案：(1) (2) 分析：本题考查诱导公式五、六、逆用和、差角的余弦公式化简、求值、求特殊角的三角函数值知识点.（1）（2）利用两角和（差）的余弦公式得解． 详解：（1）原式． （2）原式． 20．（1）已知化简求值： ； （2）已知且求的值. 答案：（1）；（2） 分析：本题考查三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦、三角函数的化简、求值——诱导公式知识点. （1）根据诱导公式，将所求进行化简，再分子分母同时除以，计算求值，即可得答案. （2）根据条件，求出的范围，根据同角三角函数的关系，可得，的值，根据两角差的余弦公式，化简计算，即可得答案. （1）由诱导公式得. （2）因为，所以， 因为，， 所以，， 则 . 21．已知，且，均为锐角，求的值． 答案： 分析：本题考查已知正（余）弦求余（正）弦、已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦、已知角或角的范围确定三角函数式的符号知识点.根据同角三角函数的基本关系，可得，，再利用两角和的余弦公式可求解. 详解：因为，且，均为锐角， 所以， . 所以= 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $中职精品 ⊙AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 专题04两角和与差的余弦 一、知识梳理 1.两角和与差的余弦公式 (1)两角差的余弦公式： cos(a-β)=cos a cosβ+sinasinβ (2)两角和的余弦公式： cos(a+β)=cos a cos阝-sin asinβ 2.公式核心说明 1.公式结构记忆：余余正正，和减差加 ①和角：余弦相乘减正弦相乘： ②差角：余弦相乘加正弦相乘。 2.适用范围：0、阝为任意角，弧度制、角度制均可使用。 3.逆用功能：看到cos A cos B±sin A sin B,可反向合并为单角余弦。 3.解题常用思路 1.直接求值：给出角度，逆用公式合并，代入特殊角： 2.给值求值：已知sin0、c0sβ，先求配套三角函数，再套和差余弦： 3.角变换：拆角，如70°=95°-25°、45°+15°=60°等： 4.诱导公式+和差公式综合化简。 二、题型精练 题型1直接逆用和差余弦公式求值 【典例1】计算cos37°cos23°-sin37°sin23 11 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 1 sin 【典例2】计算c如s名cos君-sin 题型2诱导公式+和差余弦综合化简求值 【典例1】计算cos50°cos95°+sin50°sin95° 题型3综合解答题 【典例1】已知角o为锐角，sin0= (1)求C0s0: 5 ②若co(a+p)-i3B锐角，求cosB 22 ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 三、知识检测 一、单选题 1.cos25°cos95°+sin25°sin95°=() A.cos20° B.sin20° C.-cos20° D.-sin20° 2.cos37°cos23°-sin37°sin23°=() 1 V3 5 A.2 B.2 C.2 3.cosπc sin 2sin) 1 √2 A.2 B.2 C. 2 D.1 4.cos45cosl5°+sin45sinl5°=() 5 √2 1 A.2 B.2 C.2 D.1 5.cos79°cos34°+sin79°sin34°等于(). 1 5 √2 A.2 B.2 C. 2 D.1 6.cos32°cos13°-sin32°sinl3°=() √2 5 A.2 B.2 c.2 D.1 7.cos15cos75°+sinl5°sin75°的值为() 1 A.1 B.0 c.2 D. 8.已知a、B均为锐角，且cosa=号 cos-12 3,则cos(a+B)=() 33 ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 16 A.-65 16 33 6 B.65 C.65 D. 65 9.计算：cos70°cos25°+sin70°sin25°=() √2 A.2 B.2 C.2 D.1 10.cos70°cos40°+sin70°sin40°=() 1 A.2 B. 2 5 3 C.2 D.2 则cosa=() B. 4 C.5 n号 12. cos(60+a)+cos(60-)等于() A.cos120 B sina C.3cosa D cosa 二、填空题 13.已知c0sa= 3,cos B=1 4 a,β锐角，则cos(a-B)= cos 14.sinl15sin70°-sin25°sin20°= 6 15.已知a,B为锐角，且cosa=4,cos(a+P)三-3，则coSB= 16.已知cos(a+765）=4,则cosa-sina= 17.若osa+A)-,os(e-)-号.则mamB= 44 ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 三、解答题 18.己知角，B均为锐角，月sma-3的 5.cos(x-B)--o 10,求cos(a+P)的值. 19.求下列各式的值： (1)cos20cos40°-sin20°sin40°. (2)sin5cos40°+sin85sin40° sin(元-a)-sin +c 2 20.(1)己知 化简求值： 3cos - -5cos(π+a) tana=2 2W sina= (2)已知（ 5 ,sin(a+B)=_3 ,求cosB的值 55 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 21,已如nu=分，sn月=且a:B均为能角，求osa+阴的值. 66 ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！