专题07 平面向量与立体几何-浙江省五年（2022-2026）单独考试招生文化考试数学《真题分类汇编》（原卷版+解析版）

**基本信息** 中职高考数学平面向量与立体几何专题真题汇编，精选2022-2026年浙江考题，覆盖核心考点与综合应用能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|10题|平面向量坐标运算、空间线面位置关系|真题导向，基础概念与空间想象结合，如正方体中异面直线成角| |填空|5题|向量内积、几何体表面积体积|结合生活情境，如玻璃容器中球的体积计算| |解答|6题|三棱锥体积、二面角求解|分层设计，综合考查空间论证与运算，融入文化素材如刘徽"壍堵""阳马"体积比|

专题07 平面向量与立体几何 平面向量： 1.理解向量及有关的概念，掌握向量加法、减法和数乘向量运算； 2.掌握向量夹角的定义、内积的定义和性质； 3.掌握向量的直角坐标表示及运算； 4.会判断两个非零向量是否平行、垂直； 5.能利用向量的知识解决相关问题. 立体几何： 1.了解多面体、旋转体和棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球的概念，理解直棱柱、正棱锥的有关概念； 2.理解几何体的三视图，掌握直观图的斜二测画法，能根据三视图绘制简单几何体的直观图； 3.会求直棱柱、圆柱、正棱锥、圆锥和球的表面积，会求柱体、锥体、球的体积，并会求简单组合体的表面积和体积； 4.理解平面的基本性质； 5.理解空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系； 6.掌握直线与直线、直线与平面、平面与平面平行和垂直的判定与性质； 7.理解点到平面的距离、直线到平面的距离、平行平面间的距离的概念，并会解决相关的距离问题； 8.理解异面直线所成角、直线与平面所成角的概念，并会解决相关的简单问题；了解二面角的概念. 考点01平面向量 （1） 平面向量的线性运算与坐标表示 1. （2026年浙江）已知点，，，求（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合平面向量的坐标表示及内积的坐标表示即可得解. 【详解】点，，， 则，， 所以， 故选：. 2.（2025年浙江）已知正方形ABCD边长为，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题先确定各点坐标，再求向量坐标，最后相加即可. 【详解】因为正方形ABCD边长为， 所以， 可得点，，， 所以，， 所以. 故选：A. 3. （2024年浙江）在中，已知点的坐标为，点的坐标为，分别为边的中点，则向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形中位线的性质可知，再根据向量的坐标表示求出，即可得出向量的坐标. 【详解】在中，分别为边的中点， 所以为中以为底边的中位线， 所以， 因为点的坐标为，点的坐标为， 所以， 则. 故选：B. 4. （2023年浙江）已知点，向量，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求向量,再根据点的坐标易得答案. 【详解】因为, 所以点坐标为. 故选:D. 5. （2022年浙江）已知点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的坐标表示先求，再求. 【详解】∵, ∴, ∴. 故选：D. （2） 平面向量的内积 6. （2022年浙江）已知点，若动点使得，则实数t的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的内积运算，即可求解. 【详解】己知点和动点， 则， ， ， 得， 则实数t的取值范围为， 故答案为： 考点02立体几何 （1） 立体几何中的体积、表面积、侧面积及其应用 7. （2026年浙江）长方体内部有一个圆柱，长方体底面为正方形，边长为4，高为3；圆柱底面直径为2，圆柱的高为，求该组合几何体（长方体挖去圆柱）的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合棱柱与圆柱的体积公式即可得解. 【详解】长方体底面为正方形，边长为4，高为3，长方体体积为， 圆柱底面直径为2，半径为，圆柱的高为，圆柱体积为， 该组合几何体（长方体挖去圆柱）的体积为， 故选：. 8.（2025年浙江）如图，按图②中的圆柱的轴截面进行切割，得到四分之一部分，得到的几何体如图①所示，．若圆柱的高为2，底面半径为1，则图①中的几何体的表面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】图①几何体的表面积圆柱侧面积的圆柱底面积的的2倍矩形面积的2倍，根据圆柱侧面积公式、圆的面积公式、矩形面积公式即可求解． 【详解】∵圆柱的侧面积的为，圆柱的底面积的为， 图①中矩形的面积为， ∴图①几何体的表面积为： ． 故答案为：． 9. （2024年浙江）刘徽注《九章算术》中，将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“壍（qiàn）堵”；将底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”；将四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑（biē nào）”.如图所示，壍堵可斜解为“阳马”和“鳖臑”两部分，则“阳马”与“鳖臑”的体积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设底面三角形面积为，高为，求出三棱柱与三棱锥的体积，体积相减为四棱锥体积，然后求比值即可. 【详解】设底面三角形面积为， 因为侧棱垂直于底面，所以底面，所以设高， 则三棱柱“壍（qiàn）堵”体积； 则三棱锥“鳖臑（biē nào）”的体积； 则四棱锥“阳马”的体积； 则“阳马”与“鳖臑”的体积之比为； 故选：C. 10.（2024年浙江）如图所示，某几何体是一个圆锥与一个半球的组合体，若圆锥的高为，圆锥底面的直径与半球的直径皆为6，则该几何体的表面积____________. 【答案】 【解析】 【分析】求出圆锥的母线长，然后根据球的表面积公式和圆锥的侧面积公式计算即可． 【详解】由题意得，圆锥底面的半径，高，半球的半径， 则圆锥的母线长， 则该几何体的表面积. 故答案为：. 11. （2023年浙江）圆锥的母线长为4，侧面积是底面面积的2倍，则圆锥的高为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面积是底面积的2倍，可求出底面半径，进而求得圆锥的高. 【详解】设圆锥的底面半径为， ∵侧面积是底面面积的2倍 则 解得：， ∴圆锥的高. 故答案为:. 12. （2022年浙江）一个玻璃容器盛有一部分水，其内部形状是底面半径为圆柱.将一个实心玻璃球放入该容器中，球完全沉没在水里，此时玻璃容器中的水位上升了（水没有外溢），则球的半径为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】理解题意，根据球及圆柱的体积公式计算即可. 【详解】设球的半径为，则球的体积为， 水位上升增加的体积为：， 则由可得：. 故答案：3. （2） 空间中点、线、面的位置关系 13. （2026年浙江）在正方体中，中点为，中点为，求异面直线与所成角的大小（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先找出为异面直线与所成角，结合全等三角形，直角三角形的性质即可求解. 【详解】取中点，连接，， 则， 在正方体中，， 所以， 则四边形为平行四边形，所以， 则或其补角为异面直线与所成角，且， 因为， 所以， 则， 所以， 在三角形中，所以， 即异面直线与所成角的大小为. 故选：D. 14. （2026年浙江）在三棱锥中，底面为边长等于4的正三角形．已知点平面，平面，垂足落在线段上，且垂线段． （1）求三棱锥的体积； （2）若D为中点，求直线与底面所成角的大小； （3）若分别为线段和的中点，求线段长度的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出底面三角形的面积，代入棱锥的体积公式计算； （2）由题意可得为直线与底面所成的角，在中求解即可； （3）取中点Q，可得，设，在中，由余弦定理得，在直角中求得的表达式，然后利用二次函数的性质求解． 【小问1详解】 因为底面为边长等于4的正三角形， 所以面积为， 因为平面，所以为三棱锥的高， 故三棱锥的体积． 【小问2详解】 连接． 因为平面，则是在底面内的射影， 故为直线与底面所成的角，且． 因为为正三角形，D为中点，所以． 在中：， 在中，，则， 故直线与底面所成角为． 【小问3详解】 取中点Q，连接，． M为中点，Q为中点，故且， 由平面，得平面， 因为平面，故，为直角三角形． 设，则，， 在中，，， 由余弦定理得 ， 在直角中，， 因为函数在上单调递减， 所以，当时，； 当时，． ∴的取值范围为． 15.（2025年浙江）如图，长方体中，，，，O为上底面中心.求： （1）四棱锥的体积； （2）二面角的大小. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，根据四棱锥的体积公式计算即可； （2）通过辅助线找到即为二面角的平面角，再由正切值即可求解角度. 【小问1详解】 连接，，，，作于点H，如图， 易得是四棱锥的高，且， ∴； 【小问2详解】 取底面的中心S，取棱的中点T，连接，，，如图， ∵， ∴， 又∵平面，平面， ∴， ∴即为二面角的平面角， ∵在中，， ∴， 即二面角的大小为. 16.（2024年浙江）如图所示，菱形ABCD的边长为3，，点是平面ABCD外一点，平面ABCD，且.求： （1）四棱锥的体积； （2）二面角的平面角的正切值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意求出底面积，利用棱锥体积公式求解； （2）根据题意找出二面角的平面角为，求出正切值即可. 【小问1详解】 底面ABCD为菱形，边长为，， 对角线，且相互平分， ， . 面ABCD， . 【小问2详解】 如图，作于，连接， ， 面、面ABCD， ，， 平面，， 平面，又平面， ， 为二面角的平面角， 又， ， 即二面角的平面角的正切值为. 17. （2023年浙江）如图所示，在三棱柱中，点是上的动点，则直线与的位置关系是（ ） A. 相交 B. 平行 C. 异面 D. 异面或平行 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线位置关系判断. 【详解】因为三棱柱中，点是上的动点， 当运动到点时，， 当运动到除以外的其他点时，直线与异面. 故选:D. 18. （2023年浙江）如图所示，在长方体中，，，，点在上，点，在上，.求 （1）四棱锥的体积： （2）二面角的平面角的正切值. 【答案】（1）14 （2） 【解析】 【分析】（1）先求出梯形的面积，再由四棱锥的体积公式求解即可. （2）证明线线垂直找到面面角，再将角放到直角三角形中求解即可. 【小问1详解】 ， . 【小问2详解】 连接， 由题意可知，二面角即为二面角， 在正方体中，面， 又因为面， 所以, 所以为二面角的平面角， 所以在，, 故二面角的平面角的正切值为. 19. （2022年浙江）点关于x轴的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点关于x轴的对称,横坐标不变，纵坐标相反即可求解. 【详解】点关于x轴的对称点的坐标. 故选：C. 20. （2022年浙江）如图所示，在正方体中，异面直线和CD所成角的正弦值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由可知，（或其补角）即为所求角，再解三角形即可. 【详解】 因为，将平移到, 则与所成角即为与所成角， 直线和CD所成角为（或其补角）， ∵在正方体中，直线平面， ∵平面，∴，∴， 设正方体棱长为，则， 在直角三角形中，， ∴， 故选：D. 21. （2022年浙江）如图（1）所示，在棱长为1的正方体中，分别沿相邻三个面的对角线截去三个三棱锥和，得到如图（2）所示的几何体． 求： （1）图（2）所示几何体的体积V； （2）二面角的平面角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据棱柱与棱锥的关系求解. （2）先确定二面角的平面角的位置，再根据关系求余弦值. 【小问1详解】 ， ， 所以，所求几何体的体积． 【小问2详解】 在正方体中，取AC中点E，连接DE，， 则， 所以即为二面角的平面角 在中，． 所以． 即二面角的平面角的余弦值为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 平面向量与立体几何 平面向量： 1.理解向量及有关的概念，掌握向量加法、减法和数乘向量运算； 2.掌握向量夹角的定义、内积的定义和性质； 3.掌握向量的直角坐标表示及运算； 4.会判断两个非零向量是否平行、垂直； 5.能利用向量的知识解决相关问题. 立体几何： 1.了解多面体、旋转体和棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球的概念，理解直棱柱、正棱锥的有关概念； 2.理解几何体的三视图，掌握直观图的斜二测画法，能根据三视图绘制简单几何体的直观图； 3.会求直棱柱、圆柱、正棱锥、圆锥和球的表面积，会求柱体、锥体、球的体积，并会求简单组合体的表面积和体积； 4.理解平面的基本性质； 5.理解空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系； 6.掌握直线与直线、直线与平面、平面与平面平行和垂直的判定与性质； 7.理解点到平面的距离、直线到平面的距离、平行平面间的距离的概念，并会解决相关的距离问题； 8.理解异面直线所成角、直线与平面所成角的概念，并会解决相关的简单问题；了解二面角的概念. 考点01平面向量 （1） 平面向量的线性运算与坐标表示 1. （2026年浙江）已知点，，，求（ ） A. B. C. D. 2. （2025年浙江）已知正方形ABCD边长为，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. （2024年浙江）在中，已知点的坐标为，点的坐标为，分别为边的中点，则向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. （2023年浙江）已知点，向量，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. （2022年浙江）已知点，则（ ） A. B. C. D. （2） 平面向量的内积 6. （2022年浙江）已知点，若动点使得，则实数t的取值范围为__________． 考点02立体几何 （1） 立体几何中的体积、表面积、侧面积及其应用 7. （2026年浙江）长方体内部有一个圆柱，长方体底面为正方形，边长为4，高为3；圆柱底面直径为2，圆柱的高为，求该组合几何体（长方体挖去圆柱）的体积为（ ） A. B. C. D. 8.（2025年浙江）如图，按图②中的圆柱的轴截面进行切割，得到四分之一部分，得到的几何体如图①所示，．若圆柱的高为2，底面半径为1，则图①中的几何体的表面积为__________． 9. （2024年浙江）刘徽注《九章算术》中，将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“壍（qiàn）堵”；将底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”；将四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑（biē nào）”.如图所示，壍堵可斜解为“阳马”和“鳖臑”两部分，则“阳马”与“鳖臑”的体积之比为（ ） A. B. C. D. 10.（2024年浙江）如图所示，某几何体是一个圆锥与一个半球的组合体，若圆锥的高为，圆锥底面的直径与半球的直径皆为6，则该几何体的表面积____________. 11. （2023年浙江）圆锥的母线长为4，侧面积是底面面积的2倍，则圆锥的高为______. 12. （2022年浙江）一个玻璃容器盛有一部分水，其内部形状是底面半径为圆柱.将一个实心玻璃球放入该容器中，球完全沉没在水里，此时玻璃容器中的水位上升了（水没有外溢），则球的半径为__________． （2） 空间中点、线、面的位置关系 13. （2026年浙江）在正方体中，中点为，中点为，求异面直线与所成角的大小（ ） A. B. C. D. 14. （2026年浙江）在三棱锥中，底面为边长等于4的正三角形．已知点平面，平面，垂足落在线段上，且垂线段． （1）求三棱锥的体积； （2）若D为中点，求直线与底面所成角的大小； （3）若分别为线段和的中点，求线段长度的取值范围． 15.（2025年浙江）如图，长方体中，，，，O为上底面中心.求： （1）四棱锥的体积； （2）二面角的大小. 16.（2024年浙江）如图所示，菱形ABCD的边长为3，，点是平面ABCD外一点，平面ABCD，且.求： （1）四棱锥的体积； （2）二面角的平面角的正切值. 17. （2023年浙江）如图所示，在三棱柱中，点是上的动点，则直线与的位置关系是（ ） A. 相交 B. 平行 C. 异面 D. 异面或平行 18. （2023年浙江）如图所示，在长方体中，，，，点在上，点，在上，.求 （1）四棱锥的体积： （2）二面角的平面角的正切值. 19. （2022年浙江）点关于x轴的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 20. （2022年浙江）如图所示，在正方体中，异面直线和CD所成角的正弦值为（ ） A. 1 B. C. D. 21. （2022年浙江）如图（1）所示，在棱长为1的正方体中，分别沿相邻三个面的对角线截去三个三棱锥和，得到如图（2）所示的几何体． 求： （1）图（2）所示几何体的体积V； （2）二面角的平面角的余弦值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $