利用圆形的几何特性，破解磁场中的极值难点-《中学生数理化》高考理化2026年7～8月刊

中学生数理化高中理化 物理部分 经典题突破方法 2026年7一8月 利用圆形的几何特性，破解磁扬中的k值难点 ■河南省新乡市第一中学 宁长兴（正高级教师）》 带电粒于在磁场中的运动问题是高考考 关，速度临界值对应轨迹圆半径临界值。解 查的重点，也是难点。许多同学在解决带电 题时，可构建“缩放圆”模型，寻找轨迹圆与磁 粒于在磁场中做匀速圆周运动时的极值问题 场边界相切、外接等临界位置，先确定半径的 时，常常会感到力不从心。抓住圆形的几何 极大值或极小值，再由半径推导速度极值。 量与物理量之间的关系，是求解此类极值问 例1如图1所示，一个边长为21的 题的关键所在。下面借助例题具体阐述，以 正三角形区域内存在方向垂直于纸面向外、 飨读者。 磁感应强度为B的匀强磁场。一个质量为 一、利用半径一突破速度极值难点 n、电荷量为十g的粒于（重力不计），从ab边 在磁场区域与磁感应强度均确定的条件 的中点O以某速度。垂直于磁感线射入，且 下，无论磁场边界呈现何种几何形状，求解带 与ab边的夹角为60°。粒于在磁场中运动一 电粒于速度极值的核心在于思维转化，即将 段时间后，从ab边穿出磁场，则粒于在磁场 速度极值问题转化为运动轨迹的几何边界问 中运动的最大速度为( 题。带电粒于在匀强磁场中做匀速圆周运 A.qlB B.qlB 动，根据轨迹圆半径R与速度。的关系式 2m 4m R=mu B可知，其轨迹圆半径R与速度·正相 C.9B Am D.9B 2m A正确，B错误。小煤块滑上传送带N之前 划痕为一段直线。解决本题的关键是明确小 的瞬间，相对传送带N的速度大小。= 煤块相对传送带的速度，根据相对运动方 √o。+u=1m/s,小煤块在传送带N上滑 向计算相对位移。 动的过程中，相对传送带N的速度与所受滑 传送带上的划痕问题虽情 动摩擦力的方向如图9所 备考建议境多变，但核心仍是相对运动 示，即滑动摩擦力的方向 mg、 与摩擦力分析。同学们在高三复习备考的过 与相对传送带N的速度 程中，需要强化训练建模能力，熟练掌握基本 方向相反，且加速度大小 动力学方程，快速判断物块的加速度、运动时 间和位移，善于利用图像辅助理解多过程问 a=ms=2m/s。因为 题中的相对运动，简化计算：需要注意分类讨 小煤块相对传送带N先 图9 论，养成全面分析的习惯，以应对高考试卷中 做匀减速直线运动，后保持静止，所以小煤块 可能出现的通过改变速度大小、方向、摩擦条 留在传送带N上的划痕长度L= 件等设置的多情况变化问题；需要理解划痕 2a 的本质，明确“划痕=相对位移”，避免混淆 0.25m,选项C正确，D错误。 “物块位移”与“传送带位移”；需要关注覆盖 答案：AC 现象，若物块在传送带上的运动方向发生改 评析：划痕是指物块与传送带之间因相 变，则后一段划痕就可能覆盖前一段划痕，最 对运动而产生的摩擦痕迹，本题中小煤块与 终划痕应取较长值。 传送带N的相对运动是匀减速直线运动，其 (责任编辑张：巧) 22 纯修突玻方清中学生凝理化 得r=2R。如图4所示，粒于源以相同的速 率发射相同的粒于，所有进入磁场的粒于均 B 21 21 做半径相同的匀速圆周运动。粒于射入磁场 时的速度方向不确定，因此粒于在磁场中的 轨迹圆大小不变，位置改变，对应的圆心角改 a·60 ·60 0 变。粒于在磁场中的轨迹圆半径r=2R,轨 图1 图2 迹圆弧均为劣弧，为使运动时间最长，应使对 解析：粒于带正电，进入磁场后沿顺时针 应的圆心角最大，即对应的弦长最长。该弦 方向偏转，随着入射速度的增大，粒于的运动 长既是轨迹圆的弦长，又是磁场圆形边界的 轨迹半径逐渐增大。如图2所示，当轨迹圆 弦长，显然，最长弦长应为磁场圆形边界的直 与bc边相切时，轨迹圆半径最大，对应的速 径。根据几何关系得sin会=尽=分， ，即 度为最大速度。根据几何关系得R=L, 4,根 一子，则录长运动时间1=T一器· πn 2π 据洛伦兹力提供向心力得gB=m?,解得 0=13qlB Am 答案：B 二、利用圆心角—一突破时间极值难点 带电粒于在磁场中做匀速圆周运动，可 以用1=T-管求运动时间。当粒子的比 荷一定时，圆心角日越大，运动时间t越 图4 三、利用轨迹圆一突破磁感应强度极 长，因此求时间极值问题可转化为求圆心角 值难点 日的极值问题。解题时，需要根据粒于的运 比荷与速率均确定的带电粒于，在磁感 动情况画出“动态圆”，寻找临界运动轨迹，构 应强度不确定的匀强磁场中做匀速圆周运 建圆心角与弦长的几何关系，利用三角函数， 动，其轨迹圆半径与磁感应强度成反比 求出圆心角的极值，从而确定时间的极值。 磁感应强度越小，轨迹圆半径越大，轨迹圆也 例2如图3所示，在平面直角坐标系 越大；磁感应强度越大，轨迹圆半径越小，轨 Oxy的第一、四象限内，分布着一半径为R 迹圆也越小。因此求磁感应强度极值问题可 的圆形匀强磁场区域，磁感应强度为B,方向 转化为直观的轨迹圆与磁场边界相切的几何 垂直于纸面向里，磁场边界与y轴相切于坐 问题。解题时，可通过在同一坐标系中对轨 标原点O。O点处有一粒于y 迹圆进行缩放变换，找到满足约束条件的临 源，可沿纸面向各方向射出速 界轨迹，从而求解磁感应强度的极值。 率均为24B迟的相同带电粒 例3真空中有两个半径分别为a和 于。已知粒于的质量为m,电 2a的同轴圆柱面，在a≤r≤2a范围内有一 图3 荷量为9，不考虑粒于自身重 方向与圆柱轴线平行的匀强磁场，其横截面 力，求粒于通过磁场区域的最长时间。 如图5所示。一质量为m,电荷量为q(g< 解析：带电粒于在匀强磁场中受洛伦兹 0)的粒于以速率沿半径方向射入磁场，忽 力作用而做匀速园周运动，则gB=m”,解 略粒于自身重力。为使粒于不能进入内部无 磁场区域，磁感应强度最小为( )。 23 中学生数理化 物理部分 经典题突破方法 高中理化 2026年7一8月 A. mu 2m0 qa B.3qa L,ab=2L。一质量为n,电荷量为q(g>0) 的粒子，从a点沿ad方向射入磁场，不计粒 C.mv mu D. 于自身重力，为使粒于从bc边射出磁场区 3qa 2ga 域，粒子的速率。应满足的条件是()。 7 7 A.23qBL. qBL 3m m B.3qBL <v<qBL 2m m 图5 图6 C.3gBL33qBL 解析：使粒于不能进入内部无磁场区域 5m 5m 的临界轨迹如图6所示。根据洛伦兹力提供 D.3qBL 0213qBL 向心力得加B=m,每得r-,当粒于 6m 3m 2.如图8所示，足够·· ···B 的比荷9一定时，磁感应强度越小，轨迹圆半 大空间内分布着磁感应 强度为B,方向垂直于纸······· 径越大。当磁感应强度最小时，轨迹圆（最 面向外的匀强磁场。关 大)与内圆相切，根据几何关系得r十4a2= 于O点对称的薄板MN 图8 r十a),解得r三之a。因此磁感应强度的 的长度为3l,O点到薄板MN的距离为1。O 点有一粒于源，能沿纸面内任意方向发射速 最小值B。=2mu 3ga 率相同，质量为m,电荷量为q(q>0)的粒 答案：B 于。已知水平向右发射的粒于恰能垂直打在 方法总结：求解带电粒于在磁场中的极 薄板MN上，打到薄板MN上、下表面的粒 值问题，均可通过构建圆形几何模型实现有 于均会被吸收。不计粒于自身重力，则被薄 效突破。利用“缩放圆”模型，可以将速度极 板MN吸收的粒于在磁场中的最长运动时 值问题转化为轨迹圆半径的临界几何条件； 间为( )。 借助“动态圆”分析，可以将时间极值问题转 5πm A. B.3xm 3gB 2gB 化为运动轨迹所对圆心角的极值问题；通过 轨迹圆的缩放与约束，可以将磁感应强度极 c D.2g 值问题转化为轨迹圆与磁场边界相切的问 3.如图9所示，平行M 题。我们在学习这部分知识时，应注重将复 边界M、N之间存在垂直 杂的物理极值条件转化为直观的数学几何关 于纸面向里的匀强磁场，××B××× 系。这一思维的转化，不仅能够帮助我们轻 边界M、N间的距离d= ××××××× 松破解带电粒于在磁场中的极值难点，更能 3m。质量m=1.6× 图9 提升我们利用几何工具解决物理问题的综合 1010kg,电荷量9= 能力。 一3.2×10C的离于（不计重力），以速度 你银踪训练 v。=12m/s从边界M上的A点，与边界M 成夹角日=60°进入磁场，要使该离于不能从 1.如图7所示，在等 边界N射出磁场区域，求磁感应强度B应满 腰梯形abcd区域内（包 足的条件。 含边界)存在垂直于纸面 参考答案：1.A2.A 向里的匀强磁场，磁感应 图7 3.B0.3T。 强度为B,边长ad=dc= (责任编辑张巧) 24