1.3.1 空间直角坐标系 课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间直角坐标系，系统讲解坐标系建立、点与向量坐标表示及简单几何问题应用。通过类比平面直角坐标系，以单位正交基底为支架，引导学生从二维过渡到三维，构建知识脉络。 其亮点在于以问题驱动概念形成，结合正方体、长方体实例培养数学眼光（空间观念）和数学思维（推理能力），用表格、口诀等数学语言总结规律。学生能提升空间想象与运算能力，教师可获得系统教学资源与方法支持。

第一章 <<< 1.3.1　空间直角坐标系 1.了解空间直角坐标系，能写出所给定点、向量的坐标. 2.掌握空间向量运算的坐标表示.(重点) 3.会用空间向量的坐标解决一些简单的几何问题.(难点) 学习目标 空间直角坐标系及点的坐标 提示　在平面内选定一点O和一个单位正交基底{i，j}，以O为原点，分别以i，j的方向为正方向、以它们的长度为单位长度建立两条数轴：x轴、y轴，那么我们就建立了一个平面直角坐标系.类似地，我们也可以建立一个空间直角坐标系. 利用单位正交基底的概念，我们如何理解平面直角坐标系呢？ 问题1 1 空间直角坐标系 在空间选定一点 和一个单位正交基 底{，，，如图1.2-1.以点 为原点，分 别以，， 的方向为正方向、以它们的 长为单位长度建立三条数轴：轴、 轴、 轴，它们都叫做坐标轴.这时我们就建立 了一个空间直角坐标系，叫做原点，，， 都叫做坐标向量，通过每两条坐 标轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面，平面， 平面，它们把空间分 成八个部分.（一般称为八个卦限） . . 5 2 空间直角坐标系的作法 画空间直角坐标系时，一般使 （或）， . （斜二测画法） 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向轴的正方向，食指指向 轴的正方向， 如果中指指向 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系（如图1.2-2）.一般 使用的坐标系都是右手直角坐标系. . . 6 3 空间点的坐标与空间向量的坐标 在空间直角坐标系中，,,为坐标向量，给定向量 ， 作 （如图），由空间向量基本定理，存在唯一的有 序实数组，使 . 有序实数组叫做在空间直角坐标系 中的坐标， 上式可简记作.也称为点 的空间直角坐标， 记作，（符号 具有双重意义，它既可以表示向量，也可以表示点， 表示点时没有等号，表示向量时有等号，在表述时要注意区分）其中叫做点 的横 坐标，叫做点的纵坐标，叫做点 的竖坐标. . . . . 7 4 空间中点（向量）的坐标的确定 （1）垂面法：过点作三个平面分别垂直于轴、轴、轴于,,三点，点 , ,在轴、轴、轴上的坐标分别为,,，则就是点（向量 ）的坐标. （2）垂线段法：先确定点在平面内的射影,由的长度及与 轴正方向 的异同，确定竖坐标，再在平面内确定点的横坐标和纵坐标，那么点 （向量）的坐标就是 . 说明 当向量的起点是原点时，向量坐标与向量终点的坐标相同. 8 知识剖析 特殊点、特殊向量的坐标#4.1 点的位置 向量位置 坐标 特点 轴上 平行于 轴 纵、竖坐标均为0 轴上 平行于 轴 横、竖坐标均为0 轴上 平行于 轴 横、纵坐标均为0 平面上 平行于 平面 竖坐标为0 平面上 平行于 平面 横坐标为0 平面上 平行于 平面 纵坐标为0 9 点 关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标 对称轴、对称平面或对称中心 对称点坐标 轴 轴 轴 平面 平面 平面 坐标原点 记忆口诀:关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反.#4.1.3.1 10 思考辨析 1.在给定的空间直角坐标系下,空间任意一点是否与有序实数组(x,y,z)之间存在唯一的对应关系?为什么? 提示 是.由空间向量基本定理,在给定空间直角坐标系下,空间给定一点,其坐标是唯一的有序实数组(x,y,z);反之,给定一个有序实数组(x,y,z),空间也有唯一的点与之对应. 2.在空间直角坐标系中,坐标轴上的点的坐标有何特征?坐标平面内的点的坐标有何特征? 提示 x轴上的点的坐标为(x,0,0),y轴上的点的坐标为(0,y,0),z轴上的点的坐标为(0,0,z);Oxy平面内的点的坐标为(a,b,0),Oyz平面内的点的坐标为(0,b,c), Ozx平面内的点的坐标为(a,0,c). 例1 已知正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为2,建立如图所示的空间直角坐标系,写出正方体各顶点的坐标. 解 A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),A'(0,0,2),B'(2,0,2),C'(2,2,2),D'(0,2,2). 例2 在长方体中，,, ， 如图,建立空间直角坐标系，求点与向量 的坐标. 13 【解析】记,,轴正方向上的单位向量分别为,,,则,, . ， 所以的坐标为 . 连接, , ， 所以点的坐标为 . 14 点在轴、轴、轴上的射影分别为,, , 它们在坐标轴上的坐标分别为3，5，4， 所以点的坐标是 . 点在坐标平面内的射影为点，点在轴上的射影为点 ，点 的竖坐标为4，所以点的坐标为 . 15 例3 [多选题](2026·陕西省西安市鄠邑区第四中学月考)下列命题正确的是 ( ) ABD A.点关于坐标平面的对称点为 B.点关于轴的对称点为 C.点到坐标平面 的距离为1 D.点在平面内射影的坐标为 【解析】根据“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”知A,B正确； 点到坐标平面 的距离为2,所以C错误； 点在平面内的射影的竖坐标为0，即射影的坐标为 ，所以D正确. 16 例4 [2026山西大同期中]在空间直角坐标系中，已知点在平面 内 的射影为，在平面内的射影为，则点 的坐标为 _______. 【解析】 设点的坐标为，由点在平面内的射影为 ， 得,,由点在平面内的射影为，得，则点 的 坐标为 . 17 例5 在如图所示的空间直角坐标系中，四边形 是 正方形,,，则的中点 的坐标为 _ ___________， 的重心的坐标为_____________. 18 【解析】 依题意得，则 ， ，则，所以的中点 的坐标为 .因为，所以 的重心的坐标为 ，即 . 19 (1)建立空间直角坐标系的原则： ①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内． ②充分利用几何图形的对称性． (2)求某点M的坐标的方法： 作MM′垂直于平面Oxy，垂足为M′，求M′的横坐标为x，纵坐标为y，即点M的横坐标为x，纵坐标为y，再求M点在z轴上射影的竖坐标z，即M点的竖坐标为z，于是得到M点的坐标(x，y，z)． 反 思 感 悟 1.（2025湖南永州期中）已知点,若向量,则点 的坐标是( ) A A. B. C. D. 【解析】 对空间中任意两点,, 是坐标原点,则 . 设,因为,,所以解得即 . 21 2.（2026天津静海区期中）已知是空间直角坐标系中的一点，则点 关于 平面对称的点和点关于点 的对称点分别是( ) A A.和 B.和 C.和 D.和 【解析】 空间中点的对称问题，依据“关于谁对称谁不变，其余变为相反数”确定坐标. 设点关于平面对称的点为 ，易知两个点的横坐标与竖坐标相同，纵坐标相反， 故点 ； 设点关于点对称的点为，则点为线段 的中点，故有 解得即 . 22 3.（2026北京期中）如图，以长方体 的 顶点为坐标原点，过 的三条棱所在的直线为坐标轴， 建立空间直角坐标系，若，则 的坐标是 ( ) C A. B. C. D. 【解析】 因为,，所以 ， 即,，所以 . 23 4. （2026江苏常州一中检测）已知向量{,,}是空间向量的一个基底,向量{ , ,}是空间向量的另外一个基底,若一向量在基底{,,}下的坐标为 ,则向 量在基底{,, }下的坐标为( ) A A. B. C. D. 24 【解析】 因为向量在基底{,,}下的坐标为,所以 , 设向量在基底{,,}下的坐标为 ,则 ,所以 （一个向量在同一基底下的表示唯一） 解得所以向量在基底{,,}下的坐标为 . . . 5. 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°, 棱AA1=2,M,N分别为A1B1,A1A的中点,试建立适当的空间直角坐标系,求: (1)点B,C1,B1,M,N的坐标; (2)向量的坐标. 解 ∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥AC,CC1⊥BC,AC⊥BC, 且CA=CB=1,CC1=2, ∴以{}为单位正交基底,建立空间直角坐标系Cxyz,如图所示. (1)点B在y轴上,且CB=1,所以=0i+j+0k, 所以点B的坐标是(0,1,0). 同理,点C1的坐标是(0,0,2). 点B1在x轴、y轴、z轴上的射影分别为C,B,C1, 它们在坐标轴上的坐标分别为0,1,2, 所以点B1的坐标是(0,1,2). 同理,点M的坐标是(,2),点N的坐标为(1,0,1). (2)∵=i-j+k, ∴的坐标为(1,-1,1). 而=i-j+2k, ∴的坐标为(1,-1,2). 又=-, ∴的坐标为(-1,1,-2). 6.（2026福建泉州检测）如图，在直三棱柱中， ， ，，，分别为， 的中点，试建立恰当的空间直角坐标 系，求： 29 （1） 点，，，， 的坐标; 30 【答案】 由题意知,,，以点 为 原点， 分别以,,所在直线为轴、轴、 轴建立空间直角坐标 系 （借助共顶点两两互相垂直的三条棱建 立空间直角坐标系），如图所示． 则，，，， (对空间中任意两点，，线段 的中点坐标为 ). . . . . . . 31 （2） 向量，， 的坐标. 【答案】 由（1）中坐标系可知，,,所以向量 ， ， . 32 $