专题01 集合与充要条件（讲义）-2027版河南省（对口招生）《数学二轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027版河南省（对口招生）《数学二轮讲练测》紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套讲义、课件和AB卷习题，满足多样化学习需求。 2027年河南省（对口招生）《数学二轮讲练测》 专题01 集合与充要条件 考查内容 考查详情 年份及题号 题型 分值 集合 元素、集合的关系 2026-1 单选 3 交集 2025-1 单选 3 元素、集合的关 2024-1 单选 3 并集、补集 2024-11 填空 3 元素、集合的关系 2023-1 单选 3 充要条件 充分必要条件 2025-8 单选 3 既非充分又非必要条件 2024-8 单选 3 充分条件 2022-1 单选 3 命题轨迹透视： 集合与充要条件几乎每年都有涉及，分值一般在6分左右，题型主要集中在选择、填空题。内容主要是集合的概念与关系、集合的运算、充要条件通常与三角函数、不等式等知识点结合考查。 1．（2026年·河南对口升学高考第1题）集合A={微信，微博，QQ，钉钉}，集合B={QQ}，集合C={豆包}，则正确关系式为（ ） A. B∈A B. C∈A C. B⊆A D. C⊆A 【答案】 C 【解析】集合 ，故 故选：C． 2．（2025年·河南对口升学高考第1题）设集合，集合，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】解一元二次方程，结合集合交集的运算即可解得. 【详解】解方程，即，可得或，所以. 解方程，得，所以. 故. 故选：B 3．（2025年·河南对口升学高考第8题）在中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 【答案】C 【分析】由充要条件的定义及正弦定理即可得解. 【详解】在中，若成立，根据正弦定理，可得. 在三角形中，大边对大角，所以等价于， 所以. 因为等价于，且，， 所以. 故“”是“”的充要条件. 故选：C. 4．（2024年·河南对口升学高考第1题）已知集合，下列说法错误的（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】分析集合的元素，根据元素与集合的关系进行判断. 【解析】∵集合，故集合A的元素有，，. 则，，，，即ABD正确. 不是集合A的元素，故. 故选：C. 5．（2024年·河南对口升学高考第8题）在空间中，“两直线互相垂直”是“两直线相交”的（ ） A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】D 【分析】通过空间中直线与直线的位置关系分析得出结论即可. 【解析】因为空间中两直线垂直，分为相交垂直，异面垂直两种， 所以两直线互相垂直不能推出两直线相交. 反过来，两直线相交所成的角的范围是，不一定是垂直， 即两直线相交不能推出两直线垂直. 所以“两直线互相垂直”是“两直线相交”的既非充分又非必要条件. 故选：. 6．（2024年·河南对口升学高考第11题）设全集U是所有小写英文字母组成的集合，，则_________． 【答案】 【分析】根据补集定义得到集合补集，再与集合取交集得到结果. 【解析】因为全集是所有小写英文字母组成的集合，， 所以为除去以外的其他所有小写英文字母组成的集合， 所以=, 故答案为： （一）集合的概念及表示方法 一组对象的总体构成一个集合． 1．集合元素的三个特征：确定性、无序性、互异性． 2．集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法. 3．元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为 ∉. 4．五个特定的集合及其关系图： 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(N＋) 　 Z Q R （二）集合之间的关系 类别 文字语言 图形语言 符号表示 子集  集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,就说这两个集合有　包含　关系,称集合A为集合B的子集  　A⊆B或B⊇A 真子集  如果集合A⊆B,但存在元素x∈B,且x∉A,称集合A是集合B的真子集  A⫋B或B⫌A  相等 集合A与集合B中的所有元素都相同 A＝B 注意：(1)空集用 ∅表示． (2)若集合A中含有n个元素，则其子集的个数为2n，真子集的个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2. (3)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． (4)若A⊆B，B⊆C，则A⊆C． （三）集合的运算 符号 语言 交集A∩B 并集A∪B 补集∁UA 图形 语言 意义 A∩B＝{x|x∈A且x∈B} A∪B＝{x|x∈A或x∈B} ∁UA＝{x|x∈U且x∉A} （四）充要条件 1.充分必要条件 充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的 充分　条件，q是p的 必要　条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且qp p是q的必要不充分条件 pq且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 pq且qp 一、选择题 1．已知是所有偶数组成的集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据元素与集合之间的关系即可求解. 【详解】对A、B：因为是所有偶数组成的集合，1和3都不是偶数，所以，故A、B项错误， 对C、D：因为偶数，所以，故C项正确，D项错误. 故选：C. 2．已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据并集的概念运算即可. 【详解】已知集合，集合， 则， 故选：C. 3．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由充分条件和必要条件的概念，即可得解. 【详解】由得或， 所以“”“”， “”“”， 即“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 4．已知集合，，则（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据交集的概念运算即可. 【详解】已知集合，， 则， 故选：B. 5．设，则“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．非充分非必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件与必要条件的概念判断. 【详解】若，则必有，故充分性成立； 若，则不一定有，如，故必要性不成立， ∴“”是“”的充分非必要条件. 故选：A. 6．设集合，则集合A与B之间的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求出集合，根据集合与集合之间的关系即可求解. 【详解】由解得，由解得， 所以集合， 则. 故选：A. 7．集合共有 个子集（    ） A．3 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】根据题意结合子集个数公式即可得解. 【详解】集合中元素个数为， 则子集个数为， 故选：. 8．“”是“x、y至少有一个为零”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充要条件的概念判断. 【详解】能推出x、y至少有一个为零，而x、y至少有一个为零也能推出， 所以“”是“x、y至少有一个为零”的充要条件． 故选：C． 9．已知集合，则集合A的真子集个数为（   ） A．15 B．16 C．31 D．32 【答案】C 【分析】根据含有绝对值的不等式的解法，解出集合A的元素，再根据元素个数算出真子集个数即可求解. 【详解】不等式可化为，即， 即集合， 因为集合共有5个元素， 所以集合的真子集个数为. 故选：C. 10．“是等腰三角形”是“是等腰直角三角形”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件与必要条件的概念判断即可. 【详解】是等腰三角形不能推出是等腰直角三角形， 而是等腰直角三角形能推出是等腰三角形， 所以“是等腰三角形”是“是等腰直角三角形”的必要不充分条件． 故选：B. 11．设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的交集的定义求解. 【详解】全集，集合，则. 故选：C. 12．设全集，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合交集、补集的概念和运算，即可求解. 【详解】因为全集，， 所以， 又， 所以． 故选：D. 二、填空题 13．已知集合，若，则 ． 【答案】 【详解】因为，所以，即， 则，于是. 故答案为：. 14．已知全集，集合，则 ． 【答案】或 【分析】根据集合的运算中补集的定义可求得. 【详解】因为全集，集合 所以根据补集的定义可得，或 故答案为：或 15．若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用必要不充分条件求参数范围即可. 【详解】若是的必要不充分条件，则， 则（等号不同时成立），则， 故答案为：. 16．已知全集，集合，，则 . 【答案】 【分析】利用集合的补集、交集的定义直接求解. 【详解】因为全集，，所以， 因为，则. 故答案为：. 17．“是整数”是“是有理数”的 条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”） 【答案】充分不必要 【分析】通过原命题“如果，那么”和其逆命题“如果，那么”的真假来判断条件与结论的逻辑关系. 【详解】命题“如果是整数，那么是有理数”是真命题， 其逆命题“如果是有理数，那么是整数”是假命题， 所以“是整数”是“是有理数”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要. 18．已知集合，，且，则的范围为 ． 【答案】 【分析】根据集合包含关系定义求解即可. 【详解】由可知，中的元素都在中， 则. 故答案为：. 19．某校高三（1）班有名学生，春季运动会上，有名学生参加了田赛项目，有名学生参加了径赛项目，已知田赛和径赛都参加的有8名同学，则该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为 【答案】 【分析】根据集合交集和并集的计算即可解得. 【详解】由题意，设全班名学生组成的集合为，参加田赛项目的学生为集合，参加径赛项目的学生为集合， 由题可知，集合有个元素，集合有个元素，有个元素， 则中有个元素， 故该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为， 故答案为： 20．已知，条件，条件，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据是的充分不必要条件可知，由此即可解答. 【详解】条件，条件， 由是的充分不必要条件，可知若，则一定有， 所以，即实数a的取值范围是． 故答案为：． 三、解答题 21．已知全集． (1)求； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由集合的交集运算即可求解. （2）由集合的补集运算即可求解. 【详解】解：（1）因为集合，集合，所以. （2）因为全集，集合， 所以. 22．已知集合，. (1)若，求实数的取值范围 (2)若，求实数的取值范围 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据集合交集的运算求出参数即可解得. （2）根据集合并集的运算求出参数即可解得. 【详解】（1）因为，，, 又必有，则， 所以或，解得或. （2）由题，，即， 则，解得. 23．设，，，是的必要条件，但不是的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】根据充分必要条件的定义得到关于的不等式组，解出即可. 【详解】解：，，， 由题意可知，是的必要不充分条件， 故， 故，解之得， 故实数的取值范围是． 24．已知集合 ， ． (1)求 ； (2)若 ，且 ，求实数 的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)分别求出集合A与B中x与y的范围，然后确定出集合A与B，再根据交集的定义即可求解. （2）根据集合C为A的子集即可求出m的范围． 【详解】解：（1）根据题意解得: ，， 所以 . （2）因为 ，所以 ， 又因为 ，所以有：， 解得： . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027版河南省（对口招生）《数学二轮讲练测》紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套讲义、课件和AB卷习题，满足多样化学习需求。 2027年河南省（对口招生）《数学二轮讲练测》 专题01 集合与充要条件 考查内容 考查详情 年份及题号 题型 分值 集合 元素、集合的关系 2026-1 单选 3 交集 2025-1 单选 3 元素、集合的关 2024-1 单选 3 并集、补集 2024-11 填空 3 元素、集合的关系 2023-1 单选 3 充要条件 充分必要条件 2025-8 单选 3 既非充分又非必要条件 2024-8 单选 3 充分条件 2022-1 单选 3 命题轨迹透视： 集合与充要条件几乎每年都有涉及，分值一般在6分左右，题型主要集中在选择、填空题。内容主要是集合的概念与关系、集合的运算、充要条件通常与三角函数、不等式等知识点结合考查。 1．（2026年·河南对口升学高考第1题）集合A={微信，微博，QQ，钉钉}，集合B={QQ}，集合C={豆包}，则正确关系式为（ ） A. B∈A B. C∈A C. B⊆A D. C⊆A 2．（2025年·河南对口升学高考第1题）设集合，集合，则集合（ ） A. B. C. D. 3．（2025年·河南对口升学高考第8题）在中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 4．（2024年·河南对口升学高考第1题）已知集合，下列说法错误的（ ） A. B. C. D. 5．（2024年·河南对口升学高考第8题）在空间中，“两直线互相垂直”是“两直线相交”的（ ） A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 6．（2024年·河南对口升学高考第11题）设全集U是所有小写英文字母组成的集合，，则_________． （一）集合的概念及表示方法 一组对象的总体构成一个集合． 1．集合元素的三个特征：确定性、无序性、互异性． 2．集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法. 3．元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为 ∉. 4．五个特定的集合及其关系图： 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(N＋) 　 Z Q R （二）集合之间的关系 类别 文字语言 图形语言 符号表示 子集  集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,就说这两个集合有　包含　关系,称集合A为集合B的子集  　A⊆B或B⊇A 真子集  如果集合A⊆B,但存在元素x∈B,且x∉A,称集合A是集合B的真子集  A⫋B或B⫌A  相等 集合A与集合B中的所有元素都相同 A＝B 注意：(1)空集用 ∅表示． (2)若集合A中含有n个元素，则其子集的个数为2n，真子集的个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2. (3)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． (4)若A⊆B，B⊆C，则A⊆C． （三）集合的运算 符号 语言 交集A∩B 并集A∪B 补集∁UA 图形 语言 意义 A∩B＝{x|x∈A且x∈B} A∪B＝{x|x∈A或x∈B} ∁UA＝{x|x∈U且x∉A} （四）充要条件 1.充分必要条件 充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的 充分　条件，q是p的 必要　条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且qp p是q的必要不充分条件 pq且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 pq且qp 一、选择题 1．已知是所有偶数组成的集合，则（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 3．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知集合，，则（   ） A．2 B． C． D． 5．设，则“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．非充分非必要条件 6．设集合，则集合A与B之间的关系是（    ） A． B． C． D． 7．集合共有 个子集（    ） A．3 B．6 C．7 D．8 8．“”是“x、y至少有一个为零”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．已知集合，则集合A的真子集个数为（   ） A．15 B．16 C．31 D．32 10．“是等腰三角形”是“是等腰直角三角形”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11．设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 12．设全集，，，则（   ） A． B． C． D． 二、填空题 13．已知集合，若，则 ． 14．已知全集，集合，则 ． 15．若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为 ． 16．已知全集，集合，，则 . 17．“是整数”是“是有理数”的 条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”） 18．已知集合，，且，则的范围为 ． 19．某校高三（1）班有名学生，春季运动会上，有名学生参加了田赛项目，有名学生参加了径赛项目，已知田赛和径赛都参加的有8名同学，则该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为 20．已知，条件，条件，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 . 三、解答题 21．已知全集． (1)求； (2)求． 22．已知集合，. (1)若，求实数的取值范围 (2)若，求实数的取值范围 23．设，，，是的必要条件，但不是的充分条件，求实数的取值范围． 24．已知集合 ， ． (1)求 ； (2)若 ，且 ，求实数 的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $