2.9《圆的面积（二）》（5个考点）（讲义）（讲义）-2026-2027学年北师大版六年级数学上册

本讲义聚焦圆的面积计算及应用核心知识点，构建从基础应用到综合拓展的学习支架，涵盖已知半径直接求面积、已知周长反推半径求面积、三角形割补推导面积公式、多圆面积大小对比、圆与组合图形面积综合计算五个递进考点。 资料以“数学眼光”引导学生通过三角形割补推导感知几何直观，以“数学思维”训练多圆面积对比中的推理意识，以“数学语言”规范组合图形计算的模型表达。典型例题与分层练习结合，课中辅助教师突破重难点，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

北师大版六年级数学上册讲义 第二单元2.9《圆的面积（二）》（5个考点） 考点 1：已知半径直接求圆面积的实际应用 【核心知识】 1.基础公式：圆面积，已知半径可直接代入计算； 2.生活场景：喷水灌溉、圆形场地占地等问题，喷水距离、场地半径就是公式里的； 3.运算细节：先算，再和相乘，日常取值 3.14。 【方法点拨】 1.审题定位：找到题目里代表半径的长度，不要误把直径当作半径代入； 2.计算顺序：先平方后乘，杜绝把算成的常见错误； 3.单位匹配：半径单位是米，面积单位就是平方米，注意书写规范。 【典型例题】 例：公园圆形喷水池半径为 5 米，它的占地面积是多少？（取 3.14） 分析：直接套用半径求面积公式，先算半径平方再乘。 详解 答案：占地面积78.5平方米 【对应练习】 1.填空：半径为 6m 的圆，先计算（ ），再乘 3.14 得到面积。 分析： 详解： 答案：36 2.判断：半径 3cm 的圆，面积列式为（ ） 分析：面积公式需要半径平方，正确式子是 详解：原式只算了，漏掉平方，式子错误 答案：× 3.简答：已知半径求圆面积的核心公式是什么？ 分析：基础面积公式 详解：用半径计算圆面积的公式为，代表面积，代表半径，通常取 3.14 答案：核心公式： 4.计算：圆形花圃半径 7 米，求花圃占地面积（取 3.14）。 分析：直接代入计算 详解 答案：花圃面积 153.86 平方米 考点 2：已知周长反推半径再求圆面积 【核心知识】 1.推导链条：圆周长 → 半径 → 再用算面积； 2.适用场景：只给出圆形围栏、围墙的周长，无法直接看到半径长度的实际问题； 3.关键逻辑：必须先通过周长求出半径，才能计算面积，不能直接用周长乘除套用面积公式。 【方法点拨】 1.固定步骤：周长→求半径→半径平方→乘得面积，按步骤分步计算不易出错； 2.易错提醒：不要遗漏 “÷2”，很多同学会直接用误当作半径； 3.验算技巧：算出半径后代回周长公式，核对周长数值是否一致。 【典型例题】 例：圆形花坛周长是 31.4 米，求花坛面积（取 3.14）。 分析：先由周长求半径，再算面积 详解 半径： 面积： 答案：花坛面积78.5平方米 【对应练习】 1.填空：圆周长 62.8cm，半径 =（ ）cm，再计算面积。 分析： 详解： 答案：10 2.判断：已知周长求面积，可以直接用周长乘 3.14 计算（ ） 分析：周长和面积无直接相乘关系，必须先求半径 详解：只知道周长不能直接算面积，要先算出半径再套面积公式，说法错误 答案：× 3.简答：已知圆周长，第一步必须先求出哪个量才能算面积？ 分析：面积公式需要半径，周长不能直接求面积 详解：必须先用周长求出圆的半径，再代入面积公式计算 答案：第一步先求出圆的半径 4.计算：圆形羊圈周长 94.2 米，求羊圈占地面积（取 3.14）。 分析：先求半径，再算面积 详解 半径： 面积： 答案：羊圈占地面积706.5平方米 考点 3：圆面积的三角形割补推导拓展方法 【核心知识】 1.割补操作：把圆形绳垫沿半径剪开拉开，可近似拼成三角形； 2.边长对应关系：三角形的底 = 圆的周长，三角形的高 = 圆的半径； 3.公式推导： ，和原有圆面积公式完全一致； 4.意义拓展：除平行四边形 / 长方形外，三角形也是圆面积推导的有效转化图形。 【方法点拨】 1.化曲为直思想不变：依旧把曲线圆形转化为已学直线图形计算； 2.记忆要点：剪开后三角形底是整圆周长，高是半径，切勿把底记成半周长； 3.结论统一：无论哪种转化方式，最终圆面积公式都是。 【典型例题】 例：用剪开拼三角形的方法，写出半径为 4m 的圆面积推导与计算过程（取 3.14）。 分析：结合三角形底、高与圆的对应关系推导公式再计算 详解 ① 圆剪开拼成三角形：底=，高= ② 三角形面积 ③ 代入： 答案：推导得；面积50.24平方米 【对应练习】 1.填空：圆形剪开拼成近似三角形，底对应圆的（ ），高对应圆的（ ）。 分析：三角形拼法对应关系 详解：底是完整圆的周长，高是圆的半径 答案：周长；半径 2.判断：该拼法得到的圆面积公式和之前不一样（ ） 分析：化简后公式完全相同 详解：三角形面积化简后结果还是，公式相同，说法错误 答案：× 3.简答：三角形面积公式为什么最终化简成？ 分析：代入底、高后约分化简 详解 三角形底=，高=，，分子分母的2相互抵消，化简得到 答案：底为、高为，代入三角形面积公式后分子分母的2约分，化简得 4.计算：半径 5cm 的圆用三角形拼法求面积（取 3.14）。 分析：推导后公式不变，直接计算 详解 答案：面积78.5平方厘米 考点 4：多圆面积大小对比方案辨析 【核心知识】 1.面积规律：圆面积和半径平方成正比，半径扩大 2 倍，面积扩大 4 倍，不是 2 倍； 2.对比逻辑：多个小圆总面积之和，往往小于同直径的一个大圆面积； 3.方案分析：两个直径 4m 小圆总面积 ＜ 一个直径 8m 大圆面积，因为半径翻倍后平方级增长。 【方法点拨】 1.对比技巧：分别算出所有方案的总面积，再横向比较数值大小； 2.规律总结：相同总用料下，单个大圆占地效率高于多个小圆； 3.避坑点：不要凭直径倍数直接判断面积倍数，一定要计算半径平方。 【典型例题】 例：对比方案 A（2 个直径 6m 小圆）、方案 B（1 个直径 12m 大圆），哪个总面积更大？（取 3.14） 分析：分别算出两种方案总面积再比较 详解 方案A：小圆半径 单个小圆面积： 两个总面积： 方案B：大圆半径 大圆面积： ，方案B面积更大 答案：方案B（直径12m的大圆）总面积更大 【对应练习】 1.填空：半径扩大到原来 3 倍，面积扩大到原来（ ）倍。 分析：面积与半径平方成正比， 详解： 答案：9 2.判断：两个直径 5m 的小圆和一个直径 10m 的大圆面积相等（ ） 分析：分别计算对比 详解 小圆半径 2.5m，两个总面积： 大圆半径 5m，面积：，二者不相等，说法错误 答案：× 3.简答：为什么直径翻倍的大圆面积远大于两个小圆之和？ 分析：面积随半径平方增长，不是线性增长 详解 直径翻倍，半径同步翻倍，面积扩大 4 倍；两个相同小圆面积之和仅为单个小圆的 2 倍，4 倍＞2 倍，因此大圆面积更大。 答案：圆面积和半径的平方成正比，直径翻倍后面积扩大 4 倍，两个小圆总面积只等于单个小圆的 2 倍，因此大圆面积更大。 4.计算：对比 2 个直径 2m 小圆和 1 个直径 4m 大圆的面积（取 3.14）。 分析：分别计算总面积再对比 详解 小圆半径：，两个总面积： 大圆半径：，大圆面积： 答案：两个小圆总面积 6.28 平方米，大圆面积 12.56 平方米，大圆面积更大 考点 5：圆与组合图形的面积综合计算 【核心知识】 1.常见组合类型：长方形 + 两侧半圆（运动场）、大圆挖去小圆（圆环类阴影）； 2.拆分思路：把组合图形拆成长方形、完整圆形分别求面积再求和 / 差； 3.圆环要点：大圆半径 = 小圆直径时，先分别确定大小圆半径再相减求阴影面积。 【方法点拨】 1.分步拆解：先拆分基础图形，分别找各自半径、长宽数据； 2.运动场模型：两侧半圆刚好拼成一个整圆，总面积 = 长方形面积 + 整圆面积； 3.挖空模型：阴影面积 = 外圆面积−内空白圆面积。 【典型例题】 例：运动场直道长 60m，两端半圆直径 20m，求占地面积（取 3.14）。 分析：两端半圆拼成完整圆，总面积 = 长方形面积 + 圆形面积 详解 圆半径： 圆形面积： 长方形面积： 总面积： 答案：运动场占地面积 1514 平方米 【对应练习】 1.填空：大圆半径 8cm，小圆半径 4cm，大圆减小圆的阴影面积列式为（ ）。 分析：圆环面积=大圆面积−小圆面积 详解： 答案： 2.判断：运动场两侧半圆需要分开算两个半圆面积，不能合并成整圆（ ） 分析：两个半圆直径相等，拼接刚好是一个完整圆形，可合并计算 详解：左右两个半圆直径相同，合起来是一个完整圆，可以直接算整圆面积简化计算，说法错误 答案：× 3.简答：大圆半径等于小圆直径时，大小圆半径是什么倍数关系？ 分析：直径 =小圆半径，大圆半径 = 小圆直径 详解 设小圆半径为，小圆直径 =，大圆半径 =，因此大圆半径是小圆的 2 倍。 答案：大圆半径是小圆半径的 2 倍 4.计算：直道长 40m，半圆直径 18m 的运动场占地面积（取 3.14）。 分析：长方形 + 整圆面积相加 详解 圆半径： 圆形面积： 长方形面积： 总面积： 答案：运动场占地面积 974.34 平方米 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $北师大版六年级数学上册讲义 第二单元2.9《圆的面积（二）》（5个考点) 考点1：已知半径直接求圆面积的实际应用 【核心知识】 1.基础公式：圆面积S=r2,已知半径r可直接代入计算； 2生活场景：喷水灌溉、圆形场地占地等问题，喷水距离、场地半径就是公式里的： 3.运算细节：先算r2=r×r,再和n相乘，Π日常取值3.14。 【方法点拨】 1.审题定位：找到题耳里代表半径的长度，不要误把直径当作半径代入： 2.计算顺序：先平方后乘Ⅱ，杜绝把2算成2r的常见错误： 3.单位匹配：半径单位是米，面积单位就是平方米，注意书写规范。 【典型例题】 例：公园圆形喷水池半径为5米，它的占地面积是多少？（π取3.14) 【对应练习】 1.填空：半径为6m的圆，先计算r2=()m2,再乘3.14得到面积。 2.判断：半径3cm的圆，面积列式为3.14×3（) 3.简答：已知半径求圆面积的核心公式是什么？ 4.计算：圆形花圃半径7米，求花圃占地面积（π取3.14)。 考点2：已知周长反推半径再求圆面积 【核心知识】 1.推导链条：圆周长C=2Ir→半径r=C÷亚÷2→再用S=Ⅱr2算面积： 2适用场景：只给出圆形围栏、围墙的周长，无法直接看到半径长度的实际问题； 3.关键逻辑：必须先通过周长求出半径，才能计算面积，不能直接用周长乘除套用面积公 式。 第1页共5页 北师大版六年级数学上册讲义 【方法点拨】 1.固定步骤：周长→求半径→半径平方→乘Ⅱ得面积，按步骤分步计算不易出错： 2.易错提醒：不要遗漏“÷2”，很多同学会直接用C÷Ⅱ误当作半径： 3.验算技巧：算出半径后代回周长公式，核对周长数值是否一致。 【典型例题】 例：圆形花坛周长是31.4米，求花坛面积（π取3.14）。 【对应练习】 1.填空：圆周长62.8cm,半径=()cm,再计算面积。 2.判断：已知周长求面积，可以直接用周长乘3.14计算() 3.简答：已知圆周长，第一步必须先求出哪个量才能算面积？ 4.计算：圆形羊圈周长94.2米，求羊圈占地面积（Ⅱ取3.14)。 考点3：圆面积的三角形割补推导拓展方法 【核心知识】 1.割补操作：把圆形绳垫沿半径剪开拉开，可近似拼成三角形： 2.边长对应关系：三角形的底=圆的周长2Πr,三角形的高=圆的半径r: 3.公式推导： SA-底X商=2=r2,和原有圆面积公式完全一致： 2 2 4.意义拓展：除平行四边形/长方形外，三角形也是圆面积推导的有效转化图形。 【方法点拨】 第2页共5页 北师大版六年级数学上册讲义 1.化曲为直思想不变：依旧把曲线圆形转化为已学直线图形计算： 2记忆要点：剪开后三角形底是整圆周长，高是半径，切勿把底记成半周长： 3.结论统一：无论哪种转化方式，最终圆面积公式都是S=Ⅱr2。 【典型例题】 例：用剪开拼三角形的方法，写出半径为4m的圆面积推导与计算过程（π取3.14）。 【对应练习】 1填空：圆形剪开拼成近似三角形，底对应圆的()，高对应圆的()。 2.判断：该拼法得到的圆面积公式和之前S=Ⅱ2不一样() 3.简答：三角形面积公式为什么最终化简成Ⅱ2？ 4.计算：半径5cm的圆用三角形拼法求面积（Ⅱ取3.14)。 考点4：多圆面积大小对比方案辨析 【核心知识】 1.面积规律：圆面积和半径平方成正比，半径扩大2倍，面积扩大4倍，不是2倍： 2对比逻辑：多个小圆总面积之和，往往小于同直径的一个大圆面积： 3.方案分析：两个直径4m小圆总面积<一个直径8m大圆面积，因为半径翻倍后平方级增 长。 【方法点拨】 1.对比技巧：分别算出所有方案的总面积，再横向比较数值大小： 2规律总结：相同总用料下，单个大圆占地效率高于多个小圆： 3.避坑点：不要凭直径倍数直接判断面积倍数，一定要计算半径平方。 第3页共5页 北师大版六年级数学上册讲义 【典型例题】 例：对比方案A(2个直径6m小圆)、方案B(1个直径12m大圆)，哪个总面积更大？ (π取3.14) 【对应练习】 1.填空：半径扩大到原来3倍，面积扩大到原来()倍。 2.判断：两个直径5m的小圆和一个直径10m的大圆面积相等() 3.简答：为什么直径翻倍的大圆面积远大于两个小圆之和？ 4.计算：对比2个直径2m小圆和1个直径4m大圆的面积（π取3.14）。 考点5：圆与组合图形的面积综合计算 【核心知识】 1.常见组合类型：长方形+两侧半圆（运动场）、大圆挖去小圆（圆环类阴影）； 2.拆分思路：把组合图形拆成长方形、完整圆形分别求面积再求和/差： 3圆环要点：大圆半径=小圆直径时，先分别确定大小圆半径再相减求阴影面积。 【方法点拨】 1.分步拆解：先拆分基础图形，分别找各自半径、长宽数据： 2运动场模型：两侧半圆刚好拼成一个整圆，总面积=长方形面积+整圆面积： 3.挖空模型：阴影面积=外圆面积-内空白圆面积。 【典型例题】 例：运动场直道长60m,两端半圆直径20m,求占地面积（π取3.14）。 第4页共5页 北师大版六年级数学上册讲义 【对应练习】 1.填空：大圆半径8cm,小圆半径4cm,大圆减小圆的阴影面积列式为()。 2.判断：运动场两侧半圆需要分开算两个半圆面积，不能合并成整圆() 3.简答：大圆半径等于小圆直径时，大小圆半径是什么倍数关系？ 4.计算：直道长40m,半圆直径18m的运动场占地面积（π取3.14）。 第5页共5页北师大版六年级数学上册讲义 第二单元2.9《圆的面积（二)》(5个考点) 考点1：已知半径直接求圆面积的实际应用 【核心知识】 1.基础公式：圆面积S=r2,已知半径r可直接代入计算； 2生活场景：喷水灌溉、圆形场地占地等问题，喷水距离、场地半径就是公式里的： 3.运算细节：先算r2=r×r,再和m相乘，T日常取值3.14。 【方法点拨】 1.审题定位：找到题目里代表半径的长度，不要误把直径当作半径代入： 2.计算顺序：先平方后乘Ⅱ，杜绝把2算成2r的常见错误： 3.单位匹配：半径单位是米，面积单位就是平方米，注意书写规范。 【典型例题】 例：公园圆形喷水池半径为5米，它的占地面积是多少？（π取3.14） 分析：直接套用半径求面积公式，先算半径平方再乘Ⅱ。 详解 S =3.14×52 =3.14×25 =78.5(m2) 答案：占地面积78.5平方米 【对应练习】 1.填空：半径为6m的圆，先计算r2=( )m2,再乘3.14得到面积。 分析：r2=r×r 详解：6×6=36 答案：36 2.判断：半径3cm的圆，面积列式为3.14×3（ 分析：面积公式需要半径平方，正确式子是3.14×32 详解：原式只算了Ⅱr,漏掉平方，式子错误 答案：× 3.简答：已知半径求圆面积的核心公式是什么？ 第1页共8页 北师大版六年级数学上册讲义 分析：基础面积公式 详解：用半径计算圆面积的公式为S=Ⅱr2,S代表面积，r代表半径，Ⅱ通常取3.14 答案：核心公式：S=mr2 4.计算：圆形花圃半径7米，求花圃占地面积（Ⅱ取3.14）。 分析：直接代入S=Ⅱr2计算 详解 答案：花圃面积153.86平方米 考点2：已知周长反推半径再求圆面积 【核心知识】 1.推导链条：圆周长C=2mr→半径r=C÷Ⅱ÷2→再用S=r2算面积： 2适用场景：只给出圆形围栏、围墙的周长，无法直接看到半径长度的实际问题： 3.关键逻辑：必须先通过周长求出半径，才能计算面积，不能直接用周长乘除套用面积公 式。 【方法点拨】 1固定步骤：周长→求半径半径平方→乘Π得面积，按步骤分步计算不易出错： 2.易错提醒：不要遗漏“÷2”，很多同学会直接用C÷Ⅱ误当作半径： 3.验算技巧：算出半径后代回周长公式，核对周长数值是否一致。 【典型例题】 例：圆形花坛周长是31.4米，求花坛面积（Π取3.14）。 分析：先由周长求半径，再算面积 详解 半径：31.4÷3.14÷2=5(m) 面积： S=3.14×52 =3.14×25 =78.5(m2) 答案：花坛面积78.5平方米 【对应练习】 1.填空：圆周长62.8cm,半径=（ )cm,再计算面积。 第2页共8页 北师大版六年级数学上册讲义 分析：r=C÷Ⅱ÷2 详解：62.8÷3.14÷2=10 答案：10 2.判断：已知周长求面积，可以直接用周长乘3.14计算() 分析：周长和面积无直接相乘关系，必须先求半径 详解：只知道周长不能直接算面积，要先算出半径再套面积公式，说法错误 答案：X 3.简答：已知圆周长，第一步必须先求出哪个量才能算面积？ 分析：面积公式需要半径，周长不能直接求面积 详解：必须先用周长求出圆的半径，再代入面积公式计算 答案：第一步先求出圆的半径 4.计算：圆形羊圈周长94.2米，求羊圈占地面积（Ⅱ取3.14)。 分析：先求半径，再算面积 详解 半径：94.2÷3.14÷2=15(m) 面积： S=3.14×152 =3.14×225 =706.5(m2) 答案：羊圈占地面积706.5平方米 考点3：圆面积的三角形割补推导拓展方法 【核心知识】 1割补操作：把圆形绳垫沿半径剪开拉开，可近似拼成三角形： 2.边长对应关系：三角形的底=圆的周长2r,三角形的高=圆的半径r: 3.公式推导： SA=底x商=2=㎡2，和原有圆面积公式完全一致： 2 2 4.意义拓展：除平行四边形/长方形外，三角形也是圆面积推导的有效转化图形。 【方法点拨】 1.化曲为直思想不变：依旧把曲线圆形转化为已学直线图形计算： 2.记忆要点：剪开后三角形底是整圆周长，高是半径，切勿把底记成半周长： 第3页共8页 北师大版六年级数学上册讲义 3.结论统一：无论哪种转化方式，最终圆面积公式都是S=Π2。 【典型例题】 例：用剪开拼三角形的方法，写出半径为4m的圆面积推导与计算过程（Ⅱ取3.14）。 分析：结合三角形底、高与圆的对应关系推导公式再计算 详解 ①圆剪开拼成三角形：底=2亚r,高=r ②三角形面积S=x商=2mrT=nr2 2 2 ③代入r=4: S =3.14×42 =3.14×16 =50.24(m2) 答案：推导得S=Ⅱr2;面积50.24平方米 【对应练习】 1.填空：圆形剪开拼成近似三角形，底对应圆的( )，高对应圆的()。 分析：三角形拼法对应关系 详解：底是完整圆的周长，高是圆的半径 答案：周长；半径 2.判断：该拼法得到的圆面积公式和之前S=Ⅱ2不一样() 分析：化简后公式完全相同 详解：三角形面积化简后结果还是Ⅱ2，公式相同，说法错误 答案：× 3.简答：三角形面积公式为什么最终化简成Ⅱ2？ 分析：代入底、高后约分化简 详解 三角形底=2r,高=r,S=2xD,分子分母的2相互抵消，化简得到S=mr2 2 答案：底为2Ⅱr、高为r,代入三角形面积公式后分子分母的2约分，化简得S=Ⅱr2 4.计算：半径5cm的圆用三角形拼法求面积（π取3.14）。 分析：推导后公式不变，直接计算 详解 第4页共8页 北师大版六年级数学上册讲义 =3.14×52 =3.14×25 =78.5(cm2) 答案：面积78.5平方厘米 考点4：多圆面积大小对比方案辨析 【核心知识】 1.面积规律：圆面积和半径平方成正比，半径扩大2倍，面积扩大4倍，不是2倍： 2.对比逻辑：多个小圆总面积之和，往往小于同直径的一个大圆面积： 3.方案分析：两个直径4m小圆总面积<一个直径8m大圆面积，因为半径翻倍后平方级增 长。 【方法点拨】 1.对比技巧：分别算出所有方案的总面积，再横向比较数值大小： 2.规律总结：相同总用料下，单个大圆占地效率高于多个小圆： 3.避坑点：不要凭直径倍数直接判断面积倍数，一定要计算半径平方。 【典型例题】 例：对比方案A(2个直径6m小圆)、方案B(1个直径12m大圆)，哪个总面积更大？ (Π取3.14) 分析：分别算出两种方案总面积再比较 详解 方案A:小圆半径6÷2=3m 单个小圆面积：3.14×32=28.26m2 两个总面积：28.26×2=56.52m2 方案B:大圆半径12÷2=6m 大圆面积：3.14×62=113.04m2 113.04>56.52,方案B面积更大 答案：方案B（直径12m的大圆)总面积更大 【对应练习】 1.填空：半径扩大到原来3倍，面积扩大到原来()倍。 分析：面积与半径平方成正比，32=9 详解：3×3=9 第5页共8页 北师大版六年级数学上册讲义 答案：9 2.判断：两个直径5m的小圆和一个直径10m的大圆面积相等() 分析：分别计算对比 详解 小圆半径2.5m,两个总面积：2×3.14×2.5=39.25m2 大圆半径5m,面积：3.14×5子=78.5m2,二者不相等，说法错误 答案：× 3.简答：为什么直径翻倍的大圆面积远大于两个小圆之和？ 分析：面积随半径平方增长，不是线性增长 详解 直径翻倍，半径同步翻倍，面积扩大4倍：两个相同小圆面积之和仅为单个小圆的2倍，4倍>2 倍，因此大圆面积更大。 答案：圆面积和半径的平方成正比，直径翻倍后面积扩大4倍，两个小圆总面积只等于单个小圆的2 倍，因此大圆面积更大。 4.计算：对比2个直径2m小圆和1个直径4m大圆的面积（π取3.14）。 分析：分别计算总面积再对比 详解 小圆半径：2÷2=1m,两个总面积：2×3.14×72=6.28m2 大圆半径：4÷2=2m,大圆面积：3.74×22=72.56m2 12.56>6.28 答案：两个小圆总面积6.28平方米，大圆面积12.56平方米，大圆面积更大 考点5：圆与组合图形的面积综合计算 【核心知识】 1.常见组合类型：长方形+两侧半圆（运动场）、大圆挖去小圆（圆环类阴影）： 2拆分思路：把组合图形拆成长方形、完整圆形分别求面积再求和/差； 3圆环要点：大圆半径=小圆直径时，先分别确定大小圆半径再相减求阴影面积。 【方法点拨】 1.分步拆解：先拆分基础图形，分别找各自半径、长宽数据： 2.运动场模型：两侧半圆刚好拼成一个整圆，总面积=长方形面积+整圆面积： 3.挖空模型：阴影面积=外圆面积-内空白圆面积。 第6页共8页 北师大版六年级数学上册讲义 【典型例题】 例：运动场直道长60m,两端半圆直径20m,求占地面积（π取3.14）。 分析：两端半圆拼成完整圆，总面积=长方形面积+圆形面积 详解 圆半径：20÷2=10m 圆形面积：3.14×102=314m2 长方形面积：60×20=1200m2 总面积：1200+374=7514m2 答案：运动场占地面积1514平方米 【对应练习】 1.填空：大圆半径8cm,小圆半径4cm,大圆减小圆的阴影面积列式为()。 分析：圆环面积=大圆面积-小圆面积 详解：3.14×82-3.14×42 答案：3.14×82-3.14×42 2.判断：运动场两侧半圆需要分开算两个半圆面积，不能合并成整圆() 分析：两个半圆直径相等，拼接刚好是一个完整圆形，可合并计算 详解：左右两个半圆直径相同，合起来是一个完整圆，可以直接算整圆面积简化计算，说法错误 答案：× 3简答：大圆半径等于小圆直径时，大小圆半径是什么倍数关系？ 分析：直径=2×小圆半径，大圆半径=小圆直径 详解 设小圆半径为r,小圆直径=2T,大圆半径=2T,因此大圆半径是小圆的2倍。 答案：大圆半径是小圆半径的2倍 4.计算：直道长40m,半圆直径18m的运动场占地面积（π取3.14）。 分析：长方形+整圆面积相加 详解 圆半径：18÷2=9m 圆形面积：3.14×92=254.34m2 长方形面积：40×18=720m2 总面积：720+254.34=974.34m2 第7页共8页 北师大版六年级数学上册讲义 答案：运动场占地面积974.34平方米 第8页共8页北师大版六年级数学上册讲义 第二单元2.9《圆的面积（二）》（5个考点） 考点 1：已知半径直接求圆面积的实际应用 【核心知识】 1.基础公式：圆面积，已知半径可直接代入计算； 2.生活场景：喷水灌溉、圆形场地占地等问题，喷水距离、场地半径就是公式里的； 3.运算细节：先算，再和相乘，日常取值 3.14。 【方法点拨】 1.审题定位：找到题目里代表半径的长度，不要误把直径当作半径代入； 2.计算顺序：先平方后乘，杜绝把算成的常见错误； 3.单位匹配：半径单位是米，面积单位就是平方米，注意书写规范。 【典型例题】 例：公园圆形喷水池半径为 5 米，它的占地面积是多少？（取 3.14） 【对应练习】 1.填空：半径为 6m 的圆，先计算（ ），再乘 3.14 得到面积。 2.判断：半径 3cm 的圆，面积列式为（ ） 3.简答：已知半径求圆面积的核心公式是什么？ 4.计算：圆形花圃半径 7 米，求花圃占地面积（取 3.14）。 考点 2：已知周长反推半径再求圆面积 【核心知识】 1.推导链条：圆周长 → 半径 → 再用算面积； 2.适用场景：只给出圆形围栏、围墙的周长，无法直接看到半径长度的实际问题； 3.关键逻辑：必须先通过周长求出半径，才能计算面积，不能直接用周长乘除套用面积公式。 【方法点拨】 1.固定步骤：周长→求半径→半径平方→乘得面积，按步骤分步计算不易出错； 2.易错提醒：不要遗漏 “÷2”，很多同学会直接用误当作半径； 3.验算技巧：算出半径后代回周长公式，核对周长数值是否一致。 【典型例题】 例：圆形花坛周长是 31.4 米，求花坛面积（取 3.14）。 【对应练习】 1.填空：圆周长 62.8cm，半径 =（ ）cm，再计算面积。 2.判断：已知周长求面积，可以直接用周长乘 3.14 计算（ ） 3.简答：已知圆周长，第一步必须先求出哪个量才能算面积？ 4.计算：圆形羊圈周长 94.2 米，求羊圈占地面积（取 3.14）。 考点 3：圆面积的三角形割补推导拓展方法 【核心知识】 1.割补操作：把圆形绳垫沿半径剪开拉开，可近似拼成三角形； 2.边长对应关系：三角形的底 = 圆的周长，三角形的高 = 圆的半径； 3.公式推导： ，和原有圆面积公式完全一致； 4.意义拓展：除平行四边形 / 长方形外，三角形也是圆面积推导的有效转化图形。 【方法点拨】 1.化曲为直思想不变：依旧把曲线圆形转化为已学直线图形计算； 2.记忆要点：剪开后三角形底是整圆周长，高是半径，切勿把底记成半周长； 3.结论统一：无论哪种转化方式，最终圆面积公式都是。 【典型例题】 例：用剪开拼三角形的方法，写出半径为 4m 的圆面积推导与计算过程（取 3.14）。 【对应练习】 1.填空：圆形剪开拼成近似三角形，底对应圆的（ ），高对应圆的（ ）。 2.判断：该拼法得到的圆面积公式和之前不一样（ ） 3.简答：三角形面积公式为什么最终化简成？ 4.计算：半径 5cm 的圆用三角形拼法求面积（取 3.14）。 考点 4：多圆面积大小对比方案辨析 【核心知识】 1.面积规律：圆面积和半径平方成正比，半径扩大 2 倍，面积扩大 4 倍，不是 2 倍； 2.对比逻辑：多个小圆总面积之和，往往小于同直径的一个大圆面积； 3.方案分析：两个直径 4m 小圆总面积 ＜ 一个直径 8m 大圆面积，因为半径翻倍后平方级增长。 【方法点拨】 1.对比技巧：分别算出所有方案的总面积，再横向比较数值大小； 2.规律总结：相同总用料下，单个大圆占地效率高于多个小圆； 3.避坑点：不要凭直径倍数直接判断面积倍数，一定要计算半径平方。 【典型例题】 例：对比方案 A（2 个直径 6m 小圆）、方案 B（1 个直径 12m 大圆），哪个总面积更大？（取 3.14） 【对应练习】 1.填空：半径扩大到原来 3 倍，面积扩大到原来（ ）倍。 2.判断：两个直径 5m 的小圆和一个直径 10m 的大圆面积相等（ ） 3.简答：为什么直径翻倍的大圆面积远大于两个小圆之和？ 4.计算：对比 2 个直径 2m 小圆和 1 个直径 4m 大圆的面积（取 3.14）。 考点 5：圆与组合图形的面积综合计算 【核心知识】 1.常见组合类型：长方形 + 两侧半圆（运动场）、大圆挖去小圆（圆环类阴影）； 2.拆分思路：把组合图形拆成长方形、完整圆形分别求面积再求和 / 差； 3.圆环要点：大圆半径 = 小圆直径时，先分别确定大小圆半径再相减求阴影面积。 【方法点拨】 1.分步拆解：先拆分基础图形，分别找各自半径、长宽数据； 2.运动场模型：两侧半圆刚好拼成一个整圆，总面积 = 长方形面积 + 整圆面积； 3.挖空模型：阴影面积 = 外圆面积−内空白圆面积。 【典型例题】 例：运动场直道长 60m，两端半圆直径 20m，求占地面积（取 3.14）。 【对应练习】 1.填空：大圆半径 8cm，小圆半径 4cm，大圆减小圆的阴影面积列式为（ ）。 2.判断：运动场两侧半圆需要分开算两个半圆面积，不能合并成整圆（ ） 3.简答：大圆半径等于小圆直径时，大小圆半径是什么倍数关系？ 4.计算：直道长 40m，半圆直径 18m 的运动场占地面积（取 3.14）。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $