综合测试卷（四）-《数学拓展模块上册》（高教版第三版） 单元过关卷（解析版+原卷版）

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（四） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、是非选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.对每小题的命题作出判断，对的选A，错的选B） 1．若向量，满足，则或. ( ) 【答案】错误 【分析】根据向量数量积的性质求解即可. 【详解】当且或者非零向量与垂直时，均成立， 故答案为：错误. 2．已知复数满足，则. ( ) 【答案】正确 【分析】由复数的模的公式代入计算即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为:正确. 3．平面内与两个定点，的距离之和等于常数的点的轨迹叫椭圆. ( ) 【答案】错误 【分析】根据椭圆的定义易得答案. 【详解】平面内与两个定点的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹叫椭圆. 故答案为：错误. 4．已知向量，，则． ( ) 【答案】正确 【分析】先由向量的坐标运算求出，再计算其模长即可. 【详解】因为向量，， 所以， 所以. 故答案为：正确. 5．复数的共轭复数是． ( ) 【答案】正确 【分析】根据共轭复数的定义判断. 【详解】共轭复数是指两个复数的实部相等，虚部互为相反数. 则的共轭复数为. 故答案为：正确. 6．双曲线的渐近线方程为． ( ) 【答案】正确 【分析】先将双曲线的方程化为标准方程，再求出渐近线进行判断即可. 【详解】将双曲线化简得， 所以，所以渐近线为. 故答案为：正确. 7．已知为直线， 为平面， ， ，则与之间的关系是平行或异面. ( ) 【答案】正确 【分析】根据线线位置关系的判定易得答案. 【详解】如图所示：     直线和平面平行，则直线和平面上的直线可能平行或异面， 故答案为：正确. 8．已知是不同的直线，是不同的平面，若，，，则． ( ) 【答案】错误 【分析】结合图形举反例判断即可. 【详解】若，，，可能平行，如图所示， ， 故答案为：错误. 9．若p：的三条边相等，q：是等边三角形，则p是q的充要条件.    ( ) 【答案】正确 【分析】根据三角形的性质和充要条件的概念求解. 【详解】根据三角形的性质： 若一个三角形的三条边都相等，则这个三角形一定是等边三角形， 反之，若一个三角形是等边三角形，那么它的三条边也一定都相等. 所以p：的三条边相等q：是等边三角形， 故p是q的充要条件. 故答案为：正确. 10．是的充分不必要条件． ( ) 【答案】错误 【分析】根据同角三角函数的平方关系以及充分性和必要性的概念判断即可. 【详解】由，可推得， 同理，由，可推得， 是的既不充分也不必要条件. 故答案为：错误. 二、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 11．下列说法正确的是　　 A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B．向量的大小与方向有关 C．方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小 D．向量的模可以比较大小 【答案】D 【分析】根据向量的基本概念知识可得答案. 【解析】由向量的定义可知：向量之间不能比较大小，但向量的模可以比较大小．故只有选项说法正确． 故选：D． 12．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由充分条件的定义及对数函数的性质即可得解. 【详解】因为为增函数,所以. 若则无意义. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选:. 13．抛物线上有一点，则点P到焦点的距离（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据抛物线的定义即可求解. 【详解】由题意可知抛物线上有一点，可得，求得. 则点到焦点的距离为. 故选:D. 14．复数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的乘法运算法则进行计算即可. 【详解】， 故选：D. 15．已知椭圆的长轴在y轴上，若焦距为4，则m的值为（    ） A．4 B．5 C．7 D．8 【答案】D 【分析】利用已知条件判断椭圆焦点位置，再根据椭圆标准方程特征求解即可． 【详解】由已知可得，椭圆的焦点在轴上， 由椭圆标准方程知，， 又，所以. 故选：D. 16．下列说法中正确的是（    ） A．空间异面直线的夹角取值范围是[0，] B．直线与平面的夹角的取值范围是(0，] C．二面角的取值范围是[0，π] D．向量与向量夹角的取值范围是[0，π) 【答案】C 【分析】分别根据空间异面直线的夹角，直线与平面的夹角的取值范围，二面角的取值范围及向量与向量夹角的取值范围即可得选项. 【详解】对于A选项，空间异面直线的夹角取值范围是，故A错误； 对于B选项， 直线与平面的夹角的取值范围是，故B错误； 对于C选项， 二面角的取值范围是，故 C 正确； 对于D选项， 向量与向量夹角的取值范围是，故 D 选项错误. 故选：C. 17．设，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分、必要条件的知识求得正确答案. 【详解】当时，，当时可得或，所以能推出， 不能推出.所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 18．已知，是方程的两根，则（    ）． A． B．5 C． D． 【答案】D 【分析】根据韦达定理以及配方法可求得结果. 【详解】因为，是方程的两根， 所以，， 所以. 故选：D. 三、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分). 19．若点在直线上，则点与直线之间的关系可记作_______． 【答案】 【分析】由点与直线关系的符号表示即可求解. 【详解】若点在直线上，则点与直线之间的关系可记作. 故答案为：. 20．已知，则____________. 【答案】5 【分析】根据向量内积的坐标表示即可求解． 【详解】因为， 所以. 故答案为：5. 21．已知椭圆的中心在原点，离心率，且它的一个焦点坐标为，则此椭圆的标准方程为_____. 【答案】 【分析】根据题意结合椭圆的性质及离心率公式求出的值即可得解. 【详解】椭圆的一个焦点坐标为，所以焦点在轴上，且， 离心率，解得， 则，解得， 所以椭圆的标准方程为， 故答案为：. 22．双曲线的离心率_____________． 【答案】/1.5 【分析】根据双曲线的离心率进行求解即可. 【详解】由题意可知，，， ∴， 故答案为：. 23．若“”是“”的充要条件，则实数m的取值是_________． 【答案】0 【分析】根据充要条件的定义即可求解. 【详解】， 则{x|}＝{x|}， 即. 故答案为：0. 24．已知复数，分别对应复平面内的点，，若，则实数_______． 【答案】 【分析】由复数的几何意义和向量垂直的坐标表示即可得解. 【详解】由题意得，， 又因为，所以， 即，即，解得. 故答案为：. 四、解答题（本大题共6小题，25-28小题每小题8分，29-30小题9分，共50分.解答应写出过程或步骤） 25．求实数的值或取值范围,使得复数分别满足: (1)是纯虚数. (2)是复平面中对应的点位于第二象限. 【答案】(1) (2). 【分析】（）由纯虚数的概念即可得解. （）由复数的几何意义即可得解. 【详解】（1）是纯虚数. . 解得或. 又. 解得. . （2）在复平面所对应的点位于第二象限. 解得. 所以的取值范围为. 26．已知集合，． (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分条件，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据并集概念求出答案； （2）根据题意得到，得到不等式组，求出答案. 【详解】（1）当时，，则． （2）因为“”时“”的充分条件，所以． 由，解得． 综上，的取值范围是． 27．已知，，且与的夹角为60°． (1)求； (2)若与垂直，求k． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据向量的内积公式、向量的模长公式求解即可； （2）根据向量垂直，则向量的乘积为零，列式求解即可； 【详解】（1）因为，且与的夹角为, 所以 . （2）由（1）可知，， 因为与垂直， 所以，即， 所以，解得. 28．如图，平面，在中，，，，求：    (1)点到直线的距离； (2)直线与平面所成角； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知可证平面，从而，即为所求，在可求解； （2）由于平面，故在平面的射影为，即为所求，在求得，从而可求解； 【详解】（1）平面，平面， 又，平面， 又平面，. 即点到直线的距离为， 在中，，，故； （2）由于平面，故在平面的射影为， 即为所求. 在中，，，故， 在，，所以； 29．已知抛物线C的顶点在原点，焦点在y轴上，经过点. (1)求抛物线C的方程； (2)直线与抛物线C交于两点，求线段的中点坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设抛物线的标准方程为，再将点代入求出，即可写出抛物线的标准方程. （2）将直线与抛物线方程联立即可求出两点的坐标，再根据中点坐标公式求值即可. 【详解】（1）已知抛物线C的顶点在原点，焦点在y轴上， 且经过点，设抛物线的标准方程为， 将点代入可得，解得， 所以抛物线的标准方程为. （2）已知直线与抛物线C交于两点， 且由（1）可知抛物线的标准方程为， 所以联立方程组为，整理得， 解得或， 所以， 线段的中点坐标为，即. 30． 在三棱柱中，是等边三角形，平面，分别为的中点．    (1)求证：平面； (2)求证：平面 【分析】（1）利用直线与平面平行的判定定理证明. （2）利用直线与平面垂直的判定定理证明. 【详解】（1）证明：连接，由于是的中点，所以与相交与点．   为的中点，又为的中点，． 平面平面， 平面． （2）证明：连接   在Rt中，， 在Rt中，． 为等腰三角形． 又为的中点，所以． 在Rt中，， 在Rt中，． 为等腰三角形． 又为的中点，所以． 因为平面平面，所以平面． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（四） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、是非选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.对每小题的命题作出判断，对的选A，错的选B） 1．若向量，满足，则或. ( ) 2．已知复数满足，则. ( ) 3．平面内与两个定点，的距离之和等于常数的点的轨迹叫椭圆. ( ) 4．已知向量，，则． ( ) 5．复数的共轭复数是． ( ) 6．双曲线的渐近线方程为． ( ) 7．已知为直线， 为平面， ， ，则与之间的关系是平行或异面. ( ) 8．已知是不同的直线，是不同的平面，若，，，则． ( ) 9．若p：的三条边相等，q：是等边三角形，则p是q的充要条件.    ( ) 10．是的充分不必要条件． ( ) 二、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 11．下列说法正确的是　　 A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B．向量的大小与方向有关 C．方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小 D．向量的模可以比较大小 12．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 13．抛物线上有一点，则点P到焦点的距离（    ） A． B． C．1 D． 14．复数（    ） A． B． C． D． 15．已知椭圆的长轴在y轴上，若焦距为4，则m的值为（    ） A．4 B．5 C．7 D．8 16．下列说法中正确的是（    ） A．空间异面直线的夹角取值范围是[0，] B．直线与平面的夹角的取值范围是(0，] C．二面角的取值范围是[0，π] D．向量与向量夹角的取值范围是[0，π) 17．设，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 18．已知，是方程的两根，则（    ）． A． B．5 C． D． 三、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分). 19．若点在直线上，则点与直线之间的关系可记作_______． 20．已知，则____________. 21．已知椭圆的中心在原点，离心率，且它的一个焦点坐标为，则此椭圆的标准方程为_________. 22．双曲线的离心率_____________． 23．若“”是“”的充要条件，则实数m的取值是_________． 24．已知复数，分别对应复平面内的点，，若，则实数______． 四、解答题（本大题共6小题，25-28小题每小题8分，29-30小题9分，共50分.解答应写出过程或步骤） 25．求实数的值或取值范围,使得复数分别满足: (1)是纯虚数. (2)是复平面中对应的点位于第二象限. 26．已知集合，． (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分条件，求的取值范围． 27．已知，，且与的夹角为60°． (1)求； (2)若与垂直，求k． 28．如图，平面，在中，，，，求：    (1)点到直线的距离；(2)直线与平面所成角； 29．已知抛物线C的顶点在原点，焦点在y轴上，经过点. (1)求抛物线C的方程； (2)直线与抛物线C交于两点，求线段的中点坐标. 30． 在三棱柱中，是等边三角形，平面，分别为的中点．    (1)求证：平面； (2)求证：平面 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $