第20练 直线与圆的方程应用举例《数学》基础模块下册（高教版第三版）《一课一练》（原卷版+解析版）

**基本信息** 中职数学高教版第三版《一课一练》第六章第20练，以“基础-应用-综合”分层设计，通过生活情境题实现从单一知识点到综合应用的巩固，培养数学眼光与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|圆的方程、切线距离等单一概念与运算|单选3（切线距离计算）、填空10（位置关系判断），夯实基础运算能力| |应用|直线与圆的实际情境应用|单选1（拱桥水面宽度）、填空12（圆轮靠墙切点距离），体现几何直观与模型意识| |综合|复杂问题的数学建模与求解|解答题14（船过拱桥判断），融合方程建立与逻辑推理，发展应用意识|

中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》基础模块下册（高教版第三版） 第六章 直线与圆的方程 第 20 练 直线与圆的方程应用举例 一、单选题 1．一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面3米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度为（ ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】建立合适的直角坐标系，利用待定系数法求出圆的方程，当水面下降1米后，设水面所在直线与圆的交点为，将点的坐标代入圆的方程，求出的值，即可得到答案． 【解析】如图建立平面直角坐标系，则圆心在y轴上，设圆的半径为r， 则圆的方程为， ∵拱顶离水面3米，水面宽12米，∴圆过点， ∴，∴， ∴圆的方程为， 当水面下降1米后，可设水面的端点坐标为，则，∴， ∴当水面下降1米后，水面宽度为． 故选：C． 2．一辆卡车宽3米，要经过一个半径为6米的半圆形隧道双车道，不得违章，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距离地面的高度不能是（ ）米 A． B． C． D．5.4 【答案】D 【分析】根据题意作出示意图，由垂直条件对应的勾股定理求解出结果. 【解析】可画出示意图如图所示， 由双向车道，卡车宽3米，故，半径为米，， 通过勾股定理解得米， 故这辆卡车的平顶车篷篷顶距离地面的高度不能是5.4米. 故选：D. 3．过圆外一点向圆引切线，则点P与切点的距离为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据图像找到切点坐标，再根据两点的坐标求距离. 【解析】已知圆心，半径， 如图所示 ∵圆心在轴上，半径为， 过圆心做轴且与圆交于点, ∴ 又∵点横坐标为， ∴轴，即轴， ∴ 故为圆的切线，切点为， ∵点横坐标为3，代入圆的标准方程可得的坐标为 又∵ 故，又因为两条切线相等， 故选:C. 4．如图，为测量金属材料的硬度，用一定压力把一个高强度钢珠压向该种材料的表面，在材料表面留下一个凹坑，现测得凹坑直径AB为10mm，若所用钢珠的直径CD为26mm，则凹坑深度为（ ） A．6mm B．3mm C．2mm D．1mm 【答案】D 【分析】连接，利用求出的值，即可得出凹坑深度的值. 【解析】连接，如图所示： 在中，. 所以. 所以.即凹坑深度为. 故选：D. 5．某工厂要在圆形花坛周围安装护栏，已知圆的方程为，直线与圆相切，则的值为（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线与圆相切的条件列方程求解即可. 【解析】圆的圆心为 ，半径． 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，解得． 故选：C. 6．工人制作圆形装饰品，圆的一般方程为，则该圆在轴上截得的弦长为（ ）． A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】令代入圆的一般方程为中求出值即可得解. 【解析】令，则，即，解得，， 所以在轴上截得的弦长为， 故选：. 7．已知点满足：，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，可设则可得答案. 【解析】由，可设则 由，可得 故选：A 【点睛】本题考查圆中的最值问题，考查三角换元，属于基础题. 8．冰糖葫芦是中国传统小吃，起源于南宋，由山楂串成的冰糖葫芦如图1所示，若将山楂串成的冰糖葫芦在平面直角坐标系中的正投影（如图2所示）看成大小相同的圆，竹签看成一条经过所有圆心的线段，且山楂的半径为1，竹签所在的直线方程为，则与该串冰糖葫芦的山楂都相切的直线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行线间的距离公式列式计算即可. 【解析】设与该串冰糖葫芦的山楂都相切的直线方程为， 则由平行线间的距离公式得，得 故选：B. 二、填空题 9．工厂的圆形花坛边缘有一条直线小径，圆的方程为，直线方程为，则直线被圆截得的弦长为______. 【答案】 【分析】先将圆的一般方程化为标准得到圆心和半径，计算圆心到直线的距离，结合弦长公式即可求解. 【解析】先将圆方程化为标准方程， 圆心坐标为，半径， 即圆心到直线的距离， 所以弦长为. 故答案为： 10．某车间要在一块长方形钢板上切割出一个圆形部件，已知钢板的一边所在直线方程为，若圆形部件的圆心坐标为，半径为 2，则该圆与直线的位置关系是______. 【答案】相离 【分析】根据点到直线的距离公式计算圆心到直线的距离，比较其与半径的大小，即可求解. 【解析】因为圆形部件的圆心坐标为，半径为2， 又圆心到直线的距离， 所以直线与圆相离. 故答案为：相离 11．工厂的环形道路可以近似看作一个圆，其一般方程为，现在要在道路上安装路灯，每隔 米安装一盏，则一共需要安装______盏路灯. 【答案】5 【分析】将圆的一般式方程转化为标准方程求出半径即可得解. 【解析】将圆的一般方程化为标准方程为，则半径， 所以圆的周长为米， 每隔米安装一盏路灯，所以需要安装盏， 故答案为：. 12．如图，两圆轮叠靠在墙边，已知两轮半径分别为4和1，则它们与墙的切点间的距离为___. 【答案】 【分析】利用圆与圆相切、圆与直线相切的性质做出辅助线即可得解. 【解析】设点、分别为两圆圆心，如图连接辅助线： 易知,， 所以. 故答案为：. 【点睛】本题考查了圆与圆相切、圆与直线相切的性质，考查了构造图形的能力，属于基础题. 三、解答题 13．如图所示，某电子监控安装在点，监控范围为半径的一个圆. (1)试写出这个圆的一般式方程； (2)有人在经过点，斜率为的直线上活动，试问监控能否发现？为什么？ 【答案】(1). (2)直线l与圆相离，监控不能发现. 【分析】（）根据圆心和半径，求得圆的额标准方程，再化为一般方程即可. （）求出直线1的方程，判断直线与圆的位置关系即可得出结论. 【解析】（1）依题意，圆心为，半径为2， 则圆的标准方程为，化为一般式为. （2）过点，斜率为的直线的方程为，即， 圆心到直线l的距离为， 即直线l与圆相离，则监控不能发现. 14．如图是某圆拱桥的示意图,水面跨度,拱高,现有一艘船,宽为,水面以上高（平顶）,问这条船能否从桥下通过？ 【答案】不能. 【分析】建立平面直角坐标系求出圆的方程即可得解. 【解析】以所在直线为轴,以所在直线为轴建立平面直角坐标系． 由题意得,. ∵所求圆的圆心在轴上. ∴设圆的方程为. 将点坐标代入圆的方程. 即. 解得 ∴圆的方程是. 当时,. 解得（舍去）或． ∵. ∴这条船不能从桥下通过． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》基础模块下册（高教版第三版） 第六章 直线与圆的方程 第 20 练 直线与圆的方程应用举例 一、单选题 1．一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面3米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度为（ ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．一辆卡车宽3米，要经过一个半径为6米的半圆形隧道双车道，不得违章，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距离地面的高度不能是（ ）米 A． B． C． D．5.4 3．过圆外一点向圆引切线，则点P与切点的距离为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．如图，为测量金属材料的硬度，用一定压力把一个高强度钢珠压向该种材料的表面，在材料表面留下一个凹坑，现测得凹坑直径AB为10mm，若所用钢珠的直径CD为26mm，则凹坑深度为（ ） A．6mm B．3mm C．2mm D．1mm 5．某工厂要在圆形花坛周围安装护栏，已知圆的方程为，直线与圆相切，则的值为（ ）． A． B． C． D． 6．工人制作圆形装饰品，圆的一般方程为，则该圆在轴上截得的弦长为（ ）． A．4 B．6 C．8 D．10 7．已知点满足：，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．冰糖葫芦是中国传统小吃，起源于南宋，由山楂串成的冰糖葫芦如图1所示，若将山楂串成的冰糖葫芦在平面直角坐标系中的正投影（如图2所示）看成大小相同的圆，竹签看成一条经过所有圆心的线段，且山楂的半径为1，竹签所在的直线方程为，则与该串冰糖葫芦的山楂都相切的直线方程为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 9．工厂的圆形花坛边缘有一条直线小径，圆的方程为，直线方程为，则直线被圆截得的弦长为______. 10．某车间要在一块长方形钢板上切割出一个圆形部件，已知钢板的一边所在直线方程为，若圆形部件的圆心坐标为，半径为 2，则该圆与直线的位置关系是______. 11．工厂的环形道路可以近似看作一个圆，其一般方程为，现在要在道路上安装路灯，每隔 米安装一盏，则一共需要安装______盏路灯. 12．如图，两圆轮叠靠在墙边，已知两轮半径分别为4和1，则它们与墙的切点间的距离为___. 三、解答题 13．如图所示，某电子监控安装在点，监控范围为半径的一个圆. (1)试写出这个圆的一般式方程； (2)有人在经过点，斜率为的直线上活动，试问监控能否发现？为什么？ 14．如图是某圆拱桥的示意图,水面跨度,拱高,现有一艘船,宽为,水面以上高（平顶）,问这条船能否从桥下通过？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $