5.3 第2课时 工程问题-【初中学霸创新题】2026-2027学年七年级上册数学同步课件（人教版·新教材）

该初中数学课件聚焦一元一次方程的工程问题应用，核心知识点包括工作量、工作效率、工作时间的关系及方程解法。课堂通过问题导入（甲、乙单独完成工作的效率计算），结合复习解一元一次方程步骤，搭建从方程解法到实际应用的学习支架。 其亮点在于用表格梳理数量关系，培养数学眼光中的抽象能力和几何直观，例题详解归纳“审设列解验答”六步，强化数学思维的推理意识和运算能力。分层练习帮助学生用数学语言（方程模型）解决实际问题，提升应用意识，教师可直接使用分层资源提高教学效率。

5.3 实际问题与一元一次方程 第五章 一元一次方程 第2课时 工程问题 学习目标 1.理解工程问题的背景，分清有关数量关系，能正确找出作为列方程依据的主要等量关系. 2.进一步掌握用一元一次方程解决实际问题的基本过程. 重点 难点 回顾复习 解一元一次方程的一般步骤： 去括号 移项 合并同类项 系数化为1 去分母 问题导入 一项工作甲单独做 a 天完成，乙单独做 b 天完成，那么甲每天的工作效率是 ，乙每天的工作效率是 ，两人合作3天完成的工作量是 ，此时剩余的工作量是 . 例题详解 如果把总工作量设为1，则人均效率 (一个人 1 h 完成的工作量) 为，x人先做 4 h 完成的工作量为， 增加 2 人后再做 8 h 完成的工作量为， 这两个工作量之和等于总工作量. 例2 整理一批图书，由一个人做要 40 h 完成. 现计划由一部分人先做 4 h，然后增加 2人与他们一起做8 h，完成这项工作. 假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？ 分析：在工程问题中：工作量=人均效率×人数×时间；工作总量=各部分工作量之和. 如果设先安排 x人做4 h，你能列出方程吗？ 人均效率 人数 时间 工作量 前一部分工作 x 4 后一部分工作 x＋2 8 × × ＝ 工作量之和等于总工作量1 × ＝ × 解：设先安排 x 人做4 h，根据题意得等量关系： 可列方程 解方程，得 4x＋8(x＋2)＝40， 4x＋8x＋16＝40， 12x＝24， x＝2. 答：应先安排 2人做4 h. 前部分工作总量+后部分工作总量=总工作量1 小结 1.工程问题中的基本量: 工作量、工作效率、工作时间. 2.工程问题中的基本数量关系： 工作量=工作效率×工作时间； 合作的效率=各单独做的效率和； 总工作量=各部分工作量之和. 小结 1. 我们常把总工作量看作1，此时工作效率可以用工作时间的倒数来表示，即工作效率 . 2. 多人合作时，合作效率=多人效率之和. 3. 有时会利用“工作量=人均效率×时间×人数”的关系列方程. 归纳 用一元一次方程解决实际问题的基本过程： 用一元一次方程解决实际问题的基本过程： 审 设 列 解 验 答 审：审清题意，找出题中的数量关系，分清题中的已知量、未知量. 设：设未知数，用未知数表示其他未知量. 列：根据题中的相等关系，列出一元一次方程. 解：解所列出的一元一次方程. 验：检验所得的解是否符合题意. 答：写出答案(包括单位). 小结 设未知数的常见方法 1.一般情况下，题中问什么就设什么，即设直接未知数； 2.特殊情况下，设直接未知数难以列出方程时，可设另一个相关的量为未知数，即设间接未知数； 3.在某些问题中，为了便于列方程，可以设辅助未知数. 注意 1. 设未知数时，如果有单位，要加上单位. 2. 列方程时，等号两边量的单位要一致. 3. 检验有两层含义：一是检验所得结果是不是方程的解；二是检验方程的解是否符合实际问题的意义. 随堂练习 1.加工某种工件，甲单独作要20天完成，乙只要10就能完成任务，现在要求二人在12天内完成任务．问乙需工作几天后甲再继续加工才可正好按期完成任务？ 效率 时间 工作量 甲 乙 x 12-x 解：设乙需工作x天后甲再继续加工才可正好按期完成任务，则甲做了（12-x）天. 依题意，得 解得 x=8. 答：乙需工作 8 天后甲再继续加工才可正好按期完成任务. 想一想：若要求二人在8天内完成任务，乙先加工几天后，甲加入合作加工，恰好能如期完成任务？ 效率 时间 工作量 甲 乙 8 x 解：设甲加工x天，两人如期完成任务，则在甲加入之前，乙先工作了(8-x)天. 依题意，得 解得x=4,则8-x=4. 答：乙需加工4天后,甲加入合作加工才可正好按期完成任务. 2.一条地下管线由甲工程队单独铺设需要12天，由乙工程队单独铺设需要24天. 如果由这两个工程队从两端同时施工，要多少天可以铺好这条管线？ 分析：把工作量看作单位“1”，则甲的工作效为 ，乙的工作效率为 ，根据工作效率×工作时间=工作量，列方程. 解方程，得 x = 8. 答：要8天可以铺好这条管线. 解：设要 x 天可以铺好这条管线，由题意,得 拓展提升 1.为了保证机场按时通航，通往机场的高速公路需要及时翻修完工，已知甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成，若甲、乙两队合作5天后，再由乙队单独完成剩余的工作量，共需要多少天？ 解：设共需 x 天. 根据甲、乙两队合作5天完成的工作量+乙队单独完成剩余的工作量=总工作量， 列出方程 ， 解得 x=7.5. 答：若甲、乙两队合作5天后，再由乙队单独完成剩余的工作量，共需要7.5天. 2.检查一处住宅区的自来水管，甲单独完成需14天，乙单独完成需18天，丙单独完成需12天，前7天由甲、乙两人合作，但乙中途离开了一段时间，后2天由乙、丙两人合作完成，则乙中途离开了几天？ 解：设乙中途离开了 x 天. 根据题意，得 ， 即 ， 去分母，得 9+(7-x)+2+3=18， 解得 x=3. 答：乙中途离开了3天. 归纳小结 1.工程问题中的基本量: 工作量、工作效率、工作时间. 2.工程问题中的基本数量关系： 工作量=工作效率×工作时间； 合作的效率=各单独做的效率和； 总工作量=各部分工作量之和. 3.用一元一次方程解决实际问题的基本过程如下： 实际问题 设未知数，列方程 一元一次方程 实际问题的答案 解方程 一元一次方程的解 (x=a) 检验 绿卡图书—走向成功的通行证 $