一题八解，提升核心素养-《中学生数理化》高二数学2026年7～8月刊

中学生数理化 解题篇经典题突破方法 高二数学2026年7-8月 题八解，提升核心素养 ■大连市第二十四中学 刘彦永 一、数学核心素养的内涵解读 本题的解题过程由浅入深，对计算能力、 1.从数学学科的自身特征理解核心素养 思维深度的要求逐步提高，很好地体现了数 数学核心素养是一个高度抽象的思维产 学的基础性、应用性和创新性。试题考查层 物，即能从数学的角度看问题，有条理地进行 次分明、区分度较高，使同学们充分展示理性 理性思维、严密求证、逻辑推理和清晰准确地 思维的广度和深度，突出选拔功能和对数学 表达观点。发展数学核心素养，有利于同学们 核心素养的考查。 学会用数学眼光观察世界，用数学思维分析世 2.试题解析 界，用数学语言表达世界，有助于发展同学们 本题第(1)间借助一般方程可得 的思维品质，形成理性精神、批判思维等。 2+y 2.从学生发展的迫切需求理解核心素养 =1,解答过程略。 在传统的接受式学习中，同学们的思维 第(2)问看起来很难，但解法很多，不同 往往习惯于求同性、定向性。通过分析试题 的解法体现了不同的思维层次和思考角度， 命制、解答和反思等揭示其所蕴含的核心素 要求同学们有勇于探索、敢于实践的精神。 养，有利于强化培养同学们数学核心素养的 解法1：构造对偶式 理念。通过“一题多解”的训练，同学们可以 因为点E(一1,0)和B,D共线，所以 从多角度、多途径寻求解决问题的方法，开拓 x2+1x:十1 解题思路，并从多种解法中选出最佳解法，总 y ,即xy2-x2y4=y:-y2。① y 结解题规律，提高分析问题和解决问题的能 因为髻+=1，号+=1，所以 力，进而提升数学核心素养。 xy经-riyi xiy-xy明 二、数学核心素养的落实探索 十x2y4 xiy:-T2y y:-y2 笔者有幸参与了2025年辽宁省大连市 2(1-y)y-2(1-y)y 高二期末考试题的命制，其压轴题背景是蝴 y:-y2 蝶定理，题目不但新颖，而且内涵丰富，渗透 =2(y-y) 了数学核心素养。 y:-y2 1.试题呈现 =-2(y2+y:)。 如图1所示，在平 故xy十xy,=-2(y:+y:)。② 面直角坐标系中，以坐 标轴为对称轴的椭圆 由①②解得y:= 2x2十3’x4= 过点M(,）和点 -3.x?-4 一y1 2.x2+3。 同理可知=2十3x: N侵)A(, -3x1一4 图1 2x1十3 y1),B(x2y2),C(xy),D(x4y:)是椭圆上异 因为点F(1,0)和A,B共线，所以一」 于顶点的四点，直线AC与BD相交于点 E(一1,0)，直线AB的斜率存在且过点F(1,0)。 =xg-1 ,即x2y1-x1y2=y1一y2。③ (1)求椭圆的标准方程： 一y1 (2)记kAB,kp分别为直线AB与直线 km=y,一y 2x2+32x1+3 CD的料本求二的位 C4—xg -3x2-4 -3x1-4 2x2+3 2x1十3 26 高二数学突破方清中学生数理化 解题篇经典题突破方法 2(x2y1-x1y2)+3(y1一y2)5(y1-y,) 功解题，要求同学们对所学知识与方法灵活 x1一x2 x1一x2 运用、巧妙结合，这样的思维练习是数学核心 6地故-6 素养提升的保障，值得一提的是“。少 5x,+7= 点评：一般地，对于椭圆工 6=1(a> y 7 5x”十7”说明直线CD过定点（一写0），后续 6>0)和双向战号-若=1a>0,6≥0，若 y 有些解法也证明了此结论，不再赘述。 解法3：构造和积关系 弦过点(m,0)且m≠0，则有对偶式x1y2 设直线AC的方程为x=my一1 xy1=m(y2-y1)和x1y:十xy,= m (y:+ (英中m=中）代入精回号+y=1消 y1)成立。同学们要对重点模型进行梳理和 y3 总结，做到先知其然，然后知其所以然，确保 去x得(m2+2)y2-2my-1=0。 数学核心素养落地。 △=(-2n)+4(n+2)=8(m2+1)>0。 解法2：构造比例关系 2m 1 y+y3= m2+2y1:=- n2+2 设直线AC的方程为x=my一1 1 y (其中m十马)）代人椭回方程号+y /xg+1) (x3+1)2+2y y3 —)+2 1,消去x得(m2+2)y2-2my-1=0。 △=(-2n)2+4(n2+2)=8(m2+1)>0。 x+2y+2x,+1=一2x+3 2m 1 y1+y3= m+2’y1yg=- m2+2 即y1=一 x,+3x1=my1-1=2十1 y y3 (x+1)+2y (-2x,+3 -1=-32:+4 2x3+3 同理可知y:=一 y x+2y+2x+1=- 2z+3,即y1 y 2x,十3’x:= 3x,+4 2m+3’x=my1-1=3+1 2x,+39 因为直线AB的斜率存在且过点(1,0)， （2+)-1=8 2xg+30 2x+3 同理可知y= y 3x:+4 所以y =y: 2x4十32g= =即3，+4 2x:+39 2a,+31 因为直线AB的斜率存在且过点(1,0)， 所以少一二斗=友B。 x1-1x2-1x?-x1 2+3,化简得7 y 3x4十4 7 ,7 y 2x4+3 x+5 x:十5 2x3十3 2x,十3 即kAB=3xs十4 2x+3-1 3x4十4 y:一y3=kcp。 2.x4+3-1 x&一x3 因为y1十y3=一2my1y:,且直线AB的 y y&一y3 keD 5x,+7-5x:+7-5(x4-x)=5 斜率不为零，所以： y3 7 点评：解法2反设直线方程并且设而不 kcD一 x3+5 y3(x1-1) kAB 求，巧用韦达定理代换，妙用比例性质关系成 x1-1 y(e,+) 27 中学生数理化 解题篇经典题突破方法 高二数学2026年7-8月 y;(my-2) myiys-2y3 百炼才能开出数学核心素养的理想之花。 2 myiy+5y 解法5：构造轴点弦等式 设直线CD与x轴交于点M(m,0),则 1 5 2y1-2y 1 1 =5。 2x3一m ·,两边平方得x,) x-m 10y1-2ya y 故5 (x,-m)2o 点评：解法3利用三点共线构建比例关 结合+对=1，+=1，可得 系，再利用和积关系代换解题，锻炼逻辑链条 的完整性，要求同学们对复杂题目“不抛弃、 1号 1- 不放弃”“敢想敢算”，不畏困难、迎难而上才 (x3-m)2 (x-m) 能助力数学核心素养的落实。 整理得2xx,=(m+2)(x十，)一4. m 解法4：构造同构式 同理可知，2x1xg=一3(x1十xg)一4， 设直线AC的方程为x=my一1 2xx,=-3(x十x,)一4，即x1= -3x3-4 其中m= x+1) 2x3+3 一3x4-4 代人椭圆多+y三1，消去x可得(m王 r:=2.x,+3。 代入2x1x2=3(x1十x)-4,得2xx:= 2)y2-2my-1=0。 99 △=(-2m)2+4(m+2)=8(m2+1)> 35(x:+x)-4,即m十 2=-9 n 35,解得 2m 1 0,y1+ya= n+2'y1yg=- m2+2 7n= 号或m=9(舍去) 由 y x3+1 +2 (x3+1)+2y x+1x+知y=(x+1) x:+1 y: -3x3一4 结合x1= y y 2+3,则= x号+2y+2x3+1 2x1+3 g 即y1= 2z+31=my,-1=十1 y: y3 x,十5 (x3+1)(x1-1) y(x1+1) (-2x,+3 -1= 3x3+4 (x3+1)(x1-1) (,+)x+D 2x3十31 (x￥+1)(-5x3-7) 设直线AB的方程为y=kAB(x一1)，则 .=5。 7 y1=kAB(x1一1)。 x:+5)(-xg-1) 代入点A的坐标整理得y?=kAB(5x?十 点评：事实上，解法5在得到(x1,y1)后 7)。同理可得y:=kAB(5x:十7)。 也可仿照解法4设线处理。一般地，对于椭 故直线CD的方程为y=kAB(5x+7), 即y=5ka(e+）=m(+）: 国后+若-1a>6≥0双后--】 (a>0,b>0),若弦过点(m,0)且m≠0，则有 所以巴=5。 轴点孩等式2x1西：=(m十元)(x1十) ,点评：解法4利用同构式解题，极大程度地 2a2成立，这是解决轴，点弦问题的有效工具。 减少了计算量，是圆锥曲线解题中的重要技巧。 解法6：构造定比点差 这需要同学们见多识广、热能生巧，经历过千锤 设A正=AEC,BE=ED,由定比分点坐 28 解题篇经典题突破方法 高二数学2026年7一8月 中学生教理化 标公式得一1=飞，十Ax 0=+.0 对照系数可知： 1+入 1 号+=1和+-，作丝 1十入=24， λ=5， h=-8, 2-Aq-λ=0， 7 得+，-+（y+)(y1 1十λq=-4, 解得人g=一 5 2 m十n-入p一入tq=0, 入y3)=1-入2。② m+n+入(p+t)=0, t=5。 将①代人@壁理得=一2，@ =5。 点评：二次曲线系在圆锥曲线中应用广 泛，可以巧妙解决很多复杂的解析几何问题， y;=- Ay1。 如蝴蝶定理、四点共圆等问题，其优，点是极大 同理可得：=名一号：= 1 3 程度地减少计算量，获取更多潜在的信息，这 2 是数学核心素养结出的硕果。 解法8：构造齐次式 因为直线AB的斜率存在且过点(1,0)， 1一2则椭圆方程号+y=1 记 y'=y, 所以少， 15 经过平移变换为'十②) 十y2=1。 2 整理得y1一Ay:=5(y1一y:)。 对应图2变换到图3。 因为B=:二义=y:二y1,kD xg一x1 1 2u-A) -y+ y-y=天=一A业，所以 x4一x3 11 1 2u 2X 2(-u) kAB 图2 图3 4wy-Ay:_5(y1-y2=5. 设点G(0,0),kcA=k1,kB=k:,kc℃ y1一y2y1一y2 =k,kGD=k4,直线A'B'的方程为mx'十 点评：定比点差法是解决轴点弦问题的 ny'=1,直线CD'的方程为px'+qy'=1。 有力工具，其本质是弦端点的坐标和定比之 由直线AB'经过定点(1一√2,0)，可知 间的定量关系。一般地，对于精圆+ 6 m=-√2-1。 1(a>6>0)和双曲线兰 将直线A'B和椭圆的方程联立并齐次 a22一2=14≥06 化，可得2y2+2√2x'y'-(2√2+3).x2=0。 0),若弦过，点(m,0)且m≠0，则n= x十入x,。2=1一2,0=1十xy。 记-多，则2k+22k-(2v2+3》=0. 1+入'm1-入 因为4>0，k1k,=-22+3 ,k1十k2= 解法7：构造曲线系 2 AC:x=my-1,BD:x=ny-1,AB: 一②1，所以k4g=-”=-2+2 x=ty+1,CD:x=py+q。 nk1十k2 则过A,B,C,D四点的曲线系满足： 同理，k,=,=2区-3 2 ，故kk,= (x-my+1)(x-ny+1)+(x-ty- (2V2-3)3 1D(x-y-9)=(兮+y-1) 2 29 解题篇经典题突破方法 中学生数理化高数学202年78月 2√/2p+ (3)定直线问题，直线AD与BC的交 结合kk,= 2 ,解得p=35 点，以及直线AB和CD的交点均在定直线 25√2。 x=-2上； kg十k:=一√2g。 (4)等值问题，若过点E且垂直于x轴 的直线MN与直线AD和直线BC分别交于 ke'p:=- 卫-35-25VE_352-50 9 k8十k: k3十k4 点M,N,则EM=EN。 ② 更一般地，可以 35√2-50 35√2-50 将结论推广到椭圆、 2√2-3 2√2-3 (2√2-3)2(k1+k:) 双曲线和抛物线。 2 2 以椭圆为例，如图5， k2 若A,B,C,D是椭 35√2-50 kep (22-3)(k1+k2) 方=1上异 kAB √2+2 图5 于顶点的四点，直线 k1十ke AC与BD相交于点Q(g,0),直线AB的斜 50-35√2 50-35√2 =50 率存在且过点P(p,0),直线CD过点R(r, (2√2-3)2(2+√2) 10-7√2 0),则有下面结论： 平移不改变宜线的斜率，故 p一5。 1 1 1 (1)定点关系，a十g-a-qg-r 点评：若P(xy),A和B是精圆 1 p-qi =1上相异的三点，且A·B (2)定值关系·一9-7 kcn=p一9 a≠) 则直线AB 过定点 (3)定直线关系，直线AD与BC的交点和 (Xa:+62 Aa:+b2 直线AB和CD的交点均在定直线x=Q上： 以a-6·-·a-6)。友之斜率 9 (4)等值关系，若过点Q且垂直于x轴 积也为定值，结论也可以推广到双曲线和抛 的直线MN与直线AD和直线BC分别交于 物线。解法8要求同学们有极强的数学运算 点M,N,则QM=QN。 和逻辑推理等能力，面对复杂问题时能灵活 为了加强同学们对某一类问题的掌握， 切换思维视角，这也体现了提升数学核心素 适当地对题目加以改编、练习，会起到强化解 养的重要性和必要性。 题思想方法的作用。同学们在实践中寻求变 3.试题拓展 通、悟出来龙去脉，才能灵活掌握解题规律， 蝴蝶定理是圆 提升数学核心素养。 锥曲线问题的一个 三、数学核心素养的培养提升 重要题根。在本题 美国著名数学教育家波利亚说过，“掌握 的条件下，如图4，有 数学就意味着学会解题，而想要学会解题，好 如下结论： 的数学题目是关键”。在日常学习中，我们要 (1)定点问题， 重视像“蝴蝶定理”这样具有代表性的一题多 直线CD过定点 图4 解题目，通过一题多解、一题多变，使自已从 ( “被动接受”到“主动建构”，真正实现“解题” (2)定值同题， kcD一5； 与“素养”的同步提升。 (责任编辑徐利杰) 30