1.4.2.1 距离问题 课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间距离问题，涵盖点到直线、点到平面及平行关系的距离求解。以立交桥设计距离计算为导入，通过问题驱动引导学生推导向量公式，结合长方体典例及延伸探究，构建从基础到综合的学习支架。 其亮点在于以现实问题培养数学眼光，通过公式推导和多方法解题发展数学思维，用向量语言表达空间关系提升数学语言能力。典例采用坐标法与几何法对比，分层练习兼顾基础与拓展，助力学生深化空间观念，也为教师提供系统教学资源。

距离问题 第一章　1.4.2　第1课时 学习目标 1.理解并掌握点到直线的距离、点到平面的距离的向量表示，理解运用向量运算求解空间距离的原理.(重点) 2.能运用点到直线、点到平面的距离公式解决立体几何中有关距离的问题，掌握用空间向量解决立体几何问题的“三部曲”.(难点) 立交桥是伴随着高速公路应运而生的.城市的立交桥不仅大大方便了交通，而且成为城市建设的美丽风景.在设计过程中，工程师需要计算出上、下纵横高速公路之间的距离、立交桥上的高速公路与地面之间的距离，工程师是如何计算出来的？ 导语 3 内容索引 01 02 点、直线、平面到平面的距离 点到直线的距离 04 随堂演练 03 课时对点练 01 点到直线的距离 问题 1 提示　如图，设=a，则向量在直线l上的投影向量=(a·u)u.|| =|(a·u)u|=|a·u|，在Rt△APQ中，由勾股定理，得点P到直线l的距离为 PQ==. 已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点.请找出向量在直线l上的投影向量，其模为多少？如何利用这些条件求点P到直线l的距离？ 点到直线的距离 已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设=a，则向量在直线l上的投影向量=(a·u)u.在Rt△APQ中，由勾 股定理，得PQ==. 知识梳理 　在长方体OABC-O1A1B1C1中，OA=2，AB=3，AA1=2，求O1到直线AC的距离. 典例 解： 方法一　连接AO1，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(2，0，0)，O1(0，0，2)，C(0，3，0)， ∴=(-2，0，2)，=(-2，3，0)， ∴·=(-2，0，2)·(-2，3，0)=4， 取a==(-2，0，2)，u==， ∴a·u=，∴O1到直线AC的距离d==. 8 　在长方体OABC-O1A1B1C1中，OA=2，AB=3，AA1=2，求O1到直线AC的距离. 典例 解： 方法二　建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2，0，0)，O1(0，0，2)，C(0，3，0)，过O1作O1D⊥AC于点D，设D(x，y，0)， 则=(x，y，-2)，=(x-2，y，0). ∵=(-2，3，0)，⊥，∥， ∴解得 10 　在长方体OABC-O1A1B1C1中，OA=2，AB=3，AA1=2，求O1到直线AC的距离. 典例 解： ∴D， ∴||==. 即O1到直线AC的距离为. 11 在典例的条件下，M，N分别是O1A1，O1C1的中点，证明：MN∥AC，并求直线MN与AC的距离. 延伸探究1 解： 建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2，0，0)，C(0，3，0)，M(1，0， 2)，N， ∴=(-2，3，0)，==， ∴∥，又MN与AC不重合， ∴MN∥AC，故点M到直线AC的距离即所求距离.直线AC的单位方向向量 u==，=(1，0，-2)， 12 在典例的条件下，M，N分别是O1A1，O1C1的中点，证明：MN∥AC，并求直线MN与AC的距离. 延伸探究1 解： ∴点M到直线AC的距离d===， 所以直线MN与AC的距离为. 13 (1)用向量法求点到直线的距离的一般步骤 ①求直线的单位方向向量u. ②计算所求点与直线上某一点所构成的向量a. ③利用公式d=. (2)如果求空间中两条平行直线l，m间的距离，可在其中一条直线(如l)上任取一点P，将两条平行直线的距离转化为点P到另一条直线m的距离求解. 反思感悟 14 02 点、直线、平面到平面的距离 问题 2 已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点.如何利用向量与n求点P到平面α的距离？ 提示　过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，向量在向量n上的投影向量为，借助数量积运算可知||=，向量的长度与P到平面α的距离相等，故点P到平面α的距离为PQ=. 点到平面的距离 已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则点P到平面α的距离PQ=. 知识梳理 注意点 实质上，n是直线l的方向向量，点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度. 18 在典例的条件下，E，F分别为AB，BC的中点.求点O到平面O1EF的距离. 延伸探究2 解： 建立如图所示的空间直角坐标系， 则O(0，0，0)，O1(0，0，2)， E，F(1，3，0)， ∴=，=， 设平面O1EF的法向量为n=(x，y，z)， 则即 19 在典例的条件下，E，F分别为AB，BC的中点.求点O到平面O1EF的距离. 延伸探究2 解： 取y=2，则x=3，z=，∴n=， 又=(0，0，2)， ∴点O到平面O1EF的距离为 ==. 20 在典例及延伸探究1，2的条件下，证明：MN∥平面O1EF，并求直线MN到平面O1EF的距离. 延伸探究3 解： 建立如图所示的空间直角坐标系， 易知MN∥AC，AC∥EF， ∴MN∥EF， 又MN⊄平面O1EF，EF⊂平面O1EF， ∴MN∥平面O1EF， ∴点M到平面O1EF的距离即所求距离. 由延伸探究2知，平面O1EF的一个法向量为n=，=(-1，0，0)， 21 在典例及延伸探究1，2的条件下，证明：MN∥平面O1EF，并求直线MN到平面O1EF的距离. 延伸探究3 解： ∴点M到平面O1EF的距离为 ==， 故直线MN到平面O1EF的距离为. 22 在典例及延伸探究1，2的条件下，证明平面BMN∥平面O1EF，并求两平面的距离. 延伸探究4 解： 建立如图所示的空间直角坐标系， 则M(1，0，2)，N，B(2，3，0)， ∴=，=(-1，-3，2)， 设平面BMN的法向量为m=(a，b，c)， 则即 取b=2，则a=3，c=， 23 在典例及延伸探究1，2的条件下，证明平面BMN∥平面O1EF，并求两平面的距离. 延伸探究4 解： ∴m==n， ∴平面BMN∥平面O1EF， ∴点M到平面O1EF的距离与两平面的距离相等， 由延伸探究3知，所求距离为. 24 (1)用向量法求点面距离的步骤 ①建系：建立恰当的空间直角坐标系. ②求点坐标：写出(求出)相关点的坐标. ③求向量：求出相关向量的坐标(，α内两不共线向量，平面α的法向量n). ④求距离d=. 反思感悟 25 (2)如果直线l∥平面α，求直线l到平面α的距离，可在 直线l上任取一点P，则点P到平面α的距离等于直线l 到平面α的距离. (3)如果两个平面α，β互相平行，求这两个平行平面的距离，可在其中一个平面α内任取一点P，则点P到平面β的距离等于这两个平行平面的距离. 反思感悟 26 课堂小结 1.知识清单： (1)点到直线的距离. (2)点到平面的距离与直线到平面的距离和两个平行平面的距离的转化. 2.方法归纳：数形结合、转化法. 3.常见误区：对距离公式理解不到位，在使用时生硬套用.对公式推导过程的理解是应用的基础. 27 03 随堂演练 1 2 3 4 1.已知A(2，2，1)，B(3，2，0)，则点P(2，0，-1)到直线AB的距离为 A. B.2 C. D. 解析： 因为A(2，2，1)，B(3，2，0)，P(2，0，-1)，则=(1，0，-1)，=(0，-2，-2)， 所以点P到直线AB的距离 d===. √ 2.若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA=PB=PC=1，则点P到平面ABC的距离是 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 1 2 3 4 解析： 以P为坐标原点，分别以PA，PB，PC所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则P(0，0，0)，A(1，0，0)， B(0，1，0)，C(0，0，1). 可以求得平面ABC的一个法向量为n=(1，1，1)， 则点P到平面ABC的距离为d==. 1 2 3 4 3.已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1，则平面AB1C与平面A1C1D之间的距离为 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 解析： 建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(1，0，0)， C1(0，1，0)，D(0，0，1)，A(1，0，1)， 所以=(1，0，-1)， =(0，1，-1)， =(-1，0，0)， 设平面A1C1D 的一个法向量为m=(x，y，1)， 则即解得 1 2 3 4 解析： 故m=(1，1，1)， 显然平面AB1C∥平面A1C1D， 所以平面AB1C与平面A1C1D之间的距离d===. 1 2 3 4 4.已知AB∥平面α，平面α的一个法向量n=(1，0，1)，平面α内一点C的坐标 为(0，0，1)，点A的坐标为(1，2，1)，则直线AB到平面α的距离为　　. 解析： 因为AB∥平面α，所以直线AB到平面α的距离可转化为点A到平面α的距离， 又=(-1，-2，0)，n=(1，0，1)，则点A到平面α的距离d===. 04 课时对点练 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 对一对 13 14 15 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A B D D AB A 题号 9 11 12 13 15 16 答案 2 D ± ABC B C 16 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (1)因为四边形AEC1F为平行四边形，所以=， 设DF=a，以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 由AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1， 则B(2，4，0)，A(2，0，0)，E(2，4，1)，C1(0，4，3)，F(0，0，a)， 所以=(-2，0，a)，=(-2，0，2)，所以(-2，0，a)=(-2，0，2)，则a=2， 所以F(0，0，2)，所以=(-2，-4，2). 所以||==2，即线段BF的长为2. 13 14 15 16 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)由(1)得，C(0，4，0)，又C1(0，4，3)，A(2，0，0)，E(2，4，1)， 所以=(0，0，3)，=(0，4，1)，=(-2，0，2)， 设平面AEC1F的法向量为n=(x，y，z)， 则 令x=1，则y=-，z=1，所以n=， 所以点C到平面AEC1F的距离d====. 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (1)证明　∵AB=AC=2，BC=2， ∴AB2+AC2=BC2，故AB⊥AC. 又平面AA1C1C⊥平面ABC，平面AA1C1C∩平面ABC=AC，AB⊂平面ABC， ∴AB⊥平面AA1C1C. ∵A1C⊂平面AA1C1C，∴AB⊥A1C， 又A1C⊥BC1，AB，BC1⊂平面ABC1，BC1∩AB=B，∴A1C⊥平面ABC1. 14. 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)解　∵A1C⊥平面ABC1，AC1⊂平面ABC1， ∴A1C⊥AC1，∴四边形AA1C1C为菱形， 取A1C1的中点E，连接AE，∵∠ACC1=60°， ∴△AA1C1为等边三角形. ∴AE⊥A1C1. 又AC∥A1C1，∴AE⊥AC. 又AB⊥平面AA1C1C，AE⊂平面AA1C1C， ∴AB⊥AE. 14. 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 如图所示，以点A为坐标原点，分别以AB，AC，AE 所在直线为x轴、y轴、z轴， 建立空间直角坐标系. 则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，A1(0，-1， )，C1(0，1，)， ∴=(0，-1，)，=(-2，0，0)，=(-2，1，)，=(-2，2，0)， 又=λ， 14. 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ∴=(0，-λ，λ)， ∴=+=(-2，-λ，λ)， 设n=(x，y，z)为平面BPC1的法向量， 则 令x=λ，则n=. 设d为点C到平面BPC1的距离， 14. 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 则d===， ∴28λ2-16λ+1=0， 即λ=或λ=. 故存在λ=或λ=，满足题意. 14. 13 14 15 16 1.AD为△ABC边BC上的高，在空间直角坐标系中，A(2，1，2)，B(1，0，0)，C(-1，2，4)，AD等于 A. B. C. D. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 基础巩固 13 14 15 解析： 依题意，=(1，1，2)，=(-2，2，4)， 则||=，=， 所以AD===. 16 √ 2.若平面α过点A(2，3，0)且该平面的一个法向量为n=(2，1，1)，则点P(1，1，5)到平面α的距离为 A. B. C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 由题意可知=(-1，-2，5)，且平面α的一个法向量为n=(2，1，1)，所以点P(1，1，5)到平面α的距离d===. 16 3.如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=1，BC=2，AA1=3，则点B到直线A1C的距离为 A. B. C. D.1 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 方法一　由题意得A1(0，0，3)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，=(1，2，-3)，=(0，2，0)， 所以点B到直线A1C的距离d===. 方法二　过点B作BE垂直A1C，垂足为E(图略)，设点E的坐标为(x，y，z)，则A1(0，0，3)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，=(1，2，-3)，=(x，y，z-3)，=(x-1，y，z). 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 因为所以 解得 所以=， 所以点B到直线A1C的距离为||==. 16 4.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AB，BC的中点，则点C1到平面B1EF的距离等于 A. B. C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析： 以D1为坐标原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正 方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则B1(2，2，0)，C1(0，2，0)，E(2，1，2)，F(1，2，2). =(0，-1，2)，=(-1，0，2)， 设平面B1EF的法向量为n=(x，y，z)， 则即 令z=1，得n=(2，2，1). 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析： 又∵=(-2，0，0)， ∴点C1到平面B1EF的距离 d===. 5.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G=λ(0<λ<2)，则点G到平面D1EF的距离为 A.2 B. C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析： 以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则G(2，λ，2)，D1(0，0，2)，E(2，0，1)，F(2，2，1)， 所以=(2，0，-1)，=(2，2，-1)，=(0，-λ，-1)， 设平面D1EF的法向量为n=(x，y，z)， 则 令x=1，则y=0，z=2，所以平面D1EF的一个法向量n=(1，0，2). 点G到平面D1EF的距离为==. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)点M在z轴上，它与经过坐标原点O且方向向量为s=(1，-1，1)的直线l的距离为，则点M的坐标是 A.(0，0，-3) B.(0，0，3) C.(0，0，) D.(0，0，-) 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 √ 解析： 设M(0，0，m)，则=(0，0，m)， 又直线l的方向向量为s=(1，-1，1)， 所以点M到直线l的距离d===， 所以m=±3，则M(0，0，3)或M(0，0，-3). 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都是a，且AB⊥AD，∠A1AB=∠A1AD=60°，E为CC1的中点，则点E到直线AC1的距离为 A.a B.a C.a D.a 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： ∵在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，不妨设=d，=b，=c. 则=++=d+b+c， =-c， 又|d|=|b|=|c|=a，AB⊥AD，∠A1AB=∠A1AD=60°，则d·b=0，d·c=b·c=a×a×=a2， 所以||=|d+b+c|==a，||=a， ·=-c·(d+b+c)=-(c·d+c·b+c·c)=-a2， 所以点E到直线AC1的距离为d===a. 16 8.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，若M，N，P，Q分别为A1B1， BC，A1D1，DC的中点，则直线MN与直线PQ之间的距离为　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析： 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则M，N，P，Q，所以=，=， 显然∥，而点P不在直线MN上，则有MN∥PQ， 因此，直线MN与直线PQ之间的距离即为点P到直线MN的 距离，而=， 所以直线MN与直线PQ之间的距离d===. 9.在三棱柱ABC-A1B1C1中，=(-6，2，-8)，=(4，-2，3)，=(-4，1，0)，则该三棱柱的高为　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 由题意知，==(-4，1，0)， 该三棱柱的高即为点A1到平面ABC的距离d， 设n=(x，y，z)是平面ABC的法向量， 则 令x=1，解得y=4，z=， ∴n=， ∴d===2. 16 10.底面ABCD为矩形的长方体被截面AEC1F所截得到的多面体如图所示，其中AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1，四边形AEC1F为平行四边形. (1)求线段BF的长； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解： 13 14 15 16 因为四边形AEC1F为平行四边形，所以=， 设DF=a，以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 由AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1， 则B(2，4，0)，A(2，0，0)，E(2，4，1)，C1(0，4，3)，F(0，0，a)， 10.底面ABCD为矩形的长方体被截面AEC1F所截得到的多面体如图所示，其中AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1，四边形AEC1F为平行四边形. (1)求线段BF的长； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解： 13 14 15 16 所以=(-2，0，a)，=(-2，0，2)， 所以(-2，0，a)=(-2，0，2)，则a=2， 所以F(0，0，2)，所以=(-2，-4，2). 所以||==2，即线段BF的长为2. 10.底面ABCD为矩形的长方体被截面AEC1F所截得到的多面体如图所示，其中AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1，四边形AEC1F为平行四边形. (2)求点C到平面AEC1F的距离. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解： 13 14 15 16 由(1)得，C(0，4，0)，又C1(0，4，3)，A(2，0，0)， E(2，4，1)， 所以=(0，0，3)，=(0，4，1)，=(-2，0，2)， 设平面AEC1F的法向量为n=(x，y，z)， 10.底面ABCD为矩形的长方体被截面AEC1F所截得到的多面体如图所示，其中AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1，四边形AEC1F为平行四边形. (2)求点C到平面AEC1F的距离. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解： 13 14 15 16 则 令x=1，则y=-，z=1，所以n=， 所以点C到平面AEC1F的距离d====. 11.已知正方体ABCD-A1B1C1D1，在空间中到三条棱AB，CC1，A1D1所在的直线距离相等的点有 A.0个 B.2个 C.3个 D.无数个 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 综合运用 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析： 在正方体ABCD-A1B1C1D1上建立如图所示的空间直角坐标系，设该正方体的棱长为1，则D(0，0，0)，B1(1，1，1)， 连接B1D，并在B1D上任取一点P， 因为=(1，1，1)， 所以设P(a，a，a)，其中0≤a≤1. 作PE⊥平面AA1D1D，垂足为E，再作EF⊥A1D1，垂足为 F，连接PF， 则PF是点P到直线A1D1的距离. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析： 所以PF=； 同理点P到直线AB，CC1的距离也是. 所以B1D上任一点与正方体ABCD-A1B1C1D1的三条棱AB， CC1，A1D1所在直线的距离都相等， 所以与正方体ABCD-A1B1C1D1的三条棱AB，CC1，A1D1 所在的直线的距离相等的点有无数个. 12.已知A，B，C，P是空间中不共面的四点，满足=(0，0，c)，=(-a，b，0)，=(a，0，0)，若a2+b2=4，且点P到平面ABC的距离等于1，则a的值为　　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ± 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 由=(0，0，c)，=(-a，b，0)， =(a，0，0)， 设平面ABC的法向量为n=(x1，y1，z1)， 则 取x1=b，可得y1=a，z1=0，即n=(b，a，0)， 则点P到平面ABC的距离 d====1， 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 所以|ab|=2，即a2b2=4，又a2+b2=4， 所以(a2-b2)2=(a2+b2)2-4a2b2=42-42=0， 所以a2=b2=2，所以a=±. 16 13.(多选)如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为CD，A1B1的中点，则下列结论正确的是 A.点F到点E的距离为 B.点F到直线ED1的距离为 C.点F到平面AED1的距离为 D.平面BFC1到平面AED1的距离为 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析： 以D为原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系. 由题意知，A(1，0，0)，E，D1(0，0，1)，F， =(-1，0，-1)，=， =(-1，0，1)，=. 设平面AED1的法向量为n=(x，y，z)， 所以 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析： 令x=1，则n=(1，2，1). 点F到点E的距离||==，故A正确； 点F到直线ED1的距离为 ==，故B正确； 点F到平面AED1的距离d===，故C正确； 由正方体的性质可知，平面BFC1∥平面AED1，平面BFC1到平面AED1的 距离即为点F到平面AED1的距离，为，故D错误. 14.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面AA1C1C⊥平面ABC，AB=AC=2，BC=2，∠ACC1=60°，A1C⊥BC1，P为线段AA1上一点，且=λ，λ∈[0，1]. (1)证明：A1C⊥平面ABC1； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵AB=AC=2，BC=2， ∴AB2+AC2=BC2，故AB⊥AC. 又平面AA1C1C⊥平面ABC，平面AA1C1C∩平面ABC=AC，AB⊂平面ABC， ∴AB⊥平面AA1C1C. ∵A1C⊂平面AA1C1C，∴AB⊥A1C， 又A1C⊥BC1，AB，BC1⊂平面ABC1，BC1∩AB=B，∴A1C⊥平面ABC1. 证明： 14.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面AA1C1C⊥平面ABC，AB=AC=2，BC=2，∠ACC1=60°，A1C⊥BC1，P为线段AA1上一点，且=λ，λ∈[0，1]. (2)是否存在实数λ，使得点C到平面BPC1的距离为？若 存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵A1C⊥平面ABC1，AC1⊂平面ABC1， ∴A1C⊥AC1，∴四边形AA1C1C为菱形， 取A1C1的中点E，连接AE，∵∠ACC1=60°， ∴△AA1C1为等边三角形. 解： 14.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面AA1C1C⊥平面ABC，AB=AC=2，BC=2，∠ACC1=60°，A1C⊥BC1，P为线段AA1上一点，且=λ，λ∈[0，1]. (2)是否存在实数λ，使得点C到平面BPC1的距离为？若 存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴AE⊥A1C1. 又AC∥A1C1，∴AE⊥AC. 又AB⊥平面AA1C1C，AE⊂平面AA1C1C， ∴AB⊥AE. 解： 14.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面AA1C1C⊥平面ABC，AB=AC=2，BC=2，∠ACC1=60°，A1C⊥BC1，P为线段AA1上一点，且=λ，λ∈[0，1]. (2)是否存在实数λ，使得点C到平面BPC1的距离为？若 存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解： 如图所示，以点A为坐标原点，分别以AB，AC，AE所 在直线为x轴、y轴、z轴， 建立空间直角坐标系. 则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，A1(0，-1，)，C1(0，1，)， 14.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面AA1C1C⊥平面ABC，AB=AC=2，BC=2，∠ACC1=60°，A1C⊥BC1，P为线段AA1上一点，且=λ，λ∈[0，1]. (2)是否存在实数λ，使得点C到平面BPC1的距离为？若 存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解： ∴=(0，-1，)，=(-2，0，0)，=(-2，1，)，=(-2，2，0)， 又=λ， ∴=(0，-λ，λ)， ∴=+=(-2，-λ，λ)， 14.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面AA1C1C⊥平面ABC，AB=AC=2，BC=2，∠ACC1=60°，A1C⊥BC1，P为线段AA1上一点，且=λ，λ∈[0，1]. (2)是否存在实数λ，使得点C到平面BPC1的距离为？若 存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解： 设n=(x，y，z)为平面BPC1的法向量， 则 令x=λ，则n=. 14.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面AA1C1C⊥平面ABC，AB=AC=2，BC=2，∠ACC1=60°，A1C⊥BC1，P为线段AA1上一点，且=λ，λ∈[0，1]. (2)是否存在实数λ，使得点C到平面BPC1的距离为？若 存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由. 解： 设d为点C到平面BPC1的距离， 则d===， ∴28λ2-16λ+1=0，即λ=或λ=. 故存在λ=或λ=，满足题意. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.在空间直角坐标系中，定义：平面α的一般方程为Ax+By+Cz+D=0(A，B，C，D∈R，且A，B，C不同时为零)，点P(x0，y0，z0)到平面α的距离d=，则在底面边长与高都为2的正四棱锥P-EFGH中，底面中心O到侧面PEF的距离d等于 A. B. C. D. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析： 以底面中心O为原点，建立空间直角坐标系Oxyz，如图所示， 则O(0，0，0)，E(1，1，0)，F(-1，1，0)，P(0，0，2)， 设平面PEF的方程为Ax+By+Cz+D=0(A，B，C，D∈R， 且A，B，C不同时为零)，将点E，F，P的坐标代入得 即所以方程可化为-Dy-Dz+D=0，显然 D≠0，即2y+z-2=0， 所以d==. 16.如图，在四棱锥P-ABCD的平面展开图中，四边形ABCD是边长为2的正方形，△ADE是以AD为斜边的等腰直角三角形，∠HDC=∠FAB=90°，则四棱锥P-ABCD外接球的球心到平面PBC的距离为 A. B. C. D. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析： 该几何体的直观图如图所示， 分别取AD，BC的中点O，M，连接OM，PM，PO， ∵PO=1，OM=2， PM===， ∴OP2+OM2=PM2，∴OP⊥OM， 又∵PO⊥AD， ∴由线面垂直的判定定理得出PO⊥平面ABCD， 以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析： 则A(1，0，0)，B(1，2，0)，C(-1，2，0)， D(-1，0，0)，P(0，0，1)， =(1，2，-1)，=(-1，2，-1)， 设四棱锥P-ABCD外接球的球心为N(0，1，a)， ∵PN=NA， ∴(-1)2+(1-a)2=1+(-1)2+(-a)2， 解得a=0. ∴=(0，-1，1)， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析： 设平面PBC的法向量为n=(x，y，z)， 则⇒ 取z=2，则n=(0，1，2)， 则四棱锥P-ABCD外接球的球心到平面PBC的距离为 d====. THANKS 本课结束 $