12.1.2 定理与证明（课件）--2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“定义、定理与证明”核心知识点，通过讨论平行线等概念定义、判断命题真假等导入方式，衔接线段、角等已有知识，搭建从具体到抽象的学习支架，帮助学生理解基本事实与定理的区别及证明步骤。 其亮点在于练习题覆盖基本事实与定理辨析、证明规范等多维度，例题注重严谨推理过程（如证明直角三角形两锐角互余），结合举反例（如“同位角相等”假命题）培养推理意识与几何直观。课堂小结结构化梳理知识，学生能提升逻辑表达能力，教师可直接用于分层教学。

授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 华东师大版（2024）数学八年级上册教学课件 第12章 全等三角形 12.1.2 定理与证明 2026年8月4日 华东师大版八年级上册12.1.2定理与证明同步练习题（含解析） 考查知识点：基本事实与定理的区别、公理与定理的定义、定理的证明步骤、推理依据的选取、几何证明规范、真命题与定理的关系、举反例证假命题、基础几何推理应用 答题时长：40分钟 满分：100分 一、选择题（每题4分，共32分） 1. 下列关于基本事实的说法正确的是（） A. 需要推理证明的命题 B. 人们长期实践总结、公认的真命题 C. 一定是假命题 D. 由定理推导得出 2. 下列属于定理的是（） A. 过两点有且只有一条直线 B. 对顶角相等 C. 延长线段AB D. 两点之间线段最短 3. 几何证明的最终目的是（） A. 猜测命题真假 B. 验证命题是否为真命题 C. 随意推导结论 D. 改写命题形式 4. 下列说法错误的是（） A. 定理一定是真命题 B. 真命题不一定是定理 C. 基本事实不需要证明 D. 假命题可以证明成立 5. 证明几何命题时，推理每一步的依据不能是（） A. 基本事实 B. 定理 C. 个人猜测 D. 已知条件 6. “同角的余角相等”属于（） A. 基本事实 B. 定理 C. 假命题 D. 疑问句 7. 要说明一个真命题成立，必须进行（） A. 举一个例子 B. 严格推理证明 C. 举反例 D. 口头判断 8. 下列命题中，不能作为推理依据的是（） A. 两直线平行，同位角相等 B. 相等的角是对顶角 C. 垂线段最短 D. 两点确定一条直线 二、填空题（每题4分，共24分） 9. 经过证明的________叫做定理，定理可以作为________的依据。 10. 基本事实是无需________，被大家公认的真命题。 11. 证明一个命题的步骤：根据题意画图、写出________和________、写出证明过程。 12. 假命题无法通过推理证明成立，只需通过________即可推翻假命题。 13. “两直线平行，内错角相等”是________（填“定理”或“基本事实”）。 14. 所有定理都是________命题，但真命题不一定都是定理。 三、解答题（共44分） 15. 区分下列命题是基本事实、定理还是一般命题（16分） （1）两点之间，线段最短 （2）对顶角相等 （3）等角的补角相等 （4）相等的角是同位角 16. 补全证明过程及推理依据（12分） 已知：$$\angle1+\angle2=180^\circ$$，求证：$$\angle1$$与$$\angle2$$互补。 证明：根据互补的定义，________，所以$$\angle1$$与$$\angle2$$互补（________）。 17. 举反例证明“同位角相等”是假命题（8分） 18. 简单证明命题：同角的补角相等（8分） 四、参考答案与详细解析 选择题解析 1. B 解析：基本事实（公理）是经过长期实践验证、公认无需证明的真命题，是推理的原始依据。 2. B 解析：A、D为基本事实，C不是命题，对顶角相等是经过推理证明的真命题，属于定理。 3. B 解析：几何证明的核心是通过严谨推理，验证命题的真实性，确定是否为真命题。 4. D 解析：假命题本身不成立，无法通过推理证明成立，其余选项说法均正确。 5. C 解析：几何推理每一步依据必须严谨，已知条件、基本事实、定理均可作为依据，个人猜测不能作为推理依据。 6. B 解析：同角的余角相等是经过严格推理证明的真命题，属于几何常用定理。 7. B 解析：举例只能辅助理解，真命题必须通过完整、严谨的推理证明才能判定成立。 8. B 解析：相等的角是对顶角是假命题，假命题不能作为几何推理的依据，其余均为真命题、可作依据。 填空题答案 9. 真命题；推理证明 10. 证明 11. 已知；求证 12. 举反例 13. 定理 14. 真 解答题解析 15. 解：（1）基本事实；（2）定理；（3）定理；（4）一般假命题。 16. 解：证明：根据互补的定义，$$\because\angle1+\angle2=180^\circ$$，所以$$\angle1$$与$$\angle2$$互补（互补角的定义）。 17. 解：反例：两条不平行的直线被第三条直线所截，形成的同位角不相等。因此可证明“同位角相等”是假命题。 18. 解：已知：$$\angle1+\angle2=180^\circ$$，$$\angle1+\angle3=180^\circ$$，求证：$$\angle2=\angle3$$。 证明：$$\because\angle2=180^\circ-\angle1$$，$$\angle3=180^\circ-\angle1$$（补角定义），$$\therefore\angle2=\angle3$$，即同角的补角相等。 核心知识点总结：1. 基本事实：无需证明、公认的真命题，是推理的基础；2. 定理：经过严格证明的真命题，可作为推理依据；3. 证明规范：明确已知、求证，依据公理、定理逐步推理；4. 真假判定：真命题需证明，假命题只需举反例；5. 本节是几何逻辑推理入门，是后续几何证明题的核心基础。 我们已经学过线段、角、平行线等许多名词，我们需要用不同的语句来说明这些名词各自所包含的确切意义. 例如：我们用“在同一平面内不相交的两条直线”来说明“平行线”所包含的意义，这样的语句叫做这些名词的定义. 讨论：你能举出其他类似的例子吗? 定义、定理与证明 1 知识点1 定义 1.下列语句中，是定义的是( ) D A.点到点的距离是 B.两点之间线段最短 C.直角都相等 D.有两条边相等的三角形是等腰三角形 返回 举一反三 3 讨论：判断下列命题哪些是真命题? 哪些是假命题? (1) 内错角相等,两直线平行； (2) 如果两个角互补，那么它们是邻补角； (3) 如果 | a | = | b |，那么 a = b； (4) 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行； (5) 两点确定一条直线. 真命题 假命题 假命题 真命题 真命题 (4)(5)是公认的真命题. (4) 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行； (5) 两点确定一条直线. 基本事实：我们将这些命题视为基本事实，它们是我们在继续学习过程中用来判断其他命题真假的原始依据，即出发点. 思考：你能举例说出几个学过的基本事实吗? 2. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 1. 两点之间线段最短. 3. 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 (简述为：同位角相等，两直线平行). 知识点2 基本事实和定理 2.“等角的补角相等”是一个( ) B A.基本事实 B.定理 C.假命题 D.定义 返回 举一反三 7 3.下列命题：①对顶角相等；②两点确定一条直线；③两直线平行，内错 角相等；④锐角都相等；⑤同一平面内，过一点有且只有一条直线与已 知直线垂直.其中，是基本事实的是______，是定理的是______.（填序号） ②⑤ ①③ 返回 举一反三 8 (1) 内错角相等,两直线平行 定理： 数学中，有些命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理. 真命题 “内错角相等,两直线平行”这条定理就是在“同位角相等，两直线平行”这个基本事实的基础上推理而出的，它又可以作为判定平行线的依据. （1）一位同学在钻研数学题时发现： 2 + 1 = 3， 2×3 + 1 = 7， 2×3×5 + 1 = 31， 2×3×5×7 + 1 = 211， 于是，他根据上面的结果并利用质数表得出结论：从质数 2 开始，排在前面的任意多个质数的乘积加1一定也是质数. 他的结论正确吗？ 试一试：计算一下 2×3×5×7×11 + 1 与2×3×5×7×11×13 + 1，你发现了什么？ 结果都是质数. 思考 (2) 如图，一位同学在画图时发现：三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部，于是他得出结论：任何一个三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部. 他的结论正确吗？ 不正确. 如钝角三角形. （3）我们曾经通过计算四边形、五边形、六边形、七边形等的内角和，得到一个结论：n 边形的内角和等于(n - 2)×180°. 这个结论正确吗？是否有一个多边形的内角和不满足这一规律？ 实际上，这是一个正确的结论. 上面的几个例子说明了什么问题？ 通过特殊的事例得到的结论可能正确，也可能不正确. 证明：根据条件、定义以及基本事实、定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明. 探讨归纳 命题 真命题 假命题 基本事实 一般举一个反例即可 定理 基本事实是定理推导的起点，无需证明但被广泛接受为真. 定理是命题和基本事实的逻辑延伸，通过证明得到的真命题. 定义，命题，基本事实，定理之间的区别与联系： 定义是命题、基本事实和定理的基础，明确了它们的讨论范围. 定义 归纳总结 证实其他命题的正确性 推理 推理的过程叫证明 经过证明的真命题叫定理 定义、基本事实 一些条件 ＋ 归纳总结 例1 证明命题：直角三角形的两个锐角互余. 已知：如图，在△ABC 中，∠C = 90°. 求证：∠A +∠B = 90°. 证明：∵∠A + ∠B + ∠C = 180°， (三角形的内角和等于 180°)， 又∵∠C = 90° (已知)， ∴∠A +∠B = 180° -∠C = 90°(等式的性质). A B C 典例精析 此命题可以用来作为判断其他命题真假的依据，因此我们把它也作为定理. 方法归纳：演绎推理是研究数学的一个重要方法.除了基本事实与已知的定理外，等式与不等式的有关性质以及等量代换也可以作为推理的依据. 知识点3 证明 4.如图，下列推理错误的是( ) D （第4题） A.， B.， C.， D.， 返回 举一反三 18 （第5题） 5.［教材习题变式］如图， ， ，点，分别在，上， . 求证： .完成下面的推理过程. 证明：， （已知）， （________________________________ ____________）. （已知）， （________________________）， 同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 内错角相等，两直线平行 举一反三 19 （___________________________________________________ _______）， （________________________）. 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 两直线平行，同位角相等 返回 举一反三 例2　两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补. b a ( 2 ) 1 ) 3 你能根据图写出此定理的已知和求证吗？ 证明：我们将∠1的同位角记为∠3. ∵ a∥b (已知)， ∴∠1 =∠3 (两直线平行，同位角相等).　 已知：如图，直线 a∥b，∠1 与∠2 是同旁内角. 求证：∠1 + ∠2 = 180°. ∴ ∠1 + ∠2=180°(等量代换). 又∵∠3+∠2=180°(邻补角的定义)， 典例精析 6. 如图，有如下四个论断： ，，平分，平分 . 举一反三 22 （1）将其中三个论断作为条件，余下一个作为结论，构成一个命题， 正确的命题有哪些？ 解：如果①②③，那么④；如果①②④，那么③；如果①③④，那么②； 如果②③④，那么①. 举一反三 23 （2）请你从上述命题中选择一个写出已知、求证并进行证明. 解：已知：，，平分 ， 求证：平分 . 举一反三 24 证明：如图， ， ， 即 ， 举一反三 25 ，， . 平分 ， ， ， 平分 .（答案不唯一） 返回 举一反三 7.如图，将 的三边分别向两边延长，并在每 两条延长线上任取两点连结起来，又得到了三个新 的三角形.求证： . 证明： ， . 同理可得， . . 返回 举一反三 27 定义、定理与证明 基本事实 定理的概念 证明 步骤：(1) 根据题意作出图形； (2) 写出已知和求证； (3) 写出证明的过程 概念 定义 课堂小结 谢谢观看 THANKS $