2027届高三物理第一轮复习专项训练：曲线运动

**基本信息** 以“概念-模型-应用”为主线，系统整合曲线运动条件、运动合成与分解、抛体及圆周运动等核心内容，通过分类题型与典例解析构建方法体系，强化科学思维与模型建构能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |曲线运动条件及轨迹分析|4例|曲线运动条件判断、轨迹弯曲方向分析|从曲线运动定义出发，结合力与运动关系推导轨迹规律| |运动合成与分解|10例|合运动性质判断、关联速度分解法|基于运动独立性原理，通过正交分解处理复杂运动| |抛体运动|24例|平抛运动规律、类平抛模型迁移|水平匀速与竖直匀变速合成，拓展斜面/圆弧平抛情境| |圆周运动|26例|向心力来源分析、临界条件判断|从运动学公式到动力学方程，结合生活实例（汽车过弯等）| |实验|10例|平抛轨迹描绘、向心力影响因素探究|通过实验操作深化对运动规律的理解与科学探究能力|

曲线运动 题型一 曲线运动的条件及轨迹分析 【例1】关于质点做曲线运动，下列说法正确的是（    ） A．曲线运动一定是变速运动，变速运动也一定是曲线运动 B．质点做曲线运动，其加速度有可能不变 C．质点做曲线运动的过程中，某个时刻所受合力方向与速度方向可能相同 D．有些曲线运动也可能是匀速运动 【例2】如图，这是物体做匀变速曲线运动的轨迹的示意图．已知物体在B点的加速度方向与速度方向垂直，则下列说法中正确的是(　　) A．C点的速率小于B点的速率 B．A点的加速度比C点的加速度大 C．C点的速率大于B点的速率 D．从A点到C点加速度与速度的夹角先增大后减小，速率是先减小后增大 【例3】（多选）光滑水平面上一运动质点以速度v0通过点O，如图所示，与此同时给质点加上沿x轴正方向的恒力Fx和沿y轴正方向的恒力Fy，则(　　) A．因为有Fx，质点一定做曲线运动 B．如果Fy＜Fx，质点向y轴一侧做曲线运动 C．如果Fy＝Fxtan α，质点做直线运动 D．如果Fx＞Fycot α，质点向x轴一侧做曲线运动 【例4】(多选)一质量为的滑块在水平方向恒力的作用下，在光滑的水平面上运动，如图所示为滑块在水平面上运动的一段轨迹，滑块过P、Q两点时速度大小均为，滑块在P点的速度方向与PQ连线夹角，，。则下列说法正确的是（　　） A．水平恒力F的方向与PQ连线成53°夹角 B．滑块从P点运动到Q点的过程中速度变化量为0m/s C．滑块从P点运动到Q点的时间为0.3s D．滑块从P点运动到Q点的过程中速度最小值为0.4m/s 题型二 运动的合成与分解 类型1 合运动与分运动的关系 【例1】跳伞表演是人们普遍喜欢的观赏性体育项目，如图所示，当运动员从直升机上由静止跳下后，在下落过程中将会受到水平风力的影响，下列说法中正确的是(　　) A．风力越大，运动员下落时间越长，运动员可完成更多的动作 B．风力越大，运动员着地时的竖直速度越大，有可能对运动员造成伤害 C．运动员下落时间与风力无关 D．运动员着地速度与风力无关 类型2 两互成角度运动合运动性质的判断 【例1】(多选)如图所示，在光滑水平面上有两条互相平行的直线l1、l2，AB是两条直线的垂线，其中A点在直线l1上，B、C两点在直线l2上。一个物体沿直线l1以确定的速度匀速向右运动，如果物体要从A点运动到C点，图中1、2、3为其可能的路径，则可以使物体通过A点时(　　) A．获得由A指向B的任意大小的瞬时速度；物体的路径是2 B．获得由A指向B的确定大小的瞬时速度；物体的路径是2 C．持续受到平行于AB的任意大小的恒力；物体的路径可能是1 D．持续受到平行于AB的确定大小的恒力；物体的路径可能是3 【例2】(多选)质量为2 kg的质点在xOy平面上做曲线运动，在x方向的速度图象和y方向的位移图象如图所示，下列说法正确的是(　　) A．质点的初速度为5 m/s B．质点所受的合外力为3 N，做匀加速曲线运动 C．2 s末质点速度大小为6 m/s D．2 s内质点的位移大小约为12 m 【例3】如图所示，战斗机离舰执行任务，若战斗机离开甲板时的水平分速度为40 m/s，竖直分速度为20 m/s，之后飞机在水平方向做加速度大小等于2 m/s2的匀加速直线运动，在竖直方向做加速度大小等于1 m/s2的匀加速直线运动。则离舰后(　　) A.飞机的运动轨迹为曲线 B.10 s内飞机水平方向的分位移是竖直方向的分位移大小的2倍 C.10 s末飞机的速度方向与水平方向夹角为30° D.飞机在20 s内水平方向的平均速度为50 m/s 类型3 运动的分解 【例1】玻璃板以2 m/s的速度水平向右运动，刀具相对地面速率恒为4m/s，要切出矩形，求刀具运动方向与水平夹角。 【例2】（多选 ）如图所示，雨天时，一向右沿直线匀速行驶的货车的货厢底板上固定一长方体箱子，部分距离已经在图中标出，雨滴的速度方向与图示截面方向平行，与竖直方向的夹角为30°，速率恒为v。下列说法正确的是( ) A. 若雨滴速度方向斜向右下，车速度为v时雨滴恰不落到箱子上 B. 若雨滴速度方向斜向右下，车速度为v时雨滴恰不落到箱子上 C. 若雨滴速度方向斜向左下，车速度为v时雨滴恰不落到箱子上 D. 若雨滴速度方向斜向左下，车速度为v时雨滴恰不落到箱子上 类型4 运动合成与分解思想的迁移应用 【例1】(多选)如图所示，一块橡皮用细线悬挂于O点，现用一支铅笔贴着细线的左侧水平向右以速度v匀速移动，运动过程中保持铅笔的高度不变，悬挂橡皮的那段细线保持竖直，则在铅笔未碰到橡皮前，橡皮的运动情况是(　　) A．橡皮在水平方向上做匀速运动 B．橡皮在竖直方向上做加速运动 C．橡皮的运动轨迹是一条直线 D．橡皮在图示虚线位置时的速度大小为v 【例2】(多选)如图所示，在灭火抢险的过程中，消防队员有时要借助消防车上的梯子爬到高处进行救人或灭火作业．为了节省救援时间，在消防车向前前进的过程中，人同时相对梯子匀速向上运动．在地面上看消防队员的运动，下列说法中正确的是(　　) A．当消防车匀速前进时，消防队员一定做匀加速直线运动 B．当消防车匀速前进时，消防队员一定做匀速直线运动 C．当消防车匀加速前进时，消防队员一定做匀变速曲线运动 D．当消防车匀加速前进时，消防队员一定做匀变速直线运动 【例3】风洞是研究空气动力学的实验设备。如图，两水平面（虚线）之间的距离为H，其间为风洞的区域，物体进入该区间会受到水平方向的恒力，自该区域下边界的O点将质量为m的小球以一定的初速度竖直上抛，从M点离开风洞区域，小球再次从N点返回风洞区域后做直线运动，落在风洞区域的下边界P处，NP与水平方向的夹角为45°，不计空气阻力，重力加速度大小为g，求： （1）风洞区域小球受到水平方向恒力的大小； （2）小球运动过程中离风洞下边界OP的最大高度； （3）OP的距离。 题型三 小船渡河问题 【例1】一小船渡河，河宽，水流速度。已知， （1）若船在静水中的速度为欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？ （2）若船在静水中的速度为欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？ （3）若船在静水中的速度，要使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？ 【例2】(多选)甲、乙两船在同一河流中同时开始渡河，河水流速为v0，两船在静水中的速率均为v，甲、乙两船船头均与河岸成θ角，如图所示，已知甲船恰能垂直河岸到达河正对岸的A点，乙船到达河对岸的B点，A、B之间的距离为L，则下列判断正确的是(　　) A．乙船先到达对岸 B．若仅是河水流速v0增大，则两船的渡河时间都不变 C．不论河水流速v0如何改变，只要适当改变θ角，甲船总能到达正对岸的A点 D．若仅是河水流速v0增大，则两船到达对岸时，两船之间的距离仍然为L 【例3】如图所示，在一次救援中，某河道水流速度大小恒为v，A处的下游C处有个半径为r的漩涡，其与河岸相切于B点，AB两点距离为。若解放军战士驾驶冲锋舟把被困群众从河岸的A处沿直线避开漩涡送到对岸，冲锋舟在静水中的速度最小值为（　　） A． B． C． D． 【例4】法国科学家皮埃尔·德·费马在1662年提出光线传播的路径是所需时间最少的路径，即费马原理，光的折射即遵从这一原理。实际生活中的下述现象也可类比折射定律来理解。如图所示，地面上陶陶在距笔直的河岸10 m处的A点，发现落水的琪琪位于水面上距河岸50 m处的B点。陶陶在地面上奔跑的速度大小为v1=5m/s，在水中游泳的速度大小为v2，奔跑、游泳均视为匀速直线运动，可知此次营救中，陶陶在陆地的速度与河岸夹角30°，在水中的速度与河岸夹角60°将最省时。由题中信息和所学物理知识可知（ ） A. 陶陶在水中游泳的速度大小为v2=m/s B. 陶陶在水中游泳的速度大小为v2=2.5m/s C. 陶陶到达琪琪处的最短时间为12 s D. 陶陶到达琪琪处的最短时间约为16 s 题型四 关联速度模型 类型1 绳端关联速度 【例1】(多选)如图所示，人在岸上拉船，已知船的质量为m，水的阻力恒为f，当轻绳与水平面的夹角为θ时，人的速度为v，人的拉力为F(不计滑轮与绳之间的摩擦)，则以下说法正确的是(　　) A．船的速度为 B．船的速度为vsin θ C．船的加速度为 D．船的加速度为 【例2】如图所示，水平光滑长杆上套有一物块Q，跨过悬挂于O点的轻小光滑圆环的轻绳一端连接Q，另一端悬挂一物块P。设轻绳的左边部分与水平方向的夹角为θ，初始时θ很小。现将P、Q由静止同时释放，关于P、Q以后的运动下列说法正确的是(　　) A．当θ＝60°时，P、Q的速度之比是∶2 B．当θ＝90°时，Q的速度最大 C．当θ＝90°时，Q的速度为零 D．当θ向90°增大的过程中Q的合力一直增大 【例3】(多选)如图所示，将质量为2m的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质量为m的小环，小环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑定滑轮与直杆的距离为d.现将小环从与定滑轮等高的A处由静止释放，当小环沿直杆下滑距离也为d时(图中B处)，下列说法正确的是(重力加速度为g)(　　) A．小环刚释放时轻绳中的张力一定大于2mg B．小环到达B处时，重物上升的高度为(－1)d C．小环在B处的速度与重物上升的速度大小之比等于 D．小环在B处的速度与重物上升的速度大小之比等于 【例4】（多选）如图所示，在粗糙水平地面上有一质量为M的物块，物块固连一轻质滑轮，并用轻绳按如图所示方式拉着物块运动，拉力恒为F，物块与地面间的动摩擦因数为，当物块运动到轻绳之间的夹角为时，物块的速度为，则此时（　　） A．物块的加速度为 B．物块的加速度为 C．拉绳子的速度为 D．拉绳子的速度为 类型2 杆端关联速度 【例1】（多选）在光滑的水平面内建立如图所示的直角坐标系，长为L的光滑轻质硬细杆AB的两个端点分别被约束在x轴和y轴上，现让杆的A端沿x轴正方向以速度v0匀速运动，已知P点为杆的中点，某时刻杆AB与x轴的夹角为θ.下列说法正确的是(　　) A．此时，杆B端的速度大小为 B．此时，杆B端的速度大小为v0tan θ C．P点的运动轨迹是圆的一部分 D．此时，P点的运动速度大小为 【例2】如图所示的机械装置可以将圆周运动转化为直线上的往复运动．连杆AB、OB可绕图中A、B、O三处的转轴转动，连杆OB在竖直面内的圆周运动可通过连杆AB使滑块在水平横杆上左右滑动．已知OB杆长为L，绕O点沿逆时针方向匀速转动的角速度为ω，当连杆AB与水平方向夹角为α，AB杆与OB杆的夹角为β时，滑块的水平速度大小为(　　) A. B. C. D. 类型3 点面接触关联速度 【例1】如图所示，将楔形木块B靠墙放在光滑水平面上并用手扶着，然后在木块和墙面之间放入一个小球A，楔形木块的倾角为θ，放手让小球A和木块B同时由静止开始运动，某时刻二者速度分别为vA和vB，则vA:vB等于（　　） A．1:1 B． C． D． 【例2】如图所示，长为l的轻杆，一端固定一个质量为m的小球，另一端有固定转动轴O，杆可在竖直面内绕转动轴O无摩擦转动；质量为m的物块放置在光滑水平面上，开始时，使小球靠在物块的光滑侧面上，轻杆与水平面夹角45°，用手控制物块静止，然后释放物块，在之后的运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．球与物块分离前，球与物块的速度相等 B．球与物块分离前，物块的速度先增大后减小 C．球与物块分离前，杆上的弹力逐渐增大 D．球与物块分离时，球的加速度等于重力加速度 【例3】（多选）如图所示，有一个水平向左做匀速直线运动的半圆柱体，速度为，半圆柱面上搁着只能沿竖直方向运动的竖直杆，在竖直杆未下降到地面之前，下列说法正确的是（　　） A．竖直杆向下做加速直线运动 B．竖直杆向下做减速直线运动 C．杆同半圆柱体接触点和柱心的连线与竖直方向的夹角为时， D．杆同半圆柱体接触点和柱心的连线与竖直方向的夹角为时， 类型4 双绳关联速度 【例1】（多选）如图所示，两个人通过两个定滑轮以恒定的速度拉一个大木箱，绳子与竖直方向的夹角都是，则下列说法正确的是（　　） A．此时木箱的速度 B．此时木箱的速度 C．木箱处于失重状态 D．木箱处于超重状态 【例2】如图为在平静海面上，两艘拖船A、B拖着驳船C运动的示意图。A、B的速度分别沿着缆绳、方向，速度大小分别为2，2.4 ，夹角为θ。Sin θ=0.8，则此时驳船C的速度大小为（    ） A．2.5 B．3.0 C．3.6 D．3.9 题型五 抛体运动 类型1 平抛运动的基本规律 【例1】（多选）小朋友玩水枪游戏时，若水从枪口沿水平方向射出时的速度大小为15m/s，水射出后落到水平地面上。已知枪口离地面的高度为0.8m，重力加速度g取，忽略空气阻力，则射出的水（    ） A．在空中的运动时间为0.16s B．水平射程为6m C．落地时的速度大小为19m/s D．落地时速度与水平夹角正切值为 【例2】如图所示，虚线是小球由空中某点水平抛出的运动轨迹，A、B为其运动轨迹上的两点。小球经过A点时，速度大小为10 m/s、与竖直方向夹角为60°；它运动到B点时，速度方向与竖直方向夹角为30°，不计空气阻力，取重力加速度g＝10 m/s2。下列说法中正确的是 (　　) A．小球通过B点的速度为12 m/s B．小球的抛出速度为5 m/s C．小球从A点运动到B点的时间为1 s D．A、B之间的距离为6 m 【例3】如图所示，x轴在水平地面上，y轴在竖直方向．图中画出了从y轴上沿x轴正方向水平抛出的三个小球a、b和c的运动轨迹．不计空气阻力，下列说法正确的是(　　) A．a和b的初速度大小之比为∶1 B．a和b在空中运动的时间之比为2∶1 C．a和c在空中运动的时间之比为∶1 D．a和c的初速度大小之比为2∶1 【例4】如图所示，小球从楼梯顶端以 v0=2m/s的速度水平抛出，每级台阶高度、宽度均为 L=0.25m，重力加速度 g=10m/s2，不计空气阻力，小球抛出后首先落到第几级台阶？（ ） A. 第一级 B. 第二级 C. 第三级 D. 第四级 类型2 对着竖直墙壁平抛 【例1】(多选)从竖直墙的前方A处，沿AO方向水平发射三颗弹丸a、b、c，在墙上留下的弹痕如图所示，已知Oa＝ab＝bc，则a、b、c三颗弹丸(不计空气阻力)(　　) A．初速度大小之比是∶∶ B．初速度大小之比是1∶∶ C．从射出至打到墙上过程速度增量之比是1∶∶ D．从射出至打到墙上过程速度增量之比是∶∶ 【例2】如图所示，网球发球机在距离墙L处将网球以不同的水平速度射出打到竖直墙上。已知墙上的O点与网球出射点等高，A、B两点分别为两个击中点，，击中A点的网球水平射出时的速度为，空气阻力忽略不计，网球可看作质点。下列说法正确的是（　　） A．击中B点的网球水平射出时的速度为 B．击中B点的网球水平射出时的速度为 C．要使原来击中A点的网球能击中B点，网球发球机应沿OP方向后退 D．要使原来击中B点的网球能击中A点，网球发球机应沿OP方向前进 【例3】（多选）如图，某人从同一位置O以不同的垂直墙面方向的水平速度投出两枚飞镖A、B，最后都插在竖直墙壁上，它们与墙面的夹角分别为30°、60°，图中飞镖的取向可认为是击中墙面时的速度方向，不计空气阻力。则下列说法正确的有（    ） A．两只飞镖的抛出速度满足 B．两只飞镖击中墙面的速度满足 C．两只飞镖的运动时间一定相等 D．插在墙上的两只飞镖的反向延长线与一定交于同一点 类型3 斜面上的平抛问题 【例1】如图为湖边一倾角为30°的大坝的横截面示意图，水面与大坝的交点为O。一人站在A点处以速度v0沿水平方向扔小石子，已知AO=40m，g取10m/s2。下列说法正确的是（　　） A．若v0=18m/s，则石块可以落入水中 B．若石块能落入水中，则v0越大，落水时速度方向与水平面的夹角不变 C．若石块不能落入水中，则v0越大，落到斜面上时速度方向与斜面的夹角越大 D．若石块不能落入水中，则v0越大，落到斜面上时速度方向与斜面的夹角越小 【例2】如图所示，一束平行光垂直斜面照射，小球从斜面上的点以初速度沿水平方向抛出，落在斜面上的点，不计空气阻力，下列说法中正确的是（　　） A．小球在空中飞行时间与无关 B．小球速度最大时距离斜面最远 C．小球离在斜面的最远距离是 D．小球在斜面上的投影加速移动 【例3】（多选）如图所示，挡板OA与竖直方向的夹角为，小球（视为质点）从O点的正上方高度为H的P点以大小为的初速度水平抛出，落到斜面上时，小球的位移与斜面垂直，重力加速度大小为g，不讨论小球落到斜面后的情况，下列说法正确的是（    ） A．小球落到斜面上的速度大小为 B．小球在空中运动的时间为 C． D．若小球抛出时的初速度大小为，则挡板OA与竖直方向的夹角为45° 类型4 圆弧的平抛问题 【例1】图所示，B为竖直圆轨道的左端点，它和圆心O的连线与竖直方向的夹角为α。一小球在圆轨道左侧的A点以速度v0平抛，恰好沿B点的切线方向进入圆轨道。已知重力加速度为g，则AB之间的水平距离为（　　） A． B． C． D． 【例2】某游戏装置如图所示，安装在竖直轨道AB上的弹射器可上下移动，能水平射出速度大小可调节的小弹丸．圆心为O的圆弧槽BCD上开有小孔P，弹丸落到小孔时，速度只有沿OP方向才能通过小孔，游戏过关，则弹射器在轨道上(　　) A．位于B点时，只要弹丸射出速度合适就能过关 B．只要高于B点，弹丸射出速度合适都能过关 C．只有一个位置，且弹丸以某一速度射出才能过关 D．有两个位置，只要弹丸射出速度合适都能过关 【例3】如图所示，质量为m的小球从四分之一光滑圆弧轨道顶端静止释放，从轨道末端O点以V=5m/s水平抛出，击中平台右下侧挡板上的P点。以O为原点在竖直面内建立如图所示的平面直角坐标系，挡板形状满足方程y=6-x2(单位：m)，g取10m/s2，求：小球从O点到P点所需的时间(结果可保留根号)。 【例4】（多选）如图，水平地面上有一个坑，其竖直截面为圆弧bc，半径为R，O为圆心，若在O点以大小不同的初速度v0沿Oc方向水平抛出小球，小球落在坑内。空气阻力可忽略，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　） A．落在球面上的最小速度为 B．落在球面上的最小速度为 C．小球的运动时间与v0大小无关 D．无论调整v0大小为何值，球都不可能垂直撞击在圆弧面上 【例5】如图所示，两个小球分别从半圆轨道顶端和斜面顶端以大小相等的初速度同时水平抛出。已知半圆轨道的半径为与斜面竖直高度相等，斜面底边长为其竖直高度的2倍。若小球能落到半圆轨道上，小球能落到斜面上，均可视为质点，重力加速度取,则下列说法正确的是（    ） A．如果球落在半圆轨道最低点，则其速度方向竖直向下 B．球落在斜面上时，其速度方向与水平面夹角的正切值为0.5 C．调整球初速度的大小，能使球垂直落在半圆轨道上 D．两球如果同时落在半圆轨道和斜面上，则其初速度 类型5 平抛的多解问题 【例1】如图所示，两平行竖直光滑挡板MN、PQ直立在水平地面上，它们之间的距离为L，它们的高度均为2L。将一小球（可视为质点）从M点以垂直于MN的初速度水平抛出，恰好落到Q点（小球未与挡板碰撞），重力加速度为g。 （1）求小球的初速度大小； （2）若改变小球水平抛出的初速度大小，小球与两挡板碰撞时，竖直速度保持不变，水平速度瞬间等大反向，要使小球落地时与两挡板的距离相等，求初速度大小应满足的条件（碰撞时间可忽略不计）。 【例2】如图所示，刚性圆柱形容器，上端开口，容器内侧高，内径，现有一刚性小球（视为质点）从容器上端内边缘沿直径以的初速度水平抛出，小球恰好可以击中容器底部中心位置。已知重力加速度，忽略空气阻力，小球与容器内壁碰撞视为弹性碰撞，则小球的初速度可能是（　　） A． B． C． D． 类型6 生活中的平抛运动（STS问题） 【例1】飞行员驾驶飞机进行投掷炸弹训练，日的是营造实战环境，提高飞行员战术水平，熟悉武器装备性能，实现人与装备的最佳融合。某次训练飞机在高空中水平匀速飞行时投下炸弹，如图所示，忽略空气阻力对炸弹的影响。关于炸弹在离开飞机后的运动过程，下列说法正确的是（　　） A．地面上的观察员看到炸弹做自由落体运动 B．地面上的观察员看到炸弹沿斜下方做匀速直线运动 C．地面上的观察员看到炸弹做平抛运动 D．飞机上的观察员看到炸弹做平抛运动 【例2】一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示．水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为h.发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h.不计空气的作用，重力加速度大小为g.若乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是(　　) A. ＜v＜L1 B. ＜v＜ C. ＜v＜ D. ＜v＜ 【例3】如图所示，乒乓球的发球器安装在足够大的水平桌面上，可绕竖直转轴OO′转动，发球器O′A部分水平且与桌面之间的距离为h，O′A部分的长度也为h.重力加速度为g.打开开关后，发球器可将乒乓球从A点以初速度v0水平发射出去，≤v0≤2.设发射出去的所有乒乓球都能落到桌面上，乒乓球可视为质点，空气阻力不计．若使该发球器绕转轴OO′在90°的范围内来回缓慢地水平转动，持续发射足够长时间后，乒乓球第一次与桌面碰撞区域的面积S是(　　) A．2πh2 B．3πh2 C．4πh2 D．8πh2 【例4】如图所示，一架在2000m高空以200m/s的速度水平匀速飞行的轰炸机，要想用两枚炸弹分别轰炸山脚和山顶的目标A和B。已知山高720m，山脚与山顶的水平距离为800m。若不计空气阻力，g取10m/s2，则投弹的时间间隔应为（   ） A．4s B．5s C．8s D．16s 类型7 有空气阻力的平抛 【例1】（多选）某同学将一乒乓球从距水平地面高h处的A点以速度水平抛出，乒乓球运动过程中受到的空气阻力始终与速度成正比，方向始终与运动方向相反，落到水平地面上的B点时速度方向与水平地面的夹角为45°，如图所示。已知乒乓球从A点抛出时受到的空气阻力最大，最大值恰好等于自身受到的重力，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（　　） A．乒乓球从A点运动到B点的过程中速度先减小后增大 B．乒乓球落到B点时的速度大小为 C．乒乓球的水平射程为 D．乒乓球从A点运动到B点的时间为 类型8 类平抛 【例1】如图所示，一物体在某液体中运动时只受到重力mg和恒定的浮力F的作用，且。如果物体从M点以水平初速度开始运动，最后落在N点，MN间的竖直高度为h，其中g为重力加速度，则下列说法正确的是（    ） A．物体从M运动到N的轨迹不是抛物线 B．减小水平初速度，物体运动时间将变长 C．物体从M运动到N的时间为 D．M与N之间的水平距离为 【例2】(多选)如图所示，两个倾角分别为30°，45°的光滑斜面放在同一水平面上，斜面高度相等．有三个完全相同的小球a，b，c，开始均静止于同一高度处，其中b小球在两斜面之间，a，c两小球在斜面顶端，两斜面间距大于小球直径．若同时释放，a，b，c小球到达水平面的时间分别为t1，t2，t3.若同时沿水平方向抛出，初速度方向如图所示，到达水平面的时间分别为t1′，t2′，t3′.下列关于时间的关系正确的是(　　) A．t1>t3>t2 B．t1＝t1′，t2＝t2′，t3＝t3′ C．t1′>t3′>t2′ D．t1<t1′，t2<t2′，t3<t3′ 类型9 斜抛 【例1】如图所示，从地面上同一位置抛出两小球A、B，分别落在地面土的M、N点，两球运动的最大高度相同。若空气阻力不计，则（　　） A．B的加速度比A的小 B．B在最高点的速度比A大 C．B的飞行时间比A的长 D．B落地时的速度大小与A相等 【例2】足球运动员在距离球门水平距离 x=20m， 处将球从地面踢出，初速度 v0=15m/s，抛射角 37°，忽略空气阻力。已知球门横梁高度 h=2.44m，球门底部在地面。请判断足球能否射入球门。 已知：sin37°=0.6,cos37°=0.8,g=10m/s2 【例3】某篮球运动员正在进行投篮训练，篮球的运动轨迹可简化为如图所示的曲线，其中A是篮球的投出点，B是运动轨迹的最高点，C是篮球的投入点。已知篮球在A点的速度方向与水平方向的夹角为，在B点的速度大小为v0，在C点的速度方向与水平方向的夹角为，篮球可视为质点，忽略空气阻力，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　） A．从A点到B点，篮球运动的时间为 B．从B点到C点，篮球运动的时间为 C．A、B两点的高度差为 D．A、C两点的水平距离为 【例4】（多选）如图所示，工程队向峡谷对岸平台抛射重物，初速度大小为，与水平方向的夹角为，抛出点P和落点Q的连线与水平方向夹角为，重力加速度大小取，忽略空气阻力，重物在此运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．运动时间为 B．落地速度与水平方向夹角为 C．重物离连线的最远距离为 D．轨迹最高点与落点的高度差为 类型10 平抛相遇问题 【例1】（多选）如图，物体甲从高H处以速度平抛，同时乙从乙距甲水平方向s处由地面以初速度竖直上抛，不计空气阻力，则两物体在空中相遇的条件是（　　） A．从抛出到相遇的时间为 B．若要在物体乙上升中遇甲，必须， C．若要在物体乙下降中遇甲，必须， D．若相遇点离地高度为，则 【例2】如图甲所示，我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播种。某次抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图乙所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为O，且轨迹交于P点，抛出时谷粒1的初速度大小为，方向水平，谷粒2的初速度大小为，方向与水平方向之间的夹角为37°。忽略空气阻力，重力加速度为g，取。谷粒2从O点运动到P点的时间为（　　） A． B． C． D． 题型六 圆周运动 类型1 圆周运动中的运动学分析 【例1】如图所示为自行车的传动装置示意图，已知链轮的半径，飞轮的半径，后轮的半径，、、图中未画出分别为链轮、飞轮和后轮边缘上的点。若脚蹬匀速转动一圈所需要的时间为，则在自行车匀速前进的过程中，下列说法正确的是（　　） A．、、三点的向心加速度大小之比为 B．、、三点的线速度大小之比为 C．自行车前进的速度大小约为 D．链轮、飞轮和后轮的角速度大小之比为 【例2】小红同学在体验糕点制作“裱花”环节时，她在绕中心匀速转动的圆盘上放了一块直径8英寸（20cm）的蛋糕，如图所示，在蛋糕边缘每隔4s均匀“点”一次奶油，蛋糕转动一周正好均匀“点”上15点奶油，则下列说法正确的是（　　） A．圆盘转动的转速为2πr/min B．圆盘转动的角速度大小为 C．蛋糕边缘的奶油线速度大小约为 D．蛋糕边缘的向心加速度约为 【例3】如图所示，一位同学玩飞镖游戏。圆盘最上端有一点P，飞镖抛出时与P在同一竖直面内等高，且距P点的距离为L。在飞镖以初速度垂直盘面瞄准P点抛出的同时，圆盘绕经过盘心O点的水平轴在竖直平面内匀速转动。忽略空气阻力，重力加速度为g，若飞镖恰好击中P点，求： （1）圆盘的半径； （2）圆盘转动角速度的最小值； （3）P点随圆盘转动的线速度。 【例4】如图所示，地球绕地轴做匀速圆周运动，在A、B两点有两个物体，其中B物体在赤道，A物体在北半球，A、B相对于地面静止，A、B两物体的质量之比为1：2．图中，，下列说法正确的是（　　） A．A、B两物体的周期之比是1：2 B．A、B两物体的线速度之比是1：1 C．A、B两物体的向心加速度大小之比是 D．A、B两物体的向心力大小之比是3：8 【例5】（多选）如图所示，光滑水平面上，质量为m的小球在拉力F作用下做匀速圆周运动。若小球运动到P点时，拉力F突然发生变化。下列关于小球运动情况的说法中正确的是（    ） A．若拉力突然变为零，小球将沿Pa做匀加速直线运动 B．若拉力突然变为零，小球将沿Pa做匀速直线运动 C．若拉力突然变大，小球将沿轨迹Pb做离心运动 D．若拉力突然变大，小球将沿轨迹Pc做向心运动 【例6】（多选）带有一白点的黑色圆盘，绕过其中心且垂直于盘面的轴沿逆时针方向匀速转动，转速。某同学在暗室中用频闪光源照射圆盘，则（    ） A．如果频闪光源每秒闪光10次，该同学观察到白点逆时针转动 B．如果频闪光源每秒闪光12次，该同学观察到白点顺时针转动 C．如果频闪光源每秒闪光15次，该同学观察到白点顺时针转动，转速为5r/s D．如果频闪光源每秒闪光20次，该同学只能在圆盘上的两个位置观察到白点 类型2 竖直面内的圆周运动 绳模型 杆模型 【例1】如图所示，不可伸长的轻质细绳一端固定在O点，另一端拴住一个小球（视为质点）。在O点正下方一半绳长的地方有一枚与竖直平面垂直的钉子A。把小球拉起使细绳在水平方向伸直，由静止开始释放小球，当细绳碰到钉子后的瞬间（细绳未断）（　　） A．小球的角速度增大到碰钉子前瞬间角速度的2倍 B．细绳对小球的拉力突然减小 C．小球的线速度突然增大到碰钉子前瞬间线速度的2倍 D．细绳对小球的拉力增大到碰钉子前瞬间拉力的2倍 【例2】甲图是质量为m的小球，在竖直平面内绕O点做半径为R的圆周运动（OA为细绳）；乙图是质量为m的小球，在竖直平面内绕O点做半径为R的圆周运动（OB为轻质杆）；丙图是质量为m的小球，在半径为R的竖直光滑圆轨道内侧做圆周运动；丁图是质量为m的小球在竖直放置的半径为R的光滑圆形管道内做圆周运动。则下列说法正确的是（　　） A．甲丙图中，小球通过最高点的最小速度都是 B．乙丁图中，小球通过最高点的最小速度都是 C．在丁图中，小球在水平线ab以下管道中运动时，外侧管壁对小球一定无作用力 D．在丁图中，小球在水平线ab以上管道中运动时，内侧管壁对小球一定有作用力 【例3】如图所示，轻杆长3L，在杆两端分别固定质量均为m的球A和B，光滑水平转轴穿过杆上距球A为L处的O点，外界给系统一定能量后，杆和球在竖直平面内转动，球B运动到最高点时，杆对球B恰好无作用力．忽略空气阻力，重力加速度为g，则球B在最高点时(　　) A．球B的速度为零 B．球A的速度大小为 C．水平转轴对杆的作用力为1.5mg D．水平转轴对杆的作用力为2.5mg 【例4】如图甲所示，一轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，在竖直平面内做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为FN，小球在最高点的速度大小为v，FN－v2图象如图乙所示。下列说法正确的是(　　) A．当地的重力加速度大小为 B．小球的质量为 C．当v2＝c时，杆对小球弹力方向向上 D．若v2＝2b，则杆对小球弹力大小为2a 【例5】如图甲所示，一横截面为圆形的水泥涵管、内截面圆的半径为R。一儿童在最低点以一定的水平初速度踢出球，球沿管道运动在A 点脱离管道后，恰好落入位于圆心O处的背兜，简化示意图如图乙所示。忽略一切阻力和滚动的影响，则AO与水平方向夹角的正切值 tanθ为（　　） A． B． C． D． 类型3 水平面内圆周运动 圆锥摆模型 【例1】(多选)如图所示，两根长度相同的细线分别系有两个完全相同的小球，细线的上端都系于O点，设法让两个小球均在水平面上做匀速圆周运动．已知L1跟竖直方向的夹角为60°，L2跟竖直方向的夹角为30°，下列说法正确的是(　　) A．细线L1和细线L2所受的拉力大小之比为 ∶1 B．小球m1和m2的角速度大小之比为 ∶1 C．小球m1和m2的向心力大小之比为3∶1 D．小球m1和m2的线速度大小之比为3∶1 【例2】“飞车走壁”杂技表演比较受青少年的喜爱，这项运动由杂技演员驾驶摩托车，沿表演台的侧壁做匀速圆周运动．简化后的模型如图所示，若表演时杂技演员和摩托车的总质量不变，摩托车与侧壁间沿侧壁倾斜方向的摩擦力恰好为零，轨道平面离地面的高度为H，侧壁倾斜角度α不变，则下列说法中正确的是(　　) A．摩托车做圆周运动的H越高，向心力越大 B．摩托车做圆周运动的H越高，线速度越大 C．摩托车做圆周运动的H越高，向心力做功越多 D．摩托车对侧壁的压力随高度H变大而减小 【例3】（多选）如图所示，有一固定的且内壁光滑的半球面，球心为O，最低点为C，有两个可视为质点且质量相同的小球A和B，在球面内壁两个高度不同的水平面内做匀速圆周运动，A球的轨迹平面高于B球的轨迹平面，A、B两球与O点的连线与竖直线OC间的夹角分别为α=53°和β=37°，（sin37°=0.6）则（　　） A．A、B两球所受支持力的大小之比为4∶3 B．A、B两球运动的周期之比为2∶ C．A、B两球的角速度之比为2∶ D．A、B两球的线速度之比为4：3 【例4】如图所示，质量忽略不计、长度分别为和的不可伸长的轻绳，分别系质量为5m和m的小球，它们以相同的转速绕中心轴线做匀速圆周运动。稳定时绳子与竖直方向夹角的正切值分别为及，圆周运动半径分别为和，两绳子中的张力分别为和，则（　　） A． B． C． D． 类型4 圆盘类 【例1】如图所示，A、B、C三个物体放在旋转圆台上，它们与圆台之间的动摩擦因数均为，A的质量为，B、C的质量均为m，A、B离轴心的距离为R，C离轴心的距离为，重力加速度为g，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则当圆台旋转时（设A、B、C都没有滑动）（    ） A．物体A的向心加速度最大 B．物体B受到的静摩擦力最大 C．物体C开始滑动的临界角速度为 D．当圆台转速增大时，B比A先滑动 【例2】如图所示，物块置于水平转盘上随转盘一起运动，图中方向沿半径指向圆心，方向与方向垂直．当转盘逆时针转动时，下列说法正确的是（　　） A．当转盘匀速转动时，受摩擦力方向为 B．当转盘匀速转动时，不受转盘的摩擦力 C．当转盘加速转动时，受摩擦力方向可能为 D．当转盘减速转动时，受摩擦力方向可能为 类型5 临界问题 【例1】如图，置于圆形水平转台边缘的小物块随转台缓慢加速转动，当转速达到某一数值时，物块恰好滑离转台开始做平抛运动。现测得转台半径，离水平地面的高度，物块与转台间的动摩擦因数。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度，求： （1）物块离开转台边缘时转台的角速度； （2）物块落地时速度与水平方向夹角的正切值； （3）物块落地点到转台中心O点的水平距离。 【例2】如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴距离0.5m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止，物体与盘面间的动摩擦因数为（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力），盘面与水平面的夹角为30°，g取10m/s2，则ω的最大值是（　　） A．0.5rad/s B．rad/s C．1.0rad/s D．rad/s 【例3】(多选)如图所示，两个可视为质点的、相同的木块A和B放在转盘上，两者用长为L的细绳连接，木块与转盘的最大静摩擦力均为各自重力的K倍，A放在距离转轴L处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴O1O2转动，开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，以下说法正确的是(　　) A．当ω>时，A、B相对于转盘会滑动 B．当ω>，绳子一定有弹力 C．ω在<ω<范围内增大时，B所受摩擦力变大 D．ω在0<ω<范围内增大时，A所受摩擦力一直变大 【例4】如图所示，圆锥面与竖直方向的夹角为，一条长为的不可伸长的轻绳一端拴着质量为的小球（可看作质点），另一端固定在圆锥体顶点，小球随圆锥体绕中心轴转动（）求： （1）角速度为多大时小球对圆锥面恰好无压力？ （2）当角速度为时，绳子对小球的拉力的大小。 （3）当角速度为时，绳子对小球的拉力的大小。 【例5】（多选）如图所示，在倾角为的足够大的固定斜面上，一长度为L的轻杆一端可绕斜面上的O点自由转动，另一端连着一质量为m的小球（视为质点）。现使小球从最低点A以速率v开始在斜面上做圆周运动，通过最高点B。重力加速度大小为g，轻杆与斜面平行，不计一切摩擦。下列说法正确的是（　　） A．小球通过A点时所受轻杆的作用力大小为 B．小球通过B点时的最小速度为 C．小球通过A点时斜面对小球的支持力与小球的速度无关 D．若小球以的速率通过B点时突然脱落而离开轻杆，则小球到达与A点等高处时与A点间的距离为2L 类型6 生活中的圆周运动 【例1】如图所示，平直公路AB段的长度为x=20m，BC为圆弧形的水平弯道，其半径R=25m，AB、BC相切于B点。一辆质量为的汽车从A点由静止开始做匀加速运动，进入BC段做速率不变的圆周运动。已知汽车在弯道上以允许最大安全速率行驶，汽车在AB段行驶受到的阻力为车重的k1=0.15倍，在BC段行驶时径向最大静摩擦力为车重的k2=0.4倍，取3，g=10m/s2。下列说法正确的是（　　） A．汽车在弯道上行驶的最大速度为12m/s B．汽车从A到B做匀加速直线运动的最大加速度为3m/s2 C．汽车从A到B的最大牵引力为 D．汽车由A运动到C的最短时间为6.75s 【例2】铁路弯道处，内外轨组成的斜面与水平地面倾角为，当火车以某一速度v通过该弯道时，内、外轨恰不受侧压力作用，则下面说法正确的是（　　） A．转弯半径 B．当火车质量改变时，安全速率不改变 C．若火车速度小于v时，外轨将受到侧压力作用，其方向平行轨道平面向内 D．若火车速度大于v时，内轨将受到侧压力作用，其方向平行轨道平面向内 【例3】一辆汽车匀速率通过一座圆弧形拱形桥后，接着又以相同速率通过一圆弧形凹形桥．设两圆弧半径相等，汽车通过拱形桥桥顶时，对桥面的压力FN1为车重的一半，汽车通过圆弧形凹形桥的最低点时，对桥面的压力为FN2，则FN1与FN2之比为(　　) A．3∶1　　　　　　　 B．3∶2 C．1∶3 D．1∶2 【例4】（多选）如图所示，下列有关生活中的圆周运动实例分析，其中说法正确的是（　　） A．汽车通过凹形桥的最低点时，车对桥的压力大于汽车的重力 B．在铁路的转弯处，通常要求外轨比内轨高，目的是让火车以设计速度行驶时，轮缘与轨道间无挤压 C．杂技演员表演“水流星”，当“水流星”通过最高点时处于完全失重状态，不受重力作用 D．脱水桶的脱水原理是水滴受到的离心力大于它受到的向心力，从而沿切线 题型七 实验 类型1 探究平抛运动的特点 【例1】．频闪摄像是在单次长时间曝光中，利用频闪灯周期性照亮运动的物体，从而在一张画面中记录下其多个不连续瞬间的影像。学习小组同学用频闪摄像记录平抛小球在不同时刻的位置，探究平抛运动的规律。 (1)关于实验，下列做法正确的是________。 A．选择体积小、质量大的小球 B．借助重垂线确定竖直方向 C．先抛出小球，再打开频闪仪 (2)用如图（a）所示装置，使小球从桌面水平飞出，用频闪摄像拍摄小球的平抛运动。测得小球连续3个位置的水平和竖直距离的摄影大小如图（b）所示，已知物体的实际大小与照片上物体影像大小的比值为，重力加速度为，则小球平抛运动初速度的大小________。 (3)若小组同学测得如图（c）所示的频闪照片，但实验时忘了标记重垂线的方向。为解决此问题，他在频闪照片中，以某位置为坐标原点，沿任意两个相互垂直的方向作为轴和轴的正方向，建立直角坐标系，并测算出小球两个实际位置的坐标值分别为、。已知频闪频率为，根据平抛运动规律，利用运动的合成与分解，可得重垂线方向与轴间夹角的正切值为________，重力加速度为________。（结果均保留两位小数） 【例2】．某同学探究平抛运动的规律，设计了如图1所示的装置，操作如下： 在小球抛出点的正前方处竖直固定一个刻度尺，刻度尺零刻度线与小球抛出点在同一高度 小球水平抛出后，打在刻度尺上的刻度记为； 水平向右移动刻度尺，测出小球抛出点与刻度尺的水平距离为，以相同的初速度继续抛出小球，打在刻度尺上的刻度为。 回答下列问题： (1)若满足=____（用，表示），可证明小球水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动。 (2)如图2所示，若在距离刻度尺处放置一点光源，点光源与刻度尺零刻度线在同一高度，将小球紧靠点光源以初速度水平抛出，小球水平抛出后在刻度尺上的光影随小球向下运动，通过测量发现小球的光影做匀速直线运动，重力加速度为，则小球的光影做匀速直线运动的速度大小为______（结果用、、表示）。 【例3】．用如图甲所示装置研究平抛运动的特点。将坐标纸和复写纸对齐重叠并固定在竖直硬板上。钢球A沿斜槽轨道PQ滑下后从斜槽末端Q水平飞出，落在水平挡板MN上，由于挡板靠近硬板一侧较低，球落在挡板上时，会在坐标纸上挤压出一个痕迹点。移动挡板，依次重复上述操作，坐标纸上将留下一系列痕迹点。 (1)作图时应以________为原点O建立平面直角坐标系。 (2)小球在平抛运动过程中的几个位置如图乙中的a、b、c、d所示，已知小方格的边长为L，位置a_________（填“是”或“不是”）小球的抛出点，小球的初速度大小v0=____________（用L、g表示）。 (3)若在实验中，斜槽末端切线不水平，仅从这一影响因素分析，第(2)问中求得小球的初速度大小v0___________（选填“大于”、“小于”或“等于”）小球离开斜槽末端时的速度大小。 【例4】．在“探究平抛运动的特点”的实验中，某同学使用的器材如下图1、图2所示。实验过程中该同学先用图1装置探究某一方向的分运动性质，再利用图2探究另一方向的分运动性质。 (1)图1装置是用来探究__________（填“水平”或“竖直”）分运动的特点。 (2)利用图2装置描绘平抛运动轨迹，下列说法正确的有___________。 A．斜槽粗糙对实验无影响，原因是摩擦力对小钢球影响较小，可忽略 B．利用图2探究另一方向的分运动性质时，要用到图1装置探究的结论 C．重垂线的作用是维持装置的稳定 (3)在图2实验中，该同学从平抛轨迹上选出3个点（平抛起点）、、，如图3，经测量，段的长度为，与竖直方向的夹角为，段的长度为，与竖直方向的夹角为。测量发现，则，两点间的时间间隔与、两点间的时间间隔之比为__________，再验证另一方向位移关系，若满足_____________，则说明此方向上的运动是____________。 【例5】．某小组利用频闪照相法来“探究平抛运动的规律”，装置如图甲所示，将弹射器固定在水平桌边，将小球压缩弹簧后由静止释放，利用频闪照相法拍下小球运动的部分像点，如图乙所示。已知背景方格的边长，重力加速度g取。 (1)下列实验操作，合理且必要的是________。 A．应该选用体积小、密度大的小球 B．释放小球前，弹簧的压缩量越大越好 C．实验时应先打开频闪仪，再由静止释放小球 D．用直线连接相邻的像点，即可得小球运动的轨迹 (2)根据图乙频闪照片，可知小球经过b点时的竖直分速度大小_______，小球平抛的初速度大小_______。（结果均保留两位有效数字） 类型2 探究向心力与质量、半径和角速度的关系 【例1】．如图甲是利用激光测转速的原理示意图，图中圆盘可绕固定轴转动，盘边缘侧面上有一小段涂有很薄的反光材料．当盘转到某一位置时，接收器可以接收到反光涂层所反射的激光束，并将所收到的光信号转变成电信号，在示波器显示屏上显示出来(如图乙所示)． (1)若图乙中示波器显示屏上横向的每大格(5小格)对应的时间为2.50×10－3s，则圆盘的转速为________r/s.(保留3位有效数字) (2)若测得圆盘直径为10.20 cm，则可求得圆盘侧面反光涂层的长度为________cm.(保留3位有效数字) 【例2】．用如图所示的实验装置来探究小球做圆周运动所需向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系，转动手柄使长槽和短槽分别随塔轮匀速转动，槽内的球就做匀速圆周运动。横臂的挡板对球的压力提供了向心力，球对挡板的反作用力通过横臂的杠杆作用使弹簧测力套筒下降，从而露出标尺，标尺上的红白相间的等分格显示出两个小球所受向心力的比值。实验用球分为钢球和铝球，请回答相关问题： (1)在某次实验中，某同学把两个质量相等的钢球放在A、C位置，A、C到塔轮中心距离相等，将皮带处于左、右塔轮的半径不等的层上。转动手柄，观察左右标尺的刻度，此时可研究向心力的大小与___________的关系。 A．质量m B．角速度ω C．半径r (2)在（1）的实验中，某同学匀速转动手柄时，左边标尺露出4个格，右边标尺露出1个格，则皮带连接的左、右塔轮半径之比为___________；其他条件不变，若增大手柄转动的速度，则左、右两标尺的示数将___________，两标尺示数的比值___________（均选填“变大”“变小”或“不变”）。 【例3】．某兴趣小组用图甲所示的向心力演示器验证向心力F的大小与质量m、角速度和半径之间的关系。已知小球在挡板、、处做圆周运动的半径之比为，变速塔轮自上而下每层左、右半径之比分别为、和，如图乙所示。 (1)在进行下列实验时采用的方法与本实验相同的是______（填正确答案标号）。 A．伽利略对自由落体的研究 B．探究两个互成角度的力的合成规律 C．卡文迪什通过扭秤实验测出引力常量 D．探究加速度与力、质量的关系 (2)在某次实验中，验证向心力F与角速度之间的关系时，左、右两标尺露出的格子数之比为，运用圆周运动知识可以判断是将传动皮带调至第______（填“一”“二”或“三”）层塔轮 (3)现有两小球1和2，质量分别为和，且，在另一次实验中，把小球1放在B位置，小球2放在C位置，传动皮带位于第二层，转动手柄，当塔轮匀速转动时，左右两标尺露出的格子数之比约为______ (4)匀速摇动手柄时，若两个钢球的质量和运动半径相等，左、右两标尺显示的格数之比为，则与皮带连接的左塔轮和右塔轮的半径之比为______ 【例4】．某同学做验证向心力与线速度关系的实验装置如图所示，一根长度为L的轻质细线上端固定在拉力传感器上，下端悬挂一小钢球，实验步骤如下： ①将钢球悬挂静止不动，此时力传感器示数为F； ②将钢球拉到细线与竖直方向的夹角θ60°处由静止释放，力传感器示数的最大值为2F。 已知当地的重力加速度大小为g，回答下列问题： (1)钢球的质量m=__________。 (2)钢球的最大速度v=__________。 (3)该实验测得的数据__________（填“存在”或“不存在”）误差。 【例5】．利用如图所示的装置可以探究影响向心力大小的因素。 将小球放置在横臂的挡板处，转动手柄使长槽和短槽分别随变速塔轮匀速转动，两小球随之做匀速圆周运动。横臂的挡板对小球的压力提供了小球做匀速圆周运动的向心力，小球对挡板的反作用力通过横臂的杠杆作用使弹簧测力筒下降，从而露出标尺，可显示两小球所受向心力的大小情况。已知长槽横臂的挡板A和短槽横臂的挡板C到各自转轴的距离相等。若将甲、乙两个相同小球分别置于挡板A和挡板C处，匀速转动手柄，稳定后两小球所需向心力大小之比，则两小球的角速度之比______________。此时传动皮带所连接的左、右两塔轮半径之比为_______________。 曲线运动 题型一 曲线运动的条件及轨迹分析 【例1】关于质点做曲线运动，下列说法正确的是（    ） A．曲线运动一定是变速运动，变速运动也一定是曲线运动 B．质点做曲线运动，其加速度有可能不变 C．质点做曲线运动的过程中，某个时刻所受合力方向与速度方向可能相同 D．有些曲线运动也可能是匀速运动 【答案】B 【详解】A．曲线运动一定是变速运动，但变速运动不一定是曲线运动，也可以是直线运动，故A错误； B．质点做曲线运动，其加速度有可能不变，比如平抛运动的加速度为重力加速度，保持不变，故B正确； C．质点做曲线运动的过程中，每个时刻所受合力方向与速度方向都不在同一直线上，故C错误； D．曲线运动的速度方向时刻发生变化，不可能是匀速运动，故D错误。 故选B。 【例2】如图，这是物体做匀变速曲线运动的轨迹的示意图．已知物体在B点的加速度方向与速度方向垂直，则下列说法中正确的是(　　) A．C点的速率小于B点的速率 B．A点的加速度比C点的加速度大 C．C点的速率大于B点的速率 D．从A点到C点加速度与速度的夹角先增大后减小，速率是先减小后增大 【答案】C. 【解析】：物体做匀变速曲线运动，B到C点的加速度方向与速度方向夹角小于90°，C点的速率比B点速率大，故A错误，C正确；物体做匀变速曲线运动，则加速度不变，所以物体经过C点时的加速度与A点相同，故B错误；若物体从A运动到C，物体运动到B点时速度方向与加速度方向恰好互相垂直，则有A点速度与加速度方向夹角大于90°，C点的加速度方向与速度方向夹角小于90°，故D错误． 【例3】（多选）光滑水平面上一运动质点以速度v0通过点O，如图所示，与此同时给质点加上沿x轴正方向的恒力Fx和沿y轴正方向的恒力Fy，则(　　) A．因为有Fx，质点一定做曲线运动 B．如果Fy＜Fx，质点向y轴一侧做曲线运动 C．如果Fy＝Fxtan α，质点做直线运动 D．如果Fx＞Fycot α，质点向x轴一侧做曲线运动 【答案】CD. 【解析】：如果Fx、Fy二力的合力沿v0方向，即Fy＝Fxtan α，则质点做直线运动，选项A错误，C正确；若Fx＞Fycot α，则合力方向在v0与x轴正方向之间，则轨迹向x轴一侧弯曲而做曲线运动，若Fx＜Fycot α，则合力方向在v0与y轴之间，所以运动轨迹必向y轴一侧弯曲而做曲线运动，因不知α的大小，所以只凭Fx、Fy的大小不能确定F合是偏向x轴还是y轴，选项B错误，D正确． 【例4】一质量为的滑块在水平方向恒力的作用下，在光滑的水平面上运动，如图所示为滑块在水平面上运动的一段轨迹，滑块过P、Q两点时速度大小均为，滑块在P点的速度方向与PQ连线夹角，，。则下列说法正确的是（　　） A．水平恒力F的方向与PQ连线成53°夹角 B．滑块从P点运动到Q点的过程中速度变化量为0m/s C．滑块从P点运动到Q点的时间为0.3s D．滑块从P点运动到Q点的过程中速度最小值为0.4m/s 【答案】CD 【详解】A．滑块在水平恒力作用下由P到Q，滑块过P、Q两点时速度大小均为0.5m/s，即水平恒力做功为零，所以力应该和位移的方向垂直，且根据滑块运动轨迹可判断出其指向轨迹凹处，A错误； B．由于滑块在P、Q两点的速度方向不同，则滑块从P点运动到Q点的过程中速度变化量不为零，B错误； C．把滑块速度分解到垂直于PQ方向上，有 在这个方向上滑块先减速后反向加速，其运动的加速度为 运动具有对称性，则有 C正确； D．把速度分解到PQ方向，有 故选CD。 题型二 运动的合成与分解 类型1 合运动与分运动的关系 【例1】跳伞表演是人们普遍喜欢的观赏性体育项目，如图所示，当运动员从直升机上由静止跳下后，在下落过程中将会受到水平风力的影响，下列说法中正确的是(　　) A．风力越大，运动员下落时间越长，运动员可完成更多的动作 B．风力越大，运动员着地时的竖直速度越大，有可能对运动员造成伤害 C．运动员下落时间与风力无关 D．运动员着地速度与风力无关 【答案】　C 【解析】　运动员同时参与了两个分运动，竖直方向向下落的运动和水平方向随风飘的运动，两个分运动同时发生，相互独立，水平方向的风力大小不影响竖直方向的运动，即落地时间不变，故A错误，C正确；不论风速大小，运动员竖直方向的分运动不变，则下落时间和竖直方向下落的速度不变，但水平风速越大，水平方向的速度越大，则落地的合速度越大，故B、D错误． 类型2 两互成角度运动合运动性质的判断 【例1】(多选)如图所示，在光滑水平面上有两条互相平行的直线l1、l2，AB是两条直线的垂线，其中A点在直线l1上，B、C两点在直线l2上。一个物体沿直线l1以确定的速度匀速向右运动，如果物体要从A点运动到C点，图中1、2、3为其可能的路径，则可以使物体通过A点时(　　) A．获得由A指向B的任意大小的瞬时速度；物体的路径是2 B．获得由A指向B的确定大小的瞬时速度；物体的路径是2 C．持续受到平行于AB的任意大小的恒力；物体的路径可能是1 D．持续受到平行于AB的确定大小的恒力；物体的路径可能是3 【答案】BC 【解析】物体获得由A指向B的任意瞬时速度时，由运动的合成可知，物体的运动路径是直线，但不一定是路径2，只有该瞬时速度为某确定值时，物体的路径才是2，故选项A错误，B正确；物体持续受到平行AB的任意大小的恒力时，物体做曲线运动，且运动路径弯向恒力方向，物体运动的路径可能是1，但路径一定不会是路径3，故选项C正确，D错误。 【例2】(多选)质量为2 kg的质点在xOy平面上做曲线运动，在x方向的速度图象和y方向的位移图象如图所示，下列说法正确的是(　　) A．质点的初速度为5 m/s B．质点所受的合外力为3 N，做匀加速曲线运动 C．2 s末质点速度大小为6 m/s D．2 s内质点的位移大小约为12 m 【答案】ABD. 【解析】：由x方向的速度图象可知，在x方向的加速度为1.5 m/s2，受力Fx＝3 N，由y方向的位移图象可知在y方向做匀速直线运动，速度为vy＝4 m/s，受力Fy＝0.因此质点的初速度为5 m/s，A选项正确；受到的合外力为3 N，显然，质点初速度方向与合外力方向不在同一条直线上，B选项正确；2 s末质点速度应该为v＝ m/s＝2 m/s，C选项错误；2 s内水平方向上位移大小x＝vxt＋at2＝9 m，竖直方向上位移大小y＝8 m，合位移大小l＝＝ m≈12 m，D选项正确． 【例3】如图所示，战斗机离舰执行任务，若战斗机离开甲板时的水平分速度为40 m/s，竖直分速度为20 m/s，之后飞机在水平方向做加速度大小等于2 m/s2的匀加速直线运动，在竖直方向做加速度大小等于1 m/s2的匀加速直线运动。则离舰后(　　) A.飞机的运动轨迹为曲线 B.10 s内飞机水平方向的分位移是竖直方向的分位移大小的2倍 C.10 s末飞机的速度方向与水平方向夹角为30° D.飞机在20 s内水平方向的平均速度为50 m/s 【答案】　B 【解析】　飞机离舰后的合速度与合加速度方向一致，所以飞机运动轨迹为直线，A错误；10 s内水平方向位移x＝v0xt＋axt2＝500 m，竖直方向位移y＝v0yt＋ayt2＝250 m，B正确；飞机速度方向与水平方向夹角的正切tan θ＝0.5，C错误；飞机在20 s内水平方向的位移x′＝40×20 m＋×2×202 m＝1 200 m，则平均速度为x＝＝60 m/s，D错误。 类型3 运动的分解 【例1】玻璃板以2 m/s的速度水平向右运动，刀具相对地面速率恒为4m/s，要切出矩形，求刀具运动方向与水平夹角。 【例2】（多选 ）如图所示，雨天时，一向右沿直线匀速行驶的货车的货厢底板上固定一长方体箱子，部分距离已经在图中标出，雨滴的速度方向与图示截面方向平行，与竖直方向的夹角为30°，速率恒为v。下列说法正确的是( ) A. 若雨滴速度方向斜向右下，车速度为v时雨滴恰不落到箱子上 B. 若雨滴速度方向斜向右下，车速度为v时雨滴恰不落到箱子上 C. 若雨滴速度方向斜向左下，车速度为v时雨滴恰不落到箱子上 E. 若雨滴速度方向斜向左下，车速度为v时雨滴恰不落到箱子上 【答案】AD 类型4 运动合成与分解思想的迁移应用 【例1】(多选)如图所示，一块橡皮用细线悬挂于O点，现用一支铅笔贴着细线的左侧水平向右以速度v匀速移动，运动过程中保持铅笔的高度不变，悬挂橡皮的那段细线保持竖直，则在铅笔未碰到橡皮前，橡皮的运动情况是(　　) A．橡皮在水平方向上做匀速运动 B．橡皮在竖直方向上做加速运动 C．橡皮的运动轨迹是一条直线 D．橡皮在图示虚线位置时的速度大小为v 【答案】AB. 【解析】：悬挂橡皮的细线一直保持竖直，说明橡皮水平方向具有和铅笔一样的速度，A正确；在竖直方向上，橡皮的速度等于细线收缩的速度，把铅笔与细线接触的地方的速度沿细线方向和垂直细线方向分解，沿细线方向的分速度v1＝vsin θ，θ增大，沿细线方向的分速度增大，B正确；橡皮的加速度向上，与初速度不共线，所以做曲线运动，C错误；橡皮在题图虚线位置时的速度vt＝＝v，D错误． 【例2】(多选)如图所示，在灭火抢险的过程中，消防队员有时要借助消防车上的梯子爬到高处进行救人或灭火作业．为了节省救援时间，在消防车向前前进的过程中，人同时相对梯子匀速向上运动．在地面上看消防队员的运动，下列说法中正确的是(　　) A．当消防车匀速前进时，消防队员一定做匀加速直线运动 B．当消防车匀速前进时，消防队员一定做匀速直线运动 C．当消防车匀加速前进时，消防队员一定做匀变速曲线运动 D．当消防车匀加速前进时，消防队员一定做匀变速直线运动 【答案】BC　 【解析】：当消防车匀速前进时，消防队员的合速度不变，而加速度为零，则一定做匀速直线运动；当消防车匀加速前进时，消防队员的加速度不变，且与速度不共线，则一定做匀变速曲线运动． 【例3】风洞是研究空气动力学的实验设备。如图，两水平面（虚线）之间的距离为H，其间为风洞的区域，物体进入该区间会受到水平方向的恒力，自该区域下边界的O点将质量为m的小球以一定的初速度竖直上抛，从M点离开风洞区域，小球再次从N点返回风洞区域后做直线运动，落在风洞区域的下边界P处，NP与水平方向的夹角为45°，不计空气阻力，重力加速度大小为g，求： （1）风洞区域小球受到水平方向恒力的大小； （2）小球运动过程中离风洞下边界OP的最大高度； （3）OP的距离。 【答案】（1）mg；（2）；（3） 【详解】（1）因为小球做直线运动，合力方向与速度方向在同一条直线上，有 可得 （2）在最高点，小球的速度沿水平方向，设该速度为v，则小球在M、N点的水平方向速度也为v，设小球在M、N点竖直方向的速度为vy，在O点的初速度为v0，由O到M的时间为t，水平方向有 在P点，水平方向有 在竖直方向上，小球在从O点到P点做上抛运动，竖直方向上速度相等，此时速度方向与水平方向夹角为45°，可得 由N到P小球做直线运动，设在N点竖直方向速度为vy2，则有 可得 设最高点为Q点，则在竖直方向上，由Q到N，有 由N到P，有 可得 在竖直方向上，有 可得 （3）水平方向，由O到M，有 由M到N，有 由N到P，有 由（2）可知 ， 联立可得 题型三 小船渡河问题 【例1】一小船渡河，河宽，水流速度。已知， （1）若船在静水中的速度为欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？ （2）若船在静水中的速度为欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？ （3）若船在静水中的速度，要使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？ 【答案】（1）船头垂直河岸；；；（2）船头与上游河岸成角；；；（3）船头的方向与上游河岸成角；150s； 【详解】（1）欲使船在最短的时间内渡河，则船在垂直河岸方向上的速度最大，则船头垂直河岸，所用时间为 此时船航行的速度为 位移为 （2）欲使船渡河的航程最短，船的航行速度方向指向对岸，如图所示      根据几何关系可知， 解得 则当船头与上游河岸成角时航程最短，此时的航行速度为 则航行的位移为 所用时间为 （3）若船在静水中的速度，要使船渡河的航程最短，因为船在静水中的速度小于水流速度，则船一定向下游飘移，设船航行的速度方向与下游河岸夹角为，则航程 则角越大，航程越短，当角最大时，航程最短，船头指向如图所示    根据几何关系可知，，则 则船头的方向与上游河岸成角，此时，航行的位移为 船航行的速度 所用时间为 【例2】(多选)甲、乙两船在同一河流中同时开始渡河，河水流速为v0，两船在静水中的速率均为v，甲、乙两船船头均与河岸成θ角，如图所示，已知甲船恰能垂直河岸到达河正对岸的A点，乙船到达河对岸的B点，A、B之间的距离为L，则下列判断正确的是(　　) A．乙船先到达对岸 B．若仅是河水流速v0增大，则两船的渡河时间都不变 C．不论河水流速v0如何改变，只要适当改变θ角，甲船总能到达正对岸的A点 D．若仅是河水流速v0增大，则两船到达对岸时，两船之间的距离仍然为L 【答案】BD 【解析】将小船的运动分解为平行于河岸和垂直于河岸两个方向，由分运动和合运动具有等时性，知甲、乙两船到达对岸的时间相等，渡河的时间t＝，故A错误；若仅是河水流速v0增大，渡河的时间t＝，则两船的渡河时间都不变，故B正确；只要甲船速度大于水流速度，不论河水流速v0如何改变，甲船总能到达河的正对岸A点，故C错误；若仅是河水流速v0增大，则两船到达对岸时间不变，根据速度的分解，船在水平方向相对于静水的分速度仍不变，则两船之间的距离仍然为L，故D正确． 【例3】如图所示，在一次救援中，某河道水流速度大小恒为v，A处的下游C处有个半径为r的漩涡，其与河岸相切于B点，AB两点距离为。若解放军战士驾驶冲锋舟把被困群众从河岸的A处沿直线避开漩涡送到对岸，冲锋舟在静水中的速度最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】相对河水的速度最小且避开漩涡沿直线运动到对岸时，合速度恰好与漩涡相切，利用速度的矢量合成，如图所示 当冲锋舟相对河岸的速度与合速度垂直时，冲锋舟的速度最小，即 利用几何关系可知 联立代入数据可得 故选B。 【例4】法国科学家皮埃尔·德·费马在1662年提出光线传播的路径是所需时间最少的路径，即费马原理，光的折射即遵从这一原理。实际生活中的下述现象也可类比折射定律来理解。如图所示，地面上陶陶在距笔直的河岸10 m处的A点，发现落水的琪琪位于水面上距河岸50 m处的B点。陶陶在地面上奔跑的速度大小为v1=5m/s，在水中游泳的速度大小为v2，奔跑、游泳均视为匀速直线运动，可知此次营救中，陶陶在陆地的速度与河岸夹角30°，在水中的速度与河岸夹角60°将最省时。由题中信息和所学物理知识可知（ ） A. 陶陶在水中游泳的速度大小为v2=m/s B. 陶陶在水中游泳的速度大小为v2=2.5m/s C. 陶陶到达琪琪处的最短时间为12 s D. 陶陶到达琪琪处的最短时间约为16 s 【答案】A 题型四 关联速度模型 类型1 绳端关联速度 【例1】(多选)如图所示，人在岸上拉船，已知船的质量为m，水的阻力恒为f，当轻绳与水平面的夹角为θ时，人的速度为v，人的拉力为F(不计滑轮与绳之间的摩擦)，则以下说法正确的是(　　) A．船的速度为 B．船的速度为vsin θ C．船的加速度为 D．船的加速度为 【答案】AC 【解析】：.船运动的速度是沿绳子收缩方向的速度和绕定滑轮转动速度的合速度，如图所示 根据平行四边形定则有v＝v船cos θ，则船的速度v船＝，A正确，B错误；对小船受力分析，则有Fcos θ－f＝ma，因此船的加速度大小a＝，C正确，D错误． 【例2】如图所示，水平光滑长杆上套有一物块Q，跨过悬挂于O点的轻小光滑圆环的轻绳一端连接Q，另一端悬挂一物块P。设轻绳的左边部分与水平方向的夹角为θ，初始时θ很小。现将P、Q由静止同时释放，关于P、Q以后的运动下列说法正确的是(　　) A．当θ＝60°时，P、Q的速度之比是∶2 B．当θ＝90°时，Q的速度最大 C．当θ＝90°时，Q的速度为零 D．当θ向90°增大的过程中Q的合力一直增大 【答案】B 【解析】P、Q用同一根绳连接，则Q沿绳子方向的速度与P的速度大小相等，则当θ＝60°时，Q的速度vQcos 60°＝vP，解得＝，故选项A错误；当θ＝90°时，即Q到达O点正下方，垂直Q运动方向上的分速度为0，即vP＝0，此时Q的速度最大，故选项B正确，C错误；当θ向90°增大的过程中Q的合力逐渐减小，当θ＝90°时，Q的速度最大，加速度为零，合力为零，故选项D错误。 【例3】(多选)如图所示，将质量为2m的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质量为m的小环，小环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑定滑轮与直杆的距离为d.现将小环从与定滑轮等高的A处由静止释放，当小环沿直杆下滑距离也为d时(图中B处)，下列说法正确的是(重力加速度为g)(　　) A．小环刚释放时轻绳中的张力一定大于2mg B．小环到达B处时，重物上升的高度为(－1)d C．小环在B处的速度与重物上升的速度大小之比等于 D．小环在B处的速度与重物上升的速度大小之比等于 【答案】　ABD 【解析】 　小环释放后，其下落速度v增大，绳与竖直杆间的夹角θ减小，而v1＝vcos θ，故v1增大，由此可知小环刚释放时重物具有向上的加速度，绳中张力一定大于2mg，A项正确；小环到达B处时，绳与直杆间的夹角为45°，重物上升的高度h＝(－1)d，B项正确；如图所示，将小环速度v进行正交分解，v1＝vcos 45°＝v，所以小环在B处的速度与重物上升的速度大小之比等于，C项错误，D项正确． 【例4】（多选）如图所示，在粗糙水平地面上有一质量为M的物块，物块固连一轻质滑轮，并用轻绳按如图所示方式拉着物块运动，拉力恒为F，物块与地面间的动摩擦因数为，当物块运动到轻绳之间的夹角为时，物块的速度为，则此时（　　） A．物块的加速度为 B．物块的加速度为 C．拉绳子的速度为 D．拉绳子的速度为 【答案】BC 【详解】 AB．如图1所示，由受力分析得物块的加速度为 故A错误，B正确； CD．如图2所示，假设经过足够小的时间，则滑轮运动过的距离为，此时，在原来的绳子上取AB段与现在绳子长度相同，其余部分则为绳子收缩掉的长度，由于时间很小，故 则收缩掉的绳子长度 故有 即 或如图3所示，将滑轮的速度y分解为沿绳方向，则拉绳子的速度是滑轮两侧绳子运动速度之和，即 故C正确，D错误。 故选BC。 类型2 杆端关联速度 【例1】（多选）在光滑的水平面内建立如图所示的直角坐标系，长为L的光滑轻质硬细杆AB的两个端点分别被约束在x轴和y轴上，现让杆的A端沿x轴正方向以速度v0匀速运动，已知P点为杆的中点，某时刻杆AB与x轴的夹角为θ.下列说法正确的是(　　) A．此时，杆B端的速度大小为 B．此时，杆B端的速度大小为v0tan θ C．P点的运动轨迹是圆的一部分 D．此时，P点的运动速度大小为 【答案】　ACD 【解析】　如图甲，根据运动的合成与分解，结合矢量合成法则及三角函数， 则有vBsin θ＝v0cos θ，得vB＝，故A正确，B错误；设P点坐标为(x，y)，则A、B点的坐标分别为(2x,0)，(0,2y)，AB长度一定，设为L，根据勾股定理，则有(2x)2＋(2y)2＝L2，解得x2＋y2＝2，因此P点的运动轨迹是圆的一部分，半径为，故C正确；画出P点的运动轨迹，如图乙，速度v与杆的夹角α＝2θ－90°， 由于杆不可以伸长，故P点的速度沿着杆方向的分速度与A点速度沿着杆方向的分速度相等，则vcos α＝v0cos θ，即vcos (2θ－90°)＝v0cos θ，得v＝，故D正确． 【例2】如图所示的机械装置可以将圆周运动转化为直线上的往复运动．连杆AB、OB可绕图中A、B、O三处的转轴转动，连杆OB在竖直面内的圆周运动可通过连杆AB使滑块在水平横杆上左右滑动．已知OB杆长为L，绕O点沿逆时针方向匀速转动的角速度为ω，当连杆AB与水平方向夹角为α，AB杆与OB杆的夹角为β时，滑块的水平速度大小为(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】设滑块的水平速度大小为v，A点的速度的方向沿水平方向，如图将A点的速度分解， 根据运动的合成与分解可知，沿杆方向的分速度：vA分＝vcos α，B点做圆周运动，实际速度是圆周运动的线速度，可以分解为沿AB杆方向的分速度和垂直于AB杆方向的分速度，如图， 设B的线速度为v′，则： vB分＝v′cos θ＝v′cos (β－90°)＝v′cos (90°－β)＝v′sin β，v′＝ωL， 又二者沿杆方向的分速度是相等的，即：vA分＝vB分 联立可得：v＝，故D正确. 类型3 点面接触关联速度 【例1】如图所示，将楔形木块B靠墙放在光滑水平面上并用手扶着，然后在木块和墙面之间放入一个小球A，楔形木块的倾角为θ，放手让小球A和木块B同时由静止开始运动，某时刻二者速度分别为vA和vB，则vA:vB等于（　　） A．1:1 B． C． D． 【答案】B 【详解】因为小球A和木块B总是相互接触的，所以小球的速度和木块的速度在垂直于接触面的方向上的分速度相等，将、沿接触面和垂直于接触面的方向进行分解，如图所示 根据几何关系可得 解得 故选B。 【例2】如图所示，长为l的轻杆，一端固定一个质量为m的小球，另一端有固定转动轴O，杆可在竖直面内绕转动轴O无摩擦转动；质量为m的物块放置在光滑水平面上，开始时，使小球靠在物块的光滑侧面上，轻杆与水平面夹角45°，用手控制物块静止，然后释放物块，在之后球与物块运动的过程中，下列说法正确的是（　　） A．球与物块分离前，球与物块的速度相等 B．球与物块分离前，物块的速度先增大后减小 C．球与物块分离前，杆上的弹力逐渐增大 D．球与物块分离时，球的加速度等于重力加速度 【答案】D 【详解】CD．对小球和物块整体受力分析，受重力，杆的弹力F，地面的支持力FN，如图1所示， 在水平方向由牛顿第二定律得 分离后物块的加速度为零，可知在球与物块分离前，物块的加速度逐渐减小，而小球水平方向的分加速度与物块的加速度相等，所以物块的水平方向分加速度逐渐减小，而逐渐增大，所以弹力逐渐减小，当恰好分离时，水平加速度为零，弹力为零，球只受重力，加速度等于重力加速度g，故A错误，D正确； A．设球的速度为v，球与物块分离前，物块与球的水平速度相等，球的速度与杆垂直向下，如图2所示， 将球的速度分解为水平方向和竖直方向两个分速度，由图可知，球的速度大于物块的速度，故B错误； B．由于地面光滑，杆对物块的弹力始终向左，物块的加速度始终向左，所以物块一直加速，故C错误。 故选D。 【例3】（多选）如图所示，有一个水平向左做匀速直线运动的半圆柱体，速度为，半圆柱面上搁着只能沿竖直方向运动的竖直杆，在竖直杆未下降到地面之前，下列说法正确的是（　　） A．竖直杆向下做加速直线运动 B．竖直杆向下做减速直线运动 C．杆同半圆柱体接触点和柱心的连线与竖直方向的夹角为时， D．杆同半圆柱体接触点和柱心的连线与竖直方向的夹角为时， 【答案】AD 【详解】A．杆子和半圆柱体时刻保持接触，则在垂直接触点切线方向速度应时刻保持相等，将和沿接触点切线和垂直接触点切线进行分解，得，杆向下运动，角变大，变大，变大，杆做加速运动，A正确； B．由A项分析可知，B错误； C．根据，得，C错误； D．由C项分析可知，D正确． 故选AD。 类型4 双绳关联速度 【例1】（多选）如图所示，两个人通过两个定滑轮以恒定的速度拉一个大木箱，绳子与竖直方向的夹角都是，则下列说法正确的是（　　） A．此时木箱的速度 B．此时木箱的速度 C．木箱处于失重状态 D．木箱处于超重状态 【答案】BD 【详解】AB．设木箱的速度为竖直向上的v，将v分解到一侧绳子方向和垂直该侧绳子方向上，沿绳子方向速度要相同，则有 得 故A错误，B正确； CD．随着木箱上升，在增大，由知v在增大，所以木箱在向上做加速运动，有向上的加速度，所以处于超重状态，故C错误，D正确。 故选BD。 【例2】如图为在平静海面上，两艘拖船A、B拖着驳船C运动的示意图。A、B的速度分别沿着缆绳、方向，速度大小分别为2，2.4 ，夹角为θ。Sin θ=0.8，则此时驳船C的速度大小为（    ） A．2.5 B．3.0 C．3.6 D．3.9 【答案】A 题型五 抛体运动 类型1 平抛运动的基本规律 【例1】（多选）小朋友玩水枪游戏时，若水从枪口沿水平方向射出时的速度大小为15m/s，水射出后落到水平地面上。已知枪口离地面的高度为0.8m，重力加速度g取，忽略空气阻力，则射出的水（    ） A．在空中的运动时间为0.16s B．水平射程为6m C．落地时的速度大小为19m/s D．落地时速度与水平夹角正切值为 【答案】BD 【详解】A．由可得水在空中的运动时间为 故A错误； B．水平射程 故B正确； D．落地时竖直方向速度大小为 故D正确； C．落地时的速度大小为 故C错误。 D．落地时 故D正确； 故选BD。 【例2】如图所示，虚线是小球由空中某点水平抛出的运动轨迹，A、B为其运动轨迹上的两点。小球经过A点时，速度大小为10 m/s、与竖直方向夹角为60°；它运动到B点时，速度方向与竖直方向夹角为30°，不计空气阻力，取重力加速度g＝10 m/s2。下列说法中正确的是 (　　) A．小球通过B点的速度为12 m/s B．小球的抛出速度为5 m/s C．小球从A点运动到B点的时间为1 s D．A、B之间的距离为6 m 【答案】C 【解析】由平抛运动规律知v0＝vAsin 60°，v0＝vBsin 30°，解得v0＝5 m/s，vB＝10 m/s，选项A、B错误；竖直速度vAy＝vAcos 60°，vBy＝vBcos 30°，vBy＝vAy＋gt，解得t＝1 s，选项C正确；由v－v＝2gy，x＝v0t，s＝，解得s＝5 m，选项D错误。 【例3】如图所示，x轴在水平地面上，y轴在竖直方向．图中画出了从y轴上沿x轴正方向水平抛出的三个小球a、b和c的运动轨迹．不计空气阻力，下列说法正确的是(　　) A．a和b的初速度大小之比为∶1 B．a和b在空中运动的时间之比为2∶1 C．a和c在空中运动的时间之比为∶1 D．a和c的初速度大小之比为2∶1 【答案】C 【解析】根据t＝可知a和b在空中运动的时间之比为∶1；根据v＝可知a和b的初速度大小之比为1∶，选项A、B错误．根据t＝可知a和c在空中运动的时间之比为∶1；根据v＝可知a和c的初速度大小之比为∶1，选项C正确，D错误． 【例4】如图所示，小球从楼梯顶端以 v0=2m/s的速度水平抛出，每级台阶高度、宽度均为 L=0.25m，重力加速度 g=10m/s2，不计空气阻力，小球抛出后首先落到第几级台阶？ B. 第一级 B. 第二级 C. 第三级 D. 第四级 【答案】D 设恰好打在台阶棱角连线（虚拟斜面）时，水平位移 x=nL，竖直下落 y=nL 平抛公式： x=v0 t y=1/2 gt2 代入 x=y得n==3.2 n>3，说明越过3级棱角，落在第4级，选D。 类型2 对着竖直墙壁平抛 【例1】(多选)从竖直墙的前方A处，沿AO方向水平发射三颗弹丸a、b、c，在墙上留下的弹痕如图所示，已知Oa＝ab＝bc，则a、b、c三颗弹丸(不计空气阻力)(　　) A．初速度大小之比是∶∶ B．初速度大小之比是1∶∶ C．从射出至打到墙上过程速度增量之比是1∶∶ D．从射出至打到墙上过程速度增量之比是∶∶ 【答案】AC 【解析】水平发射的弹丸做平抛运动，竖直方向上是自由落体运动，水平方向上是匀速直线运动，又因为竖直方向上Oa＝ab＝bc，即Oa∶Ob∶Oc＝1∶2∶3，由h＝gt2可知ta∶tb∶tc＝1∶∶，由水平方向x＝v0t可得va∶vb∶vc＝1∶∶＝∶∶，故选项A正确，B错误；由Δv＝gt，可知从射出至打到墙上过程速度增量之比是1∶∶，故选项C正确，D错误． 【例2】如图所示，网球发球机在距离墙L处将网球以不同的水平速度射出打到竖直墙上。已知墙上的O点与网球出射点等高，A、B两点分别为两个击中点，，击中A点的网球水平射出时的速度为，空气阻力忽略不计，网球可看作质点。下列说法正确的是（　　） A．击中B点的网球水平射出时的速度为 B．击中B点的网球水平射出时的速度为 C．要使原来击中A点的网球能击中B点，网球发球机应沿OP方向后退 D．要使原来击中B点的网球能击中A点，网球发球机应沿OP方向前进 【答案】D 【详解】AB．网球在竖直方向上做自由落体运动 因，所以 又 得击中点的网球水平射出时的速度为 AB错误； C．要使原来击中A点的网球能击中B点，运动时间变长为原来的倍，所以水平距离也应变为倍，即网球发球机应向后退，C错误； D．要使原来击中B点的网球能击中A点，运动时间变短为原来的倍，所以水平距离也应变为倍，即网球发球机应向前进，故D正确。 故选D。 【例3】（多选）如图，某人从同一位置O以不同的垂直墙面方向的水平速度投出两枚飞镖A、B，最后都插在竖直墙壁上，它们与墙面的夹角分别为30°、60°，图中飞镖的取向可认为是击中墙面时的速度方向，不计空气阻力。则下列说法正确的有（    ） A．两只飞镖的抛出速度满足 B．两只飞镖击中墙面的速度满足 C．两只飞镖的运动时间一定相等 D．插在墙上的两只飞镖的反向延长线与一定交于同一点 【答案】AD 【解析】A．设水平距离为，飞镖的初速度为，击中墙面的速度为，速度与竖直方向的夹角为，则有 联立解得 由于从同一位置O抛出，相同，所以有 故A正确； B．击中墙面的速度为 由于 则有 故B错误； C．竖直方向有 可得 可知两只飞镖的运动时间一定不相等，故C错误； D．根据任意时刻速度的反向延长线一定经过此时沿抛出方向水平总位移的中点，可知插在墙上的两只飞镖的反向延长线与一定交于同一点，故D正确。 故选AD。 类型3 斜面上的平抛问题 【例1】如图为湖边一倾角为30°的大坝的横截面示意图，水面与大坝的交点为O。一人站在A点处以速度v0沿水平方向扔小石子，已知AO=40m，g取10m/s2。下列说法正确的是（　　） A．若v0=18m/s，则石块可以落入水中 B．若石块能落入水中，则v0越大，落水时速度方向与水平面的夹角不变 C．若石块不能落入水中，则v0越大，落到斜面上时速度方向与斜面的夹角越大 D．若石块不能落入水中，则v0越大，落到斜面上时速度方向与斜面的夹角越小 A 【详解】A．根据 得 则石块落入水中最小的初速度 所以若v0=18m/s，石块可以落入水中，故A正确； B．若石块能落入水中，高度一定，则竖直分速度一定，水平初速度越大，落水速度方向与水平面的夹角越小，故B错误； CD．若石块不能落入水中，设速度方向与水平方向的夹角为 ，位移与水平方向的夹角为 ，根据平抛知识得 因为落在坡面上，位移方向不变，则速度与水平方向的夹角不变，所以速度方向与斜面的夹角不变，与初速度无关，故CD错误。 故选A。 【例2】如图所示，一束平行光垂直斜面照射，小球从斜面上的点以初速度沿水平方向抛出，落在斜面上的点，不计空气阻力，下列说法中正确的是（　　） A．小球在空中飞行时间与无关 B．小球速度最大时距离斜面最远 C．小球离在斜面的最远距离是 D．小球在斜面上的投影加速移动 【答案】D 【解析】A．由 得 可知小球只要落在斜面上，在空中运动的时间与初速度有关，故A错误； B．当小球的速度方向与斜面平行时，距离斜面最远，此时速度不是最大，故B错误； C D．将速度分解成平行与垂直斜面方向，平行斜面方向运动是匀加速直线运动，而垂直斜面方向先匀减速直线运动，后匀加速直线运动，可知小球在斜面上的投影加速移动，故C错误，D正确。 故选D。 【例3】（多选）如图所示，挡板OA与竖直方向的夹角为，小球（视为质点）从O点的正上方高度为H的P点以大小为的初速度水平抛出，落到斜面上时，小球的位移与斜面垂直，重力加速度大小为g，不讨论小球落到斜面后的情况，下列说法正确的是（    ） A．小球落到斜面上的速度大小为 B．小球在空中运动的时间为 C． D．若小球抛出时的初速度大小为，则挡板OA与竖直方向的夹角为45° 【答案】BD 【解析】AB．设小球在空中运动的时间为，小球落到斜面的速度为，则速度与的夹角为；设水平位移为，竖直位移为，如图 则 ，， 解得 ， 故A错误，B正确； C．小球落到斜面的竖直方向的位移 解得 故C错误； D．由，，可得 即 故D正确。 故选BD。 类型4 圆弧的平抛问题 【例1】图所示，B为竖直圆轨道的左端点，它和圆心O的连线与竖直方向的夹角为α。一小球在圆轨道左侧的A点以速度v0平抛，恰好沿B点的切线方向进入圆轨道。已知重力加速度为g，则AB之间的水平距离为（　　） B． B． C． D． A 【详解】根据平行四边形定则知，小球通过B点时竖直方向上的分速度 vy=v0tanα 则运动的时间 则AB间的水平距离 故A正确，BCD错误。 故选A。 【例2】某游戏装置如图所示，安装在竖直轨道AB上的弹射器可上下移动，能水平射出速度大小可调节的小弹丸．圆心为O的圆弧槽BCD上开有小孔P，弹丸落到小孔时，速度只有沿OP方向才能通过小孔，游戏过关，则弹射器在轨道上(　　) A．位于B点时，只要弹丸射出速度合适就能过关 B．只要高于B点，弹丸射出速度合适都能过关 C．只有一个位置，且弹丸以某一速度射出才能过关 D．有两个位置，只要弹丸射出速度合适都能过关 【答案】C 【解析】根据平抛运动速度反向延长线过水平位移的中点可知，位于B点时，不管速度多大，弹丸都不可能沿OP方向从P点射出，故A错误；如图所示， 根据平抛运动速度反向延长线过水平位移的中点可得：EN＝R(1＋cos α)，则竖直位移PN＝EN·tan α＝R(1＋cos α)tan α，弹射器离B点的高度为y＝PN－Rsin α＝R(tan α－sin α)，所以只有一个位置，且弹丸以某一速度射出才能过关，故B、D错误，C正确． 【例3】如图所示，质量为m的小球从四分之一光滑圆弧轨道顶端静止释放，从轨道末端O点以V=5m/s水平抛出，击中平台右下侧挡板上的P点。以O为原点在竖直面内建立如图所示的平面直角坐标系，挡板形状满足方程y=6-x2(单位：m)，g取10m/s2，求：小球从O点到P点所需的时间(结果可保留根号)。 【详解】小球从O点水平抛出后满足 又有 y=6-x2 联立得 【例4】（多选）如图，水平地面上有一个坑，其竖直截面为圆弧bc，半径为R，O为圆心，若在O点以大小不同的初速度v0沿Oc方向水平抛出小球，小球落在坑内。空气阻力可忽略，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　） A．落在球面上的最小速度为 B．落在球面上的最小速度为 C．小球的运动时间与v0大小无关 D．无论调整v0大小为何值，球都不可能垂直撞击在圆弧面上 【答案】BD 【详解】AB．小球做平抛运动 且 而落点的速度 整理得 显然当 时速度取得最小值，代入可得最小值为 B正确，A错误； C．越大，水平位移越大，竖直下落距离越小，运动时间越短，C错误； D．由于速度的反向延长线恰好过与抛出点等高的水平位移的中点处，若与圆弧垂直，恰好与半径一致，两者相矛盾，因此球都不可能垂直撞击在圆弧上，D正确。 故选BD。 【例5】如图所示，两个小球分别从半圆轨道顶端和斜面顶端以大小相等的初速度同时水平抛出。已知半圆轨道的半径为与斜面竖直高度相等，斜面底边长为其竖直高度的2倍。若小球能落到半圆轨道上，小球能落到斜面上，均可视为质点，重力加速度取,则下列说法正确的是（    ） A．如果球落在半圆轨道最低点，则其速度方向竖直向下 B．球落在斜面上时，其速度方向与水平面夹角的正切值为0.5 C．调整球初速度的大小，能使球垂直落在半圆轨道上 D．两球如果同时落在半圆轨道和斜面上，则其初速度 D 【详解】 A．平抛运动的末速度不可能竖直向下，A错误； B．设斜面倾角为，则速度方向与水平面夹角的正切值为 B错误； C．平抛运动末速度的反向延长线交于水平位移的中点，若球垂直落在半圆轨道上，则反向延长线过圆心，不是中点，不符合实际情况，C错误； D．两球如果同时落在半圆轨道和斜面上，则下落高度相同，且位移偏转角均等于斜面倾角，则令落点和圆心的连线与水平方向的夹角为 ， 而 得 D正确。 故选D。 类型5 平抛的多解问题 【例1】如图所示，两平行竖直光滑挡板MN、PQ直立在水平地面上，它们之间的距离为L，它们的高度均为2L。将一小球（可视为质点）从M点以垂直于MN的初速度水平抛出，恰好落到Q点（小球未与挡板碰撞），重力加速度为g。 （1）求小球的初速度大小； （2）若改变小球水平抛出的初速度大小，小球与两挡板碰撞时，竖直速度保持不变，水平速度瞬间等大反向，要使小球落地时与两挡板的距离相等，求初速度大小应满足的条件（碰撞时间可忽略不计）。 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）小球做平抛运动 ， 解得 （2）若小球与挡板碰撞n次后落到地面 解得 【例2】如图所示，刚性圆柱形容器，上端开口，容器内侧高，内径，现有一刚性小球（视为质点）从容器上端内边缘沿直径以的初速度水平抛出，小球恰好可以击中容器底部中心位置。已知重力加速度，忽略空气阻力，小球与容器内壁碰撞视为弹性碰撞，则小球的初速度可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据平抛运动的分析可知，竖直方向有 解得 而根据题意，水平方向有 （） 解得 因此的可能值为、、、、、 故选B。 类型6 生活中的平抛运动（STS问题） 【例1】飞行员驾驶飞机进行投掷炸弹训练，日的是营造实战环境，提高飞行员战术水平，熟悉武器装备性能，实现人与装备的最佳融合。某次训练飞机在高空中水平匀速飞行时投下炸弹，如图所示，忽略空气阻力对炸弹的影响。关于炸弹在离开飞机后的运动过程，下列说法正确的是（　　） A．地面上的观察员看到炸弹做自由落体运动 B．地面上的观察员看到炸弹沿斜下方做匀速直线运动 C．地面上的观察员看到炸弹做平抛运动 D．飞机上的观察员看到炸弹做平抛运动 【答案】C 【解析】D．由于炸弹与飞机具有相同的水平速度，所以飞机上的观察员看到炸弹在空中排成一条竖直线，D错误； ABC．地面上的观察员看来，炸弹做平抛运动，AB错误，C正确。 故选C。 【例2】一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示．水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为h.发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h.不计空气的作用，重力加速度大小为g.若乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是(　　) A. ＜v＜L1 B. ＜v＜ C. ＜v＜ D. ＜v＜ 【答案】D　 【解析】：发射机无论向哪个方向水平发射，乒乓球都做平抛运动．当速度v最小时，球沿中线恰好过网，有： 3h－h＝① ＝v1t1② 联立①②两式，得v1＝ 当速度v最大时，球斜向右侧台面两个角发射，有 x＝＝v2t2③ 3h＝gt④ 联立③④两式，得v2＝ 所以使乒乓球落到球网右侧台面上，v的最大取值范围为＜v＜，选项D正确． 【例3】如图所示，乒乓球的发球器安装在足够大的水平桌面上，可绕竖直转轴OO′转动，发球器O′A部分水平且与桌面之间的距离为h，O′A部分的长度也为h.重力加速度为g.打开开关后，发球器可将乒乓球从A点以初速度v0水平发射出去，≤v0≤2.设发射出去的所有乒乓球都能落到桌面上，乒乓球可视为质点，空气阻力不计．若使该发球器绕转轴OO′在90°的范围内来回缓慢地水平转动，持续发射足够长时间后，乒乓球第一次与桌面碰撞区域的面积S是(　　) A．2πh2 B．3πh2 C．4πh2 D．8πh2 【答案】C 【解析】设乒乓球做平抛运动的时间为t，则t＝.当速度最大时，水平位移具有最大值xmax＝vmaxt＝2×＝4h，当速度最小时，水平位移具有最小值xmin＝vmint＝×＝2h，其中vmax、vmin为v0的最大值和最小值，又因为发球器O′A部分长度也为h，故乒乓球的落点距竖直转轴距离的范围为3h≤x≤5h，乒乓球第一次与桌面碰撞区域是一个圆心角为90°的宽度为2h的环形带状区域，其面积为S＝×π[(5h)2－(3h)2]＝4πh2，故选项A、B、D错误，C正确． 【例4】如图所示，一架在2000m高空以200m/s的速度水平匀速飞行的轰炸机，要想用两枚炸弹分别轰炸山脚和山顶的目标A和B。已知山高720m，山脚与山顶的水平距离为800m。若不计空气阻力，g取10m/s2，则投弹的时间间隔应为（   ） A．4s B．5s C．8s D．16s C 【详解】（1）由，解得命中A所用时间 投第一枚炸弹离目标A的水平距离 （2）飞机投第二枚炸弹命中B所用的时间 此时离目标B的水平距离 此时离目标A的水平距离 第一次投炸弹和第二次投炸弹飞机飞行的水平距离 则投弹的时间间隔应为 故选C。 类型7 有空气阻力的平抛 【例1】（多选）某同学将一乒乓球从距水平地面高h处的A点以速度水平抛出，乒乓球运动过程中受到的空气阻力始终与速度成正比，方向始终与运动方向相反，落到水平地面上的B点时速度方向与水平地面的夹角为45°，如图所示。已知乒乓球从A点抛出时受到的空气阻力最大，最大值恰好等于自身受到的重力，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（　　） A．乒乓球从A点运动到B点的过程中速度先减小后增大 B．乒乓球落到B点时的速度大小为 C．乒乓球的水平射程为 D．乒乓球从A点运动到B点的时间为 BCD 【详解】A．乒乓球从A点抛出时受到的空气阻力最大，最大值恰好等于自身受到的重力，则有 到B点时速度方向与水平地面的夹角为45°，则小球一直做减速运动，故A错误； BCD．运用配速法，配一速度,使其阻力与重力平衡，则可理解为竖直向下的匀速直线运动和斜向上的变加速直线运动，如图所示 由图知，落地点的速度为 斜向上方向，根据牛顿第二定律有 累积可得 则有 则有 竖直方向上有 其中 则有 解得 故BCD正确。 故选BCD。 类型8 类平抛 【例1】如图所示，一物体在某液体中运动时只受到重力mg和恒定的浮力F的作用，且。如果物体从M点以水平初速度开始运动，最后落在N点，MN间的竖直高度为h，其中g为重力加速度，则下列说法正确的是（    ） A．物体从M运动到N的轨迹不是抛物线 B．减小水平初速度，物体运动时间将变长 C．物体从M运动到N的时间为 D．M与N之间的水平距离为 【答案】D 【解析】ABC．根据题意可知，物体水平方向不受力，以做匀速直线运动，竖直方向上，由牛顿第二定律有 解得 竖直方向做匀加速直线运动，可知，物体做类平抛运动，则从运动到的轨迹是抛物线，竖直方向上有 解得物体从M运动到N的时间为 可知减小水平初速度，物体运动时间不变，故ABC错误； D．物体在水平方向做匀速直线运动，M与N之间的水平距离为 故D正确。 故选D。 【例2】(多选)如图所示，两个倾角分别为30°，45°的光滑斜面放在同一水平面上，斜面高度相等．有三个完全相同的小球a，b，c，开始均静止于同一高度处，其中b小球在两斜面之间，a，c两小球在斜面顶端，两斜面间距大于小球直径．若同时释放，a，b，c小球到达水平面的时间分别为t1，t2，t3.若同时沿水平方向抛出，初速度方向如图所示，到达水平面的时间分别为t1′，t2′，t3′.下列关于时间的关系正确的是(　　) A．t1>t3>t2 B．t1＝t1′，t2＝t2′，t3＝t3′ C．t1′>t3′>t2′ D．t1<t1′，t2<t2′，t3<t3′ 【答案】ABC　 【解析】：由静止释放三个小球时，对a：＝gsin 30°·t，则t＝.对b：h＝gt，则t＝.对c：＝gsin 45°·t，则t＝，所以t1>t3>t2.当平抛三个小球时，小球b做平抛运动，小球a，c在斜面内做类平抛运动．沿斜面方向的运动同第一种情况，所以t1＝t1′，t2＝t2′，t3＝t3′.故选项A，B，C正确． 类型9 斜抛 【例1】如图所示，从地面上同一位置抛出两小球A、B，分别落在地面土的M、N点，两球运动的最大高度相同。若空气阻力不计，则（　　） A．B的加速度比A的小 B．B在最高点的速度比A大 C．B的飞行时间比A的长 D．B落地时的速度大小与A相等 B 【详解】A．两物体的加速度相等，均为g，选项A错误；     BC．两球运动的最大高度相同，将从最高点到落地视为平抛运动，根据 可知，两物体运动时间相同，B的水平位移较大，则B的水平速度较大，B在最高点的速度比A大，选项B正确，C错误； D．两物体落地时竖直速度相等，因B的水平速度较大，可知B落地时的速度大小大于A的速度，选项D错误。 故选B。 【例2】足球运动员在距离球门水平距离 x=20m， 处将球从地面踢出，初速度 v0=15m/s，抛射角 37°，忽略空气阻力。已知球门横梁高度 h=2.44m，球门底部在地面。请判断足球能否射入球门。 已知：sin37°=0.6,cos37°=0.8,g=10m/s2 答案 可以 分速度 vx=12m/s,vy=9m/s 飞行到球门的时间 t=x÷vx=1.667s 此时足球高度 y=vyt=1.11m 判断： 1.11m<2.44m，足球高度在地面与横梁之间，可以踢进球门。 【例3】某篮球运动员正在进行投篮训练，篮球的运动轨迹可简化为如图所示的曲线，其中A是篮球的投出点，B是运动轨迹的最高点，C是篮球的投入点。已知篮球在A点的速度方向与水平方向的夹角为，在B点的速度大小为v0，在C点的速度方向与水平方向的夹角为，篮球可视为质点，忽略空气阻力，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　） A．从A点到B点，篮球运动的时间为 B．从B点到C点，篮球运动的时间为 C．A、B两点的高度差为 D．A、C两点的水平距离为 A 【详解】A．由题可知，篮球做斜抛运动，则根据斜抛运动规律可得 从A点到B点，篮球运动的时间为 故A正确； B．从B点到C点，速度偏角的正切值为 解得，从B点到C点，篮球运动的时间为 故B错误； C．A、B两点的高度差为 故C错误； D．A、C两点的水平距离为 故D错误。 故选A。 【例4】（多选）如图所示，工程队向峡谷对岸平台抛射重物，初速度大小为，与水平方向的夹角为，抛出点P和落点Q的连线与水平方向夹角为，重力加速度大小取，忽略空气阻力，重物在此运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．运动时间为 B．落地速度与水平方向夹角为 C．重物离连线的最远距离为 D．轨迹最高点与落点的高度差为 ACD 【详解】AD．初速度沿PQ方向的分速度为 初速度沿垂直于PQ方向的分速度为 重力速度沿PQ方向的分加速度为 重力速度沿垂直于PQ方向的分加速度为 重物运动时间为 重物离PQ连线的最远距离为 故AD正确； B．重物落地时竖直分速度为 重物落地时水平分速度为 重物落地时与水平方向夹角的正切值为 解得，故B错误； D．上升时间为 下落时间为 轨迹最高点与落点的高度差为，故D正确 故选ACD。 类型10 平抛相遇问题 【例1】（多选）如图，物体甲从高H处以速度平抛，同时乙从乙距甲水平方向s处由地面以初速度竖直上抛，不计空气阻力，则两物体在空中相遇的条件是（　　）    A．从抛出到相遇的时间为 B．若要在物体乙上升中遇甲，必须， C．若要在物体乙下降中遇甲，必须， D．若相遇点离地高度为，则 ABD 【详解】A．由题意可知，若两物体在空中能够相遇，则在竖直方向应满足 代入数据解得 故A正确； BC．由于物体甲、乙的加速度相同，可知甲、乙相对匀速，相遇时间为或，则有 若要在物体乙上升中遇甲，则有 解得 若要在物体乙下降中遇甲，则有 解得 故B正确，C错误； D．若相遇点离地高度为，则有 又 联立解得 故D正确。 故选ABD。 【例2】如图甲所示，我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播种。某次抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图乙所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为O，且轨迹交于P点，抛出时谷粒1的初速度大小为，方向水平，谷粒2的初速度大小为，方向与水平方向之间的夹角为37°。忽略空气阻力，重力加速度为g，取。谷粒2从O点运动到P点的时间为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设谷粒1、谷粒2从点运动到点的时间分别为，根据运动的合成和分解，对谷粒1有 对谷粒2有 由以上各式解得 故选C。 题型六 圆周运动 类型1 圆周运动中的运动学分析 【例1】如图所示为自行车的传动装置示意图，已知链轮的半径，飞轮的半径，后轮的半径，、、图中未画出分别为链轮、飞轮和后轮边缘上的点。若脚蹬匀速转动一圈所需要的时间为，则在自行车匀速前进的过程中，下列说法正确的是（　　） A．、、三点的向心加速度大小之比为 B．、、三点的线速度大小之比为 C．自行车前进的速度大小约为 D．链轮、飞轮和后轮的角速度大小之比为 【答案】B 【解析】BD．由于链轮和飞轮之间通过链条传动，所以A、B两点的线速度大小相等，又因为后轮和飞轮同轴转动，所以B、C两点的角速度大小相等。根据 可知A、B两点的角速度大小之比为 B、C两点的线速度大小之比为 综上所述可知链轮、飞轮和后轮的角速度大小之比为1∶2∶2，A、B、C三点的线速度大小之比为1∶1∶6，故B正确，D错误； A．根据向心加速度公式 可知A、B、C三点的向心加速度大小之比为1∶2∶12，故A错误； C．由题意可知A点的线速度大小为 根据前面分析可知C点的线速度大小为即自行车前进的速度大小约为 故C错误。 故选B。 【例2】（小红同学在体验糕点制作“裱花”环节时，她在绕中心匀速转动的圆盘上放了一块直径8英寸（20cm）的蛋糕，如图所示，在蛋糕边缘每隔4s均匀“点”一次奶油，蛋糕转动一周正好均匀“点”上15点奶油，则下列说法正确的是（　　） A．圆盘转动的转速为2πr/min B．圆盘转动的角速度大小为 C．蛋糕边缘的奶油线速度大小约为 D．蛋糕边缘的向心加速度约为 【答案】D 【解析】A．圆盘每转一圈的时间 T=15×4s=60s 故转速为1 r/min，故A错误； B．由角速度与周期的关系可得圆盘转动的角速度大小为 故B错误； C．蛋糕边缘的奶油线速度大小约为 故C错误； D．蛋糕边缘的向心加速度约为 故D正确。 故选D。 【例3】如图所示，一位同学玩飞镖游戏。圆盘最上端有一点P，飞镖抛出时与P在同一竖直面内等高，且距P点的距离为L。在飞镖以初速度垂直盘面瞄准P点抛出的同时，圆盘绕经过盘心O点的水平轴在竖直平面内匀速转动。忽略空气阻力，重力加速度为g，若飞镖恰好击中P点，求： （1）圆盘的半径； （2）圆盘转动角速度的最小值； （3）P点随圆盘转动的线速度。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）飞镖水平抛出做平抛运动，在水平方向做匀速直线运动，因此 飞镖击中P点时，P恰好在最下方，则 解得圆盘的半径 （2）飞镖击中P点，则P点转过的角度满足，，故 当k=0时，圆盘转动角速度有最小值 （3）P点随圆盘转动的线速度为 【例4】如图所示，地球绕地轴做匀速圆周运动，在A、B两点有两个物体，其中B物体在赤道，A物体在北半球，A、B相对于地面静止，A、B两物体的质量之比为1：2．图中，，下列说法正确的是（　　） A．A、B两物体的周期之比是1：2 B．A、B两物体的线速度之比是1：1 C．A、B两物体的向心加速度大小之比是 D．A、B两物体的向心力大小之比是3：8 【答案】C 【解析】A．A、B同轴转动角速度相等，则周期之比为1：1，选项A错误； B．令地球的半径为R，则A的半径为 根据，可得A、B的线速度之比是 选项B错误； C．根据向心加速度公式，可得 选项C正确； D．根据向心力公式，可得A、B的向心力之比是 选项D错误。 故选C。 【例5】（多选）如图所示，光滑水平面上，质量为m的小球在拉力F作用下做匀速圆周运动。若小球运动到P点时，拉力F突然发生变化。下列关于小球运动情况的说法中正确的是（    ） A．若拉力突然变为零，小球将沿Pa做匀加速直线运动 B．若拉力突然变为零，小球将沿Pa做匀速直线运动 C．若拉力突然变大，小球将沿轨迹Pb做离心运动 D．若拉力突然变大，小球将沿轨迹Pc做向心运动 【答案】BD 【解析】AB．若拉力突然变为零，小球将沿速度v方向，即沿轨迹Pa做匀速直线运动，故A错误，B正确； CD．若拉力突然变大，小球所受到拉力大于所需的向心力，则将沿轨迹Pc做向心运动，故C错误，D正确。 故选BD。 【例6】（多选）带有一白点的黑色圆盘，绕过其中心且垂直于盘面的轴沿逆时针方向匀速转动，转速。某同学在暗室中用频闪光源照射圆盘，则（    ） A．如果频闪光源每秒闪光10次，该同学观察到白点逆时针转动 B．如果频闪光源每秒闪光12次，该同学观察到白点顺时针转动 C．如果频闪光源每秒闪光15次，该同学观察到白点顺时针转动，转速为5r/s D．如果频闪光源每秒闪光20次，该同学只能在圆盘上的两个位置观察到白点 【答案】BCD 【解析】A．如果频闪光源每秒闪光10次，则每两次闪光的时间间隔为0.1s，正好转了一圈，白点回到初始位置，视觉效果白点静止，A错误； B．如果频闪光源每秒闪光12次，每两次闪光间隔内转了圈，视觉效果白点顺时针转动，B正确； C．如果频闪光源每秒闪光15次，每两次闪光间隔内转了圈，视觉效果白点顺时针转了圈，故转速为5r/s，C正确； D．如果频闪光源每秒闪光20次，每两次闪光间隔内转了圈，只能在圆盘上的上下两个位置观察到白点，D正确。 故选BCD。 类型2 竖直面内的圆周运动 绳模型 杆模型 【例1】如图所示，不可伸长的轻质细绳一端固定在O点，另一端拴住一个小球（视为质点）。在O点正下方一半绳长的地方有一枚与竖直平面垂直的钉子A。把小球拉起使细绳在水平方向伸直，由静止开始释放小球，当细绳碰到钉子后的瞬间（细绳未断）（　　） A．小球的角速度增大到碰钉子前瞬间角速度的2倍 B．细绳对小球的拉力突然减小 C．小球的线速度突然增大到碰钉子前瞬间线速度的2倍 D．细绳对小球的拉力增大到碰钉子前瞬间拉力的2倍 【答案】A 【解析】AC．细绳碰到钉子后的瞬间，小球的线速度不变，小球做圆周运动的半径减小一半，由 可知角速度增大为碰钉子前瞬间的2倍，故A正确，C错误； BD．由 可知增大到碰钉子前瞬间的2倍，又 则细绳对小球的拉力增大，但小于碰钉子前瞬间的2倍，故BD错误。 故选A。 【例2】甲图是质量为m的小球，在竖直平面内绕O点做半径为R的圆周运动（OA为细绳）；乙图是质量为m的小球，在竖直平面内绕O点做半径为R的圆周运动（OB为轻质杆）；丙图是质量为m的小球，在半径为R的竖直光滑圆轨道内侧做圆周运动；丁图是质量为m的小球在竖直放置的半径为R的光滑圆形管道内做圆周运动。则下列说法正确的是（　　）    A．甲丙图中，小球通过最高点的最小速度都是 B．乙丁图中，小球通过最高点的最小速度都是 C．在丁图中，小球在水平线ab以下管道中运动时，外侧管壁对小球一定无作用力 D．在丁图中，小球在水平线ab以上管道中运动时，内侧管壁对小球一定有作用力 A 【详解】A．甲丙图原理相同，小球恰好到最高点时，刚好由重力充当向心力，满足 解得 小球通过最高点的最小速度都是，故A正确； B．乙丁图原理相同，由于杆或者内侧轨道的支持，所以小球通过最高点的最小速度为零，故B错误； C．在丁图中，小球在水平线ab以下管道中运动时，小球的向心力为外轨的支持力和重力沿半径方向分力的合力，故外侧管壁对小球一定作用力，故C错误； D．在丁图中，小球在水平线ab以上管道中运动时，如果在最高点的速度大于，小球有做离心运动的趋势，所以只有外侧管壁对小球有作用力，如果在最高点的速度小于，小球有做近心运动的趋势，只有内侧管壁对小球有作用力，故D错误。 故选A。 【例3】如图所示，轻杆长3L，在杆两端分别固定质量均为m的球A和B，光滑水平转轴穿过杆上距球A为L处的O点，外界给系统一定能量后，杆和球在竖直平面内转动，球B运动到最高点时，杆对球B恰好无作用力．忽略空气阻力，重力加速度为g，则球B在最高点时(　　) A．球B的速度为零 B．球A的速度大小为 C．水平转轴对杆的作用力为1.5mg D．水平转轴对杆的作用力为2.5mg 【答案】C 【解析】球B运动到最高点时，杆对球B恰好无作用力，即重力恰好提供向心力，则有mg＝m，解得vB＝，故A错误；由于A、B两球的角速度相等，则球A的速度大小vA＝，故B错误；B球在最高点时，对杆无弹力，此时A球受到的重力和拉力的合力提供向心力，有F－mg＝m，解得：F＝1.5mg，根据牛顿第三定律可知，C正确，D错误． 【例4】如图甲所示，一轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，在竖直平面内做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为FN，小球在最高点的速度大小为v，FN－v2图象如图乙所示。下列说法正确的是(　　) A．当地的重力加速度大小为 B．小球的质量为 C．当v2＝c时，杆对小球弹力方向向上 D．若v2＝2b，则杆对小球弹力大小为2a 【答案】B 【解析】在最高点，若v＝0，则FN＝a＝mg；若FN＝0，则mg＝m＝m，解得g＝，m＝R，故A错误，B正确；由题图可知：当v2＜b时，杆对小球弹力方向向上，当v2＞b时，杆对小球弹力方向向下，所以当v2＝c时，杆对小球弹力方向向下，故C错误；若v2＝2b，则FN＋mg＝m，解得FN＝a＝mg，故D错误。 【例5】如图甲所示，一横截面为圆形的水泥涵管、内截面圆的半径为R。一儿童在最低点以一定的水平初速度踢出球，球沿管道运动在A 点脱离管道后，恰好落入位于圆心O处的背兜，简化示意图如图乙所示。忽略一切阻力和滚动的影响，则AO与水平方向夹角的正切值 tanθ为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】球在A点脱离管道的瞬间，设球速度大小为，球和管道之间的弹力为0，由重力沿AO方向的分力提供向心力，有 球脱离管道后做斜抛运动，沿AO方向，球受重力沿AO方向的分力作用，根据牛顿第二定律，有 解得 设运动时间为，根据匀变速直线运动位移与时间的关系，得 沿垂直AO方向，球受重力沿AO方向的分力作用，根据牛顿第二定律，有 解得 根据匀变速直线运动速度与时间的关系，结合运动的对称性，有 代入，得 联立解得 故选B。 类型3 水平面内圆周运动 圆锥摆模型 【例1】(多选)如图所示，两根长度相同的细线分别系有两个完全相同的小球，细线的上端都系于O点，设法让两个小球均在水平面上做匀速圆周运动．已知L1跟竖直方向的夹角为60°，L2跟竖直方向的夹角为30°，下列说法正确的是(　　) A．细线L1和细线L2所受的拉力大小之比为 ∶1 B．小球m1和m2的角速度大小之比为 ∶1 C．小球m1和m2的向心力大小之比为3∶1 D．小球m1和m2的线速度大小之比为3∶1 【答案】AC. 【解析】：对任一小球进行研究，设细线与竖直方向的夹角为θ，竖直方向受力平衡，则Tcos θ＝mg，解得T＝，所以细线L1和细线L2所受的拉力大小之比为＝＝，故A正确；小球所受合力的大小为mgtan θ，根据牛顿第二定律得mgtan θ＝mLω2sin θ，得ω2＝，故两小球的角速度大小之比为＝＝，故B错误；小球所受合力提供向心力，则向心力为F＝mgtan θ，小球m1和m2的向心力大小之比为＝＝3，故C正确；两小球角速度大小之比为∶1，由v＝ωr得线速度大小之比为　∶1，故D错误． 【例2】“飞车走壁”杂技表演比较受青少年的喜爱，这项运动由杂技演员驾驶摩托车，沿表演台的侧壁做匀速圆周运动．简化后的模型如图所示，若表演时杂技演员和摩托车的总质量不变，摩托车与侧壁间沿侧壁倾斜方向的摩擦力恰好为零，轨道平面离地面的高度为H，侧壁倾斜角度α不变，则下列说法中正确的是(　　) A．摩托车做圆周运动的H越高，向心力越大 B．摩托车做圆周运动的H越高，线速度越大 C．摩托车做圆周运动的H越高，向心力做功越多 D．摩托车对侧壁的压力随高度H变大而减小 【答案】B　 【解析】：摩托车做匀速圆周运动，提供圆周运动的向心力是重力mg和支持力F的合力，作出受力图，如图所示． 向心力F向＝mgtan α，m、α不变，向心力大小不变，A错误；根据牛顿第二定律得F向＝m，h越高，r越大，F向不变，则v越大，B正确；向心力对物体不做功，C错误；侧壁对摩托车的支持力F＝不变，则摩托车对侧壁的压力不变，D错误． 【例3】（多选）如图所示，有一固定的且内壁光滑的半球面，球心为O，最低点为C，有两个可视为质点且质量相同的小球A和B，在球面内壁两个高度不同的水平面内做匀速圆周运动，A球的轨迹平面高于B球的轨迹平面，A、B两球与O点的连线与竖直线OC间的夹角分别为α=53°和β=37°，（sin37°=0.6）则（　　） A．A、B两球所受支持力的大小之比为4∶3 B．A、B两球运动的周期之比为2∶ C．A、B两球的角速度之比为2∶ D．A、B两球的线速度之比为4：3 AC 【详解】A．由于小球在运动的过程中受到的合力沿水平方向，且恰好提供向心力，所以根据平行四边形定则得 所以有 故A正确； B．根据牛顿第二定律可得 其中 联立解得 则有 故B错误； C．根据得 所以 故C正确； D项：根据得 所以 故D错误。 故选AC。 【例4】如图所示，质量忽略不计、长度分别为和的不可伸长的轻绳，分别系质量为5m和m的小球，它们以相同的转速绕中心轴线做匀速圆周运动。稳定时绳子与竖直方向夹角的正切值分别为及，圆周运动半径分别为和，两绳子中的张力分别为和，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】B．设绳子与竖直方向夹角分别为，对下面小球受力分析竖直方向有 对两个球看作整体竖直方向上有 稳定时绳子与竖直方向夹角的正切值分别为及，联立解得 B错误； A．对下面小球受力分析水平方向有 对上面小球受力分析水平方向有 联立解得 CD．根据几何关系 联立解得 CD错误； 故选A。 类型4 圆盘类 【例1】如图所示，A、B、C三个物体放在旋转圆台上，它们与圆台之间的动摩擦因数均为，A的质量为，B、C的质量均为m，A、B离轴心的距离为R，C离轴心的距离为，重力加速度为g，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则当圆台旋转时（设A、B、C都没有滑动）（    ） A．物体A的向心加速度最大 B．物体B受到的静摩擦力最大 C．物体C开始滑动的临界角速度为 D．当圆台转速增大时，B比A先滑动 C 【详解】A．物体A、B、C的角速度相等，由，得物体C的向心加速度最大，故A错误； B．A、B、C都没有滑动，静摩擦力提供向心力，根据，可知，物体B受到的静摩擦力最小，故B错误； C．静摩擦力达到最大值时对应开始滑动的临界角速度，对物体C，有 解得 故C正确； D．同理可得物体A、B开始滑动的临界角速度分别为 当圆台转速增大时，物体A、B同时滑动，故D错误。 故选C。 【例2】如图所示，物块置于水平转盘上随转盘一起运动，图中方向沿半径指向圆心，方向与方向垂直．当转盘逆时针转动时，下列说法正确的是（　　） A．当转盘匀速转动时，受摩擦力方向为 B．当转盘匀速转动时，不受转盘的摩擦力 C．当转盘加速转动时，受摩擦力方向可能为 D．当转盘减速转动时，受摩擦力方向可能为 D 【详解】AB．圆盘匀速转动时，重力和支持力平衡，合外力摩擦力提供圆周运动向心力，故摩擦力方向指向圆心点；则AB错误； C．当转盘加速转动时，物块做加速圆周运动，不仅有沿方向指向圆心的向心力，还有指向方向的切向力，使线速度大小增大，两方向的合力即摩擦力可能指向，故C错误； D．当转盘减速转动时，物块做减速圆周运动，不仅有沿方向指向圆心的向心力，还有指向相反方向的切向力，使线速度大小减小，两方向的合力即摩擦力可能指向，故D正确。 故选D。 类型5 临界问题 【例1】如图，置于圆形水平转台边缘的小物块随转台缓慢加速转动，当转速达到某一数值时，物块恰好滑离转台开始做平抛运动。现测得转台半径，离水平地面的高度，物块与转台间的动摩擦因数。设物块所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度，求： （1）物块离开转台边缘时转台的角速度； （2）物块落地时速度与水平方向夹角的正切值； （3）物块落地点到转台中心O点的水平距离。 【答案】（1） （2）2 （3）1m 【解析】（1）物块恰好滑离转台时物块与转台之间为滑动摩擦力，即 解得 （2）物块竖直方向做自由落体运动，则 解得 物块做平抛运动时，水平方向的速度为 物块落地时的速度与水平方向夹角的正切值为 （3）物块做平抛运动时竖直方向有 解得 t=0.4s 物块做平抛运动的水平位移为 由几何关系得：物块落地点到转台中心O点的水平距离为 解得 L=1m 【例2】如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴距离0.5m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止，物体与盘面间的动摩擦因数为（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力），盘面与水平面的夹角为30°，g取10m/s2，则ω的最大值是（　　） A．0.5rad/s B．rad/s C．1.0rad/s D．rad/s D 【详解】当小物体转动到最低点时为临界点，与盘之间达到最大静摩擦力，由牛顿第二定律μmgcos 30°－mgsin 30°＝mω2r 解得ω＝ rad/s 故选D。 【例3】(多选)如图所示，两个可视为质点的、相同的木块A和B放在转盘上，两者用长为L的细绳连接，木块与转盘的最大静摩擦力均为各自重力的K倍，A放在距离转轴L处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴O1O2转动，开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，以下说法正确的是(　　) A．当ω>时，A、B相对于转盘会滑动 B．当ω>，绳子一定有弹力 C．ω在<ω<范围内增大时，B所受摩擦力变大 D．ω在0<ω<范围内增大时，A所受摩擦力一直变大 【答案】ABD 【解析】当A、B所受摩擦力均达到最大值时，A、B相对转盘即将滑动，则有Kmg＋Kmg＝mω2L＋mω2·2L，解得：ω＝，A项正确；当B所受静摩擦力达到最大值后，绳子开始有弹力，即有：Kmg＝m·2L·ω2，解得ω＝，可知当ω>时，绳子有弹力，B项正确；当ω>时，B已达到最大静摩擦力，则ω在<ω<范围内增大时，B受到的摩擦力不变，C项错误；ω在0<ω<范围内，A相对转盘是静止 【例4】如图所示，圆锥面与竖直方向的夹角为，一条长为的不可伸长的轻绳一端拴着质量为的小球（可看作质点），另一端固定在圆锥体顶点，小球随圆锥体绕中心轴转动（），求： （1）角速度为多大时小球对圆锥面恰好无压力？ （2）当角速度为时，绳子对小球的拉力的大小。 （3）当角速度为时，绳子对小球的拉力的大小。 【答案】（1）5rad/s；（2）10.88N；（3）20N 【详解】（1）小球对圆锥面恰好无压力时，，其中，联立解得 （2）当角速度为ω1=4rad/s<5rad/s 竖直方向有 根据牛顿第二定律， 解得T=10.88N （3）当角速度为 此时小球离开圆锥面，设此时绳子与竖直方向的夹角为，则， 解得 【例5】（多选）如图所示，在倾角为的足够大的固定斜面上，一长度为L的轻杆一端可绕斜面上的O点自由转动，另一端连着一质量为m的小球（视为质点）。现使小球从最低点A以速率v开始在斜面上做圆周运动，通过最高点B。重力加速度大小为g，轻杆与斜面平行，不计一切摩擦。下列说法正确的是（　　） A．小球通过A点时所受轻杆的作用力大小为 B．小球通过B点时的最小速度为 C．小球通过A点时斜面对小球的支持力与小球的速度无关 D．若小球以的速率通过B点时突然脱落而离开轻杆，则小球到达与A点等高处时与A点间的距离为2L 【答案】ACD 【详解】A．小球在A点受到重力、斜面的支持力以及杆的拉力，由向心力公式可得 可得 故A正确； B．杆可以为小球提供支持力，所以小球经过最高点B时的最小速度为零，故B错误； C．斜面对小球的支持力始终等于重力沿垂直于斜面方向的分量，与小球的速度无关，故C正确； D．经分析可知小球经过B点脱落后在斜面上作类平抛运动，在水平方向做匀速直线运动，在沿斜面方向做初速度为零的匀加速度直线运动。沿斜面方向根据牛顿第二定律 由位移公式可知 水平方向 故D正确。 故选ACD。 类型6 生活中的圆周运动 【例1】如图所示，平直公路AB段的长度为x=20m，BC为圆弧形的水平弯道，其半径R=25m，AB、BC相切于B点。一辆质量为的汽车从A点由静止开始做匀加速运动，进入BC段做速率不变的圆周运动。已知汽车在弯道上以允许最大安全速率行驶，汽车在AB段行驶受到的阻力为车重的k1=0.15倍，在BC段行驶时径向最大静摩擦力为车重的k2=0.4倍，取3，g=10m/s2。下列说法正确的是（　　） A．汽车在弯道上行驶的最大速度为12m/s B．汽车从A到B做匀加速直线运动的最大加速度为3m/s2 C．汽车从A到B的最大牵引力为 D．汽车由A运动到C的最短时间为6.75s 【答案】C 【解析】A．汽车在弯道上以最大速度行驶时，根据牛顿第二定律有 解得 故A错误； B．汽车从A到B做匀加速直线运动过程，根据速度与位移的关系有 解得 故B错误； C．汽车从A到B做匀加速直线运动过程，根据牛顿第二定律有 结合上述解得 故C正确； D．汽车从A到B做匀加速直线运动过程，根据速度公式有 在BC段行驶过程 解得 故D错误。 故选C。 【例2】铁路弯道处，内外轨组成的斜面与水平地面倾角为，当火车以某一速度v通过该弯道时，内、外轨恰不受侧压力作用，则下面说法正确的是（　　） A．转弯半径 B．当火车质量改变时，安全速率不改变 C．若火车速度小于v时，外轨将受到侧压力作用，其方向平行轨道平面向内 D．若火车速度大于v时，内轨将受到侧压力作用，其方向平行轨道平面向内 【答案】B 【解析】AB．火车以某一速度v通过某弯道时，内、外轨道均不受侧压力作用，其所受的重力和支持力的合力提供向心力 设轨道平面与水平面的夹角为，根据牛顿第二定律有 解得， 则安全速率与火车质量无关，故A错误，B正确； C．当转弯的实际速度小于规定速度时，火车所受的重力和支持力的合力大于所需的向心力，火车有向心趋势，故其内侧车轮轮缘会与铁轨相互挤压，内轨受到侧压力作用方向平行轨道平面向内，故C错误； D．当转弯的实际速度大于规定速度时，火车所受的重力和支持力的合力不足以提供所需的向心力，火车有离心趋势，故其外侧车轮轮缘会与铁轨相互挤压，外轨受到侧压力作用方向平行轨道平面向外，故D错误； 故选B。 【例3】一辆汽车匀速率通过一座圆弧形拱形桥后，接着又以相同速率通过一圆弧形凹形桥．设两圆弧半径相等，汽车通过拱形桥桥顶时，对桥面的压力FN1为车重的一半，汽车通过圆弧形凹形桥的最低点时，对桥面的压力为FN2，则FN1与FN2之比为(　　) A．3∶1　　　　　　　 B．3∶2 C．1∶3 D．1∶2 【答案】C. 【解析】：汽车过圆弧形桥的最高点(或最低点)时，由重力与桥面对汽车的支持力的合力提供向心力．如图甲所示，汽车过圆弧形拱形桥的最高点时，由牛顿第三定律可知，汽车受桥面对它的支持力与它对桥面的压力大小相等，即FN1＝F′N1① 所以由牛顿第二定律可得mg－F′N1＝② 同样，如图乙所示，F′N2＝FN2，汽车过圆弧形凹形桥的最低点时，有F′N2－mg＝③ 由题意可知FN1＝mg④ 由①②③④式得FN2＝mg，所以FN1∶FN2＝1∶3. 【例4】（多选）如图所示，下列有关生活中的圆周运动实例分析，其中说法正确的是（　　） A．汽车通过凹形桥的最低点时，车对桥的压力大于汽车的重力 B．在铁路的转弯处，通常要求外轨比内轨高，目的是让火车以设计速度行驶时，轮缘与轨道间无挤压 C．杂技演员表演“水流星”，当“水流星”通过最高点时处于完全失重状态，不受重力作用 D．脱水桶的脱水原理是水滴受到的离心力大于它受到的向心力，从而沿切线方向甩出 AB 【详解】A．汽车通过凹形桥最低点时，具有向上的加速度向心加速度，处于超重状态，故对桥的压力大于重力，故A正确； B．在铁路的转弯处，通常要求外轨比内轨高，当火车按规定速度转弯时，恰好由重力和支持力的合力完全提供向心力，此时轮缘与轨道间无挤压，故B正确； C．水流星在最高点时重力完全提供向心力，所以受重力作用，故C错误； D．离心力与向心力并非物体实际受力，而是衣服对水的吸附力小于水做圆周运动所需要的向心力，因此产生离心现象，故D错误。 故选AB。 题型七 实验 类型1 探究平抛运动的特点 【例1】．频闪摄像是在单次长时间曝光中，利用频闪灯周期性照亮运动的物体，从而在一张画面中记录下其多个不连续瞬间的影像。学习小组同学用频闪摄像记录平抛小球在不同时刻的位置，探究平抛运动的规律。 (1)关于实验，下列做法正确的是________。 A．选择体积小、质量大的小球 B．借助重垂线确定竖直方向 C．先抛出小球，再打开频闪仪 (2)用如图（a）所示装置，使小球从桌面水平飞出，用频闪摄像拍摄小球的平抛运动。测得小球连续3个位置的水平和竖直距离的摄影大小如图（b）所示，已知物体的实际大小与照片上物体影像大小的比值为，重力加速度为，则小球平抛运动初速度的大小________。 (3)若小组同学测得如图（c）所示的频闪照片，但实验时忘了标记重垂线的方向。为解决此问题，他在频闪照片中，以某位置为坐标原点，沿任意两个相互垂直的方向作为轴和轴的正方向，建立直角坐标系，并测算出小球两个实际位置的坐标值分别为、。已知频闪频率为，根据平抛运动规律，利用运动的合成与分解，可得重垂线方向与轴间夹角的正切值为________，重力加速度为________。（结果均保留两位小数） 【答案】(1)AB (2) (3) 0.75 9.80 【详解】（1）A．选择体积小、质量大的小球，以减小阻力的影响，A正确； B．借助重垂线确定竖直方向，B正确； C．先打开频闪仪，再抛出小球，C错误。 故选AB。 （2）竖直方向 水平方向 可得 （3）如图，分别表示水平和竖直方向，设重垂线方向与轴间的夹角为，如图所示，当建立的坐标系时，则轴方向做匀加速运动，根据逐差法计算加速度有， 联立得 代入得 【例2】．某同学探究平抛运动的规律，设计了如图1所示的装置，操作如下： 在小球抛出点的正前方处竖直固定一个刻度尺，刻度尺零刻度线与小球抛出点在同一高度 小球水平抛出后，打在刻度尺上的刻度记为； 水平向右移动刻度尺，测出小球抛出点与刻度尺的水平距离为，以相同的初速度继续抛出小球，打在刻度尺上的刻度为。 回答下列问题： (1)若满足=____（用，表示），可证明小球水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动。 (2)如图2所示，若在距离刻度尺处放置一点光源，点光源与刻度尺零刻度线在同一高度，将小球紧靠点光源以初速度水平抛出，小球水平抛出后在刻度尺上的光影随小球向下运动，通过测量发现小球的光影做匀速直线运动，重力加速度为，则小球的光影做匀速直线运动的速度大小为______（结果用、、表示）。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）若小球水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，则满足关系，，， 联立以上各式解得 （2）如图所示，取平抛运动的某个位置记为点，连接并延长交刻度尺刻度为，则 水平距离为 由两三角形相似可得 解得 即光影做向下的匀速直线运动，速度大小为。 【例3】．用如图甲所示装置研究平抛运动的特点。将坐标纸和复写纸对齐重叠并固定在竖直硬板上。钢球A沿斜槽轨道PQ滑下后从斜槽末端Q水平飞出，落在水平挡板MN上，由于挡板靠近硬板一侧较低，球落在挡板上时，会在坐标纸上挤压出一个痕迹点。移动挡板，依次重复上述操作，坐标纸上将留下一系列痕迹点。 (1)作图时应以________为原点O建立平面直角坐标系。 (2)小球在平抛运动过程中的几个位置如图乙中的a、b、c、d所示，已知小方格的边长为L，位置a_________（填“是”或“不是”）小球的抛出点，小球的初速度大小v0=____________（用L、g表示）。 (3)若在实验中，斜槽末端切线不水平，仅从这一影响因素分析，第(2)问中求得小球的初速度大小v0___________（选填“大于”、“小于”或“等于”）小球离开斜槽末端时的速度大小。 【答案】(1)小球在斜槽末端Q点处球心在坐标纸上的投影点 (2) 不是 (3)小于 【详解】（1）研究平抛运动时，坐标原点应建立在抛出点，即小球飞出斜槽的位置，即小球在斜槽末端Q点处球心在坐标纸上的投影点。 （2）[1]由图乙可知，、、、四点在水平方向上的间距相等，均为，说明相邻两点间的时间间隔相等。在竖直方向上，，， 竖直位移之比为，不符合初速度为零的匀加速直线运动在连续相等时间内的位移之比的规律，故点不是抛出点。 [2]根据匀变速直线运动推论 由 得 解得 水平方向做匀速直线运动，有 解得 （3）若斜槽末端切线不水平，小球离开斜槽时具有竖直分速度，实际速度 实验中利用 计算时间是准确的，因为竖直方向加速度始终为。利用 计算出的速度实际上是水平分速度。由于 则，即求得的初速度小于小球离开斜槽末端时的速度大小。 【例4】．在“探究平抛运动的特点”的实验中，某同学使用的器材如下图1、图2所示。实验过程中该同学先用图1装置探究某一方向的分运动性质，再利用图2探究另一方向的分运动性质。 (1)图1装置是用来探究__________（填“水平”或“竖直”）分运动的特点。 (2)利用图2装置描绘平抛运动轨迹，下列说法正确的有___________。 A．斜槽粗糙对实验无影响，原因是摩擦力对小钢球影响较小，可忽略 B．利用图2探究另一方向的分运动性质时，要用到图1装置探究的结论 C．重垂线的作用是维持装置的稳定 (3)在图2实验中，该同学从平抛轨迹上选出3个点（平抛起点）、、，如图3，经测量，段的长度为，与竖直方向的夹角为，段的长度为，与竖直方向的夹角为。测量发现，则，两点间的时间间隔与、两点间的时间间隔之比为__________，再验证另一方向位移关系，若满足_____________，则说明此方向上的运动是____________。 【答案】(1)竖直 (2)B (3) 1∶1 匀速直线运动 【详解】（1）图1装置是用来探究竖直分运动的特点。 （2）A．斜槽粗糙对实验无影响，原因是每次小球在斜槽运动时所有摩擦力的影响均相同，所以每次平抛的初速度都一样，保证每次平抛的轨迹均相同。A错误。 B．利用图2探究水平方向的分运动性质时，要用到图1装置探究的结论：竖直方向分运动为自由落体运动，然后利用竖直方向运动规律，设法确定两段相等的时间间隔，再看相等的时间间隔内水平分运动的位移，进而确定水平分运动的规律。B正确。 C．重垂线的作用是确定竖直方向。C错误。 故选B。 （3）[1]由于，说明AB和BC竖直方向位移比为1∶3，所以 [2][3]水平方向若满足，说明水平方向是匀速直线运动。 【例5】．某小组利用频闪照相法来“探究平抛运动的规律”，装置如图甲所示，将弹射器固定在水平桌边，将小球压缩弹簧后由静止释放，利用频闪照相法拍下小球运动的部分像点，如图乙所示。已知背景方格的边长，重力加速度g取。 (1)下列实验操作，合理且必要的是________。 A．应该选用体积小、密度大的小球 B．释放小球前，弹簧的压缩量越大越好 C．实验时应先打开频闪仪，再由静止释放小球 D．用直线连接相邻的像点，即可得小球运动的轨迹 (2)根据图乙频闪照片，可知小球经过b点时的竖直分速度大小_______，小球平抛的初速度大小_______。（结果均保留两位有效数字） 【答案】(1)AC (2) 0.75 1.0 【详解】（1）A．为减小空气阻力的影响，应该选用体积小、密度大的小球，故A正确； B．释放小球前，弹簧的压缩量应该适当，使小球以适当的初速度做平抛运动，故B错误； C．实验时应先打开频闪仪，再由静止释放小球，故C正确； D．以平滑曲线连接相邻的像点，可得小球的运动轨迹，故D错误。 故选AC。 （2）[1]小球在竖直方向做匀加速直线运动，由 解得 小球经过b点时的竖直分速度大小为 由中间时刻的瞬时速度等于平均速度，有 [2]小球在水平方向做匀速直线运动，则初速度大小。 类型2 探究向心力与质量、半径和角速度的关系 【例1】．如图甲是利用激光测转速的原理示意图，图中圆盘可绕固定轴转动，盘边缘侧面上有一小段涂有很薄的反光材料．当盘转到某一位置时，接收器可以接收到反光涂层所反射的激光束，并将所收到的光信号转变成电信号，在示波器显示屏上显示出来(如图乙所示)． (1)若图乙中示波器显示屏上横向的每大格(5小格)对应的时间为2.50×10－3s，则圆盘的转速为________r/s.(保留3位有效数字) (2)若测得圆盘直径为10.20 cm，则可求得圆盘侧面反光涂层的长度为________cm.(保留3位有效数字) 【答案】 90.1转/s 1.44cm 【详解】试题分项：（1）由乙图可知，圆盘转动的周期，根据转速、角速度和周期的关系和，得到，代入数据，． （2）由乙图可知，反光凃层经过的时间为1个小格，反光涂层经过接收器的时间，根据弧长和线速度的关系，得；再由，则，代入数据，得到． 考点：本题考查匀速圆周运动有关内容及根据图象进行相关计算等． 【例2】．用如图所示的实验装置来探究小球做圆周运动所需向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系，转动手柄使长槽和短槽分别随塔轮匀速转动，槽内的球就做匀速圆周运动。横臂的挡板对球的压力提供了向心力，球对挡板的反作用力通过横臂的杠杆作用使弹簧测力套筒下降，从而露出标尺，标尺上的红白相间的等分格显示出两个小球所受向心力的比值。实验用球分为钢球和铝球，请回答相关问题： (1)在某次实验中，某同学把两个质量相等的钢球放在A、C位置，A、C到塔轮中心距离相等，将皮带处于左、右塔轮的半径不等的层上。转动手柄，观察左右标尺的刻度，此时可研究向心力的大小与___________的关系。 A．质量m B．角速度ω C．半径r (2)在（1）的实验中，某同学匀速转动手柄时，左边标尺露出4个格，右边标尺露出1个格，则皮带连接的左、右塔轮半径之比为___________；其他条件不变，若增大手柄转动的速度，则左、右两标尺的示数将___________，两标尺示数的比值___________（均选填“变大”“变小”或“不变”）。 【答案】(1)B (2) 1：2 变大 不变 【详解】（1）在某次实验中，某同学把两个质量相等的钢球放在A、C位置，A、C到塔轮中心距离相等，即两球的转动半径相等，此时可研究向心力的大小与角速度的关系，故选B。 （2）[1]由题意可知左、右两球做圆周运动所需的向心力之比为F左∶F右＝4∶1，则由F＝mrω2，可得 ω左∶ω右＝2:1 由v＝Rω可知，皮带连接的左、右塔轮半径之比为R左∶R右＝ω右∶ω左＝1∶2； [2][3]其他条件不变，若增大手柄转动的速度，则角速度均增大，由F＝mrω2，可知左、右两标尺的示数将变大，但半径之比不变，由R左∶R右＝ω右∶ω左可知，角速度比值不变，两标尺的示数比值不变。 【例3】．某兴趣小组用图甲所示的向心力演示器验证向心力F的大小与质量m、角速度和半径之间的关系。已知小球在挡板、、处做圆周运动的半径之比为，变速塔轮自上而下每层左、右半径之比分别为、和，如图乙所示。 (1)在进行下列实验时采用的方法与本实验相同的是______（填正确答案标号）。 A．伽利略对自由落体的研究 B．探究两个互成角度的力的合成规律 C．卡文迪什通过扭秤实验测出引力常量 D．探究加速度与力、质量的关系 (2)在某次实验中，验证向心力F与角速度之间的关系时，左、右两标尺露出的格子数之比为，运用圆周运动知识可以判断是将传动皮带调至第______（填“一”“二”或“三”）层塔轮 (3)现有两小球1和2，质量分别为和，且，在另一次实验中，把小球1放在B位置，小球2放在C位置，传动皮带位于第二层，转动手柄，当塔轮匀速转动时，左右两标尺露出的格子数之比约为______ (4)匀速摇动手柄时，若两个钢球的质量和运动半径相等，左、右两标尺显示的格数之比为，则与皮带连接的左塔轮和右塔轮的半径之比为______ 【答案】(1)D (2)三 (3) (4) 【详解】（1）验证向心力F的大小与质量m、角速度和半径之间的关系，采用的实验方法是控制变量法。 A．伽利略对自由落体的研究，采用实验结合逻辑推论的方法，故A错误； B．探究两个互成角度的力的合成规律，采用的实验方法是等效替代法，故B错误； C．卡文迪什通过扭秤实验测出引力常量，采用的实验方法是放大法，故C错误； D．探究加速度与力、质量的关系，采用的实验方法是控制变量法，故D正确。 故选D。 （2）在某次实验中，验证向心力F与角速度之间的关系时，需要控制两球质量相等，做圆周运动的半径相等；左、右两标尺露出的格子数之比为，则向心力之比为，根据可知，左、右塔轮的角速度之比为；根据可知，左、右塔轮的半径之比为，则将传动皮带调至第三层塔轮。 （3）小球1、2质量之比为；在实验中把小球1放在位置，小球2放在位置，两小球做圆周运动的半径之比为；传动皮带位于第二层，两塔轮半径之比为，根据可知，角速度之比为；转动手柄，当塔轮匀速转动时，根据可知，向心力之比为，则左右两标尺露出的格子数之比约为。 （4）匀速摇动手柄时，若两个钢球的质量和运动半径相等，左、右两标尺显示的格数之比为，根据可知，左、右塔轮的角速度之比为；根据可知，与皮带连接的左塔轮和右塔轮的半径之比为。 【例4】．某同学做验证向心力与线速度关系的实验装置如图所示，一根长度为L的轻质细线上端固定在拉力传感器上，下端悬挂一小钢球，实验步骤如下： ①将钢球悬挂静止不动，此时力传感器示数为F； ②将钢球拉到细线与竖直方向的夹角θ60°处由静止释放，力传感器示数的最大值为2F。 已知当地的重力加速度大小为g，回答下列问题： (1)钢球的质量m=__________。 (2)钢球的最大速度v=__________。 (3)该实验测得的数据__________（填“存在”或“不存在”）误差。 【答案】(1) (2) (3)存在 【详解】（1）[1]钢球静止时，根据受力分析可知，拉力等于重力，故 得到 （2）根据功能关系知，钢球在最低点时速度最大，此时力传感器示数的最大，根据题意钢球拉到细线与竖直方向的夹角θ60°处由静止释放，力传感器示数的最大值为2F，根据牛顿第二定律 联立解得 （3）测量摆线的长度时有误差。 【例5】．利用如图所示的装置可以探究影响向心力大小的因素。 将小球放置在横臂的挡板处，转动手柄使长槽和短槽分别随变速塔轮匀速转动，两小球随之做匀速圆周运动。横臂的挡板对小球的压力提供了小球做匀速圆周运动的向心力，小球对挡板的反作用力通过横臂的杠杆作用使弹簧测力筒下降，从而露出标尺，可显示两小球所受向心力的大小情况。已知长槽横臂的挡板A和短槽横臂的挡板C到各自转轴的距离相等。若将甲、乙两个相同小球分别置于挡板A和挡板C处，匀速转动手柄，稳定后两小球所需向心力大小之比，则两小球的角速度之比______________。此时传动皮带所连接的左、右两塔轮半径之比为_______________。 【答案】 【详解】[1]根据向心力公式得 [2]根据传动规律有 左、右两塔轮半径之比为 1 学科网（北京）股份有限公司 $