综合测试卷（一）-《数学拓展模块上册》（高教版第三版） 单元过关卷（解析版+原卷版）

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（一） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、是非选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.对每小题的命题作出判断，对的选A，错的选B） 1．． ( ) 2．若，则且． ( ) 3．已知向量，则. ( ) 4．是的必要不充分条件 ( ) 5．“”是“”的充分而不必要条件 ( ) 6．椭圆的焦点坐标为． ( ) 7．已知等边三角形的边长为2，则 ( ) 8．若，则 ( ) 9．抛物线的焦点到其准线的距离为 ( ) 10．一条直线上的3个点到平面的距离为1，这条直线和平面的关系是平行 ( ) 二、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 11．已知，，则（   ） A． B． C． D． 12．设，则是成立的（     ）条件. A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 13．的化简结果为（    ） A． B． C． D． 14．已知双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 15．若两个平行平面与同一个平面相交，则所得的两条交线（   ） A．相交 B．平行 C．异面 D．垂直 16．已知复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 17．已知椭圆的左右焦点分别为，直线经过椭圆左焦点，与椭圆交于两点，则的周长为（    ） A． B． C． D． 18．如图，在正方体中，直线与直线所成的角是（   ）    A． B． C． D． 三、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分). 19．已知向量，那么________. 20．已知是实系数一元二次方程的一个根，则_____. 21．空间中直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系是_____. 22．已知，．若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围________． 23．已知是过抛物线焦点的弦，若线段中点的横坐标为2，则________． 24．在正四棱锥中，底面边长为2，侧棱长为3，则直线与平面所成角的正弦值为______. 四、解答题（本大题共6小题，25-28小题每小题8分，29-30小题9分，共50分.解答应写出过程或步骤） 25．条件，条件. (1)若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围； (2)若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围. 26．设，. (1)求的值； (2)求. 27．已知复数． (1)求； (2)若，求的共轭复数． 28．已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别为，，焦距为． 求该椭圆的标准方程； 若点是该椭圆上的一点，且它位于第一象限，点是椭圆的下顶点，求四边形的面积． 29．如图，在直三棱柱 中，，点 是 的中点． (1)求证：； (2)求证：平面． 30．已知抛物线的焦点为，若过点且斜率为1的直线与抛物线相交于两点，且． (1)求抛物线的方程； (2)设直线为抛物线的切线，且，求切线的方程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（一） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、是非选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.对每小题的命题作出判断，对的选A，错的选B） 1．． ( ) 【答案】正确 【分析】利用复数的乘法运算法则展开计算即可. 【详解】因为. 故答案为：正确. 2．若，则且． ( ) 【答案】正确 【分析】利用复数相等的条件即可判断. 【详解】若， 则且，解得且． 故答案为：正确. 3．已知向量，则. ( ) 【答案】正确 【分析】根据向量的坐标运算求解即可． 【详解】由题意， 故答案为：正确． 4．是的必要不充分条件 ( ) 【答案】正确 【分析】根据充分条件和必要条件的概念分析即可. 【详解】若，则或，故充分性不成立， 若，则，故必要性成立， 所以是的必要不充分条件. 故答案为：正确. 5．“”是“”的充分而不必要条件 ( ) 【答案】错误 【分析】根据充分与必要条件的概念判断即可． 【详解】若，取，不能得到； 若，取，不能得到， 则“”是“”的不充分也不必要条件， 故答案为：错误． 6．椭圆的焦点坐标为． ( ) 【答案】错误 【分析】根据椭圆的焦点求解即可. 【详解】椭圆中，焦点为轴上， ，所以，进而. 所以椭圆的焦点坐标为． 故答案为：错误. 7．已知等边三角形的边长为2，则 ( ) 【答案】正确 【分析】根据向量的内积运算易得答案. 【详解】等边三角形中，则向量的夹角为， 所以， 故答案为：正确. 8．若，则 ( ) 【答案】错误 【分析】根据线面位置关系的判定易得答案. 【详解】若，则或直线n在平面. 故答案为：错误. 9．抛物线的焦点到其准线的距离为 ( ) 【答案】错误 【分析】根据抛物线定义及标准方程易得答案. 【详解】抛物线，即，则，所以， 所以抛物线的焦点到其准线的距离为. 故答案为：错误. 10．一条直线上的3个点到平面的距离为1，这条直线和平面的关系是平行 ( ) 【答案】正确 【分析】根据直线与平面平行的判定，结合反证法可得答案. 【详解】假设直线与平面相交，则三点中必有两个点在平面的同一侧， 不妨设为，过分别作平面的垂线，垂直为，    则，四边形是平行四边形， ，又， ，这与假设直线与平面相交矛盾， 故假设错误，于是直线. 故答案为：正确. 二、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 11．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的坐标表示求解. 【详解】已知，，则. 故选：A. 12．设，则是成立的（     ）条件. A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】根据题意利用充分性及必要性的定义即可得解. 【详解】当时，解得，故充分性成立； 当时，成立，故必要性成立， 所以是成立的充要条件， 故选：. 13．的化简结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量线性运算即可得解. 【详解】由题意，，故选：B. 14．已知双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线的渐近线求解即可. 【详解】由题可知：，，则，，且双曲线焦点在轴上， 渐近线方程为. 故选：B. 15．若两个平行平面与同一个平面相交，则所得的两条交线（   ） A．相交 B．平行 C．异面 D．垂直 【答案】B 【分析】根据平面与平面平行的性质即可得解. 【详解】当两个平行平面同时与另一个平面相交时，它们的交线平行， 故选：B. 16．已知复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】利用复数的代数运算化简后，结合复数的几何意义，即可求解. 【详解】因为， 所以复数z在复平面内对应的点的坐标为，对应的点位于第二象限. 故选：B 17．已知椭圆的左右焦点分别为，直线经过椭圆左焦点，与椭圆交于两点，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆方程求出，再根据椭圆的定义求解即可. 【详解】由方程得， 的周长为， . 故选：D. 18．如图，在正方体中，直线与直线所成的角是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据异面直线所成的角的概念即可求解. 【详解】在正方体中，连接，，    因为，，又， 平面，所以平面， 又平面，所以，又， 所以，则直线与直线所成的角是. 故选：D. 三、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分). 19．已知向量，那么________. 【答案】 【分析】根据向量模的坐标表示求解. 【详解】向量，那么， 故答案为：. 20．已知是实系数一元二次方程的一个根，则_____. 【答案】4 【分析】根据实系数一元二次方程解的特征及根与系数的关系分析求解即可. 【详解】因为是实系数一元二次方程的一个根， 所以方程的另一个根为， 因为，所以. 故答案为：4. 21．空间中直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系是_____. 【答案】垂直 【分析】根据直线与平面垂直判定与性质即可解答. 【详解】因为l⊥AC，l⊥BC，AC∩BC=C， 所以l⊥平面ABC，所以l⊥AB. 故答案为：垂直 22．已知，．若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围________． 【答案】 【分析】根据是的充分不必要条件，列出不等式求解m的范围． 【详解】设，， 因为是的充分不必要条件，则是的真子集， 所以，解得， 所以实数m的取值范围为. 故答案为：. 23．已知是过抛物线焦点的弦，若线段中点的横坐标为2，则________． 【答案】6 【分析】根据抛物线方程求出准线方程，利用抛物线定义：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离即可求解. 【详解】由抛物线方程可知，则其准线方程为， 设，因为线段中点的横坐标为2， 所以，则， 所以. 故答案为：6. 24．在正四棱锥中，底面边长为2，侧棱长为3，则直线与平面所成角的正弦值为_____. 【答案】 【分析】连接交于点，连接，根据正四棱锥的性质即可得解. 连接交于点，连接， 由正四棱锥的性质可知，平面， 所以直线与平面所成角为， 又为正方形，，所以， 则， 在中，. 故答案为： 四、解答题（本大题共6小题，25-28小题每小题8分，29-30小题9分，共50分.解答应写出过程或步骤） 25．条件，条件. (1)若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围； (2)若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】根据充分、必要条件的定义，将问题转化为集合间的基本关系，解不等式即可. （1）设， 若p是q的充分不必要条件，则A是B的真子集，即，a的取值范围为； （2）若p是q的必要不充分条件，则B是A的真子集，即，a的取值范围为. 26．设，. (1)求的值； (2)求. 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）根据向量内积的坐标表示运算即可. （2）根据向量夹角的坐标表示运算即可. 【详解】（1）已知，， . （2）， ， ，因为， 27．已知复数． (1)求； (2)若，求的共轭复数． 【答案】(1). (2). 【分析】（）根据复数的运算法则及模长公式即可得解. （）根据复数的运算法则求出，结合共轭复数的定义即可得解. 【详解】（1）∵， ∴， ∴. （2）由， 所以复数的共轭复数． 28．已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别为，，焦距为． 求该椭圆的标准方程； 若点是该椭圆上的一点，且它位于第一象限，点是椭圆的下顶点，求四边形的面积． 【答案】(1). (2). 【分析】由已知可得关于，的方程组，求解，的值，进一步得到，则椭圆方程可求； 由已知直接利用求解． 【详解】：由题意，解得， ， 则该椭圆的标准方程为； 点的坐标为，， 又点的坐标轴为，， ． 29．如图，在直三棱柱 中，，点 是 的中点． (1)求证：； (2)求证：平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据线线垂直证明线面垂直，进而得到线线垂直； （2）根据线线平行证明线面平行即可； 【详解】（1）因为 ，所以 ； 又在直三棱柱 中，有 ， 因为，平面，平面， 所以 平面， 因为平面，所以； （2） 设 与 交于点 ，连接 ， 易知 是 的中点，又 是 的中点， 所以 ． 因为 平面，平面， 所以 平面． 30．已知抛物线的焦点为，若过点且斜率为1的直线与抛物线相交于两点，且． (1)求抛物线的方程； (2)设直线为抛物线的切线，且，求切线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直线的点斜式方程，抛物线的性质即可求解. （2）根据两直线平行则斜率相等，设出直线方程，代入抛物线方程，结合切线的性质即可求解. 【详解】（1）由题意得，，因为直线过点且斜率为1，则直线方程为：， 联立，整理化简得， 设，则. ∵，∴，即，解得， ∴抛物线的方程为：． （2），则设方程为，代入，得， 因为为抛物线的切线，所以，解得，∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $