第88练 等差数列与等比数列的应用《数学》拓展模块一（高教版第三版）《一课一练》（原卷版+解析版）

**基本信息** 中职数学《一课一练》以三阶分层设计构建“基础巩固-综合应用-拓展深化”路径，通过生活情境与数学文化题，培养抽象能力、运算能力及模型意识，适配同步教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|等差数列、等比数列基本公式应用|以古街挂灯笼、蔗糖厂产量等生活情境题，强化概念理解| |综合应用|公式综合运算与实际问题求解|通过公司奖金分配、筑堤人数等题，提升推理能力| |拓展深化|数学文化与复杂情境应用|结合《孙子算经》《九章算术》等经典问题，发展创新意识|

中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》拓展模块一（高教版第三版） 数 列 第 88 练 等差数列与等比数列的应用 一、单项选择题 1．某古街元宵节挂灯笼，第一座牌楼下挂6盏灯笼，从第二座起，每座牌楼下比前一座多挂2盏，一共挂了10座牌楼.那么这10座牌楼共挂了（   ）盏灯笼. A．24 B．150 C．166 D．176 2．某广西蔗糖厂年产量每年增长，若年产量为吨，则年产量约为（    ）（参考数据：） A．吨 B．吨 C．吨 D．吨 3．《孙子算经》中有如下类似问题：有5个人分600个橘子，他们各自分得的橘子数成等差数列，若最后一人分得180个橘子，则该数列的公差是（   ） A．30 B．40 C．50 D．60 4．我国古代数学名著《算法统宗》是明代数学家程大位（年）所著．程少年时，读书极为广博，对书法和数学颇感兴趣.岁起便在长江中下游一带经商，因商业计算的需要，他随时留心数学，遍访名师，搜集很多数学书籍，刻苦钻研，时有心得，终于在他岁时，完成了《算法统宗》这本著作．该书中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”根据诗词的意思，可得塔的最底层共有灯（    ） A．盏 B．盏 C．3盏 D．1盏 5．我国数学巨著《九章算术》中有如下问题：今有女子善织，日自倍，五日织五尺．问日织几何？其大意为：有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的倍，已知她天共织布尺，问这位女子每天分别织布多少？根据上述问题的已知条件，若该女子共织布尺，则这位女子织布的天数是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题 6．某公司超额完成上一年度制定的销量计划，准备在年终奖的基础上再增设20个“幸运奖”，随机抽取“幸运奖”，按照名次，发放的奖金数由多到少依次成等差数列.已知第3名对应的“幸运奖”奖金为1500元，前8名对应的“幸运奖”奖金共11400元，则（    ） A．第1名对应的“幸运奖”奖金为1600元 B．第1名对应的“幸运奖”奖金为1650元 C．该公司共需准备“幸运奖”奖金22000元 D．该公司共需准备“幸运奖”奖金22500元 7．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．则下列说法正确的是（    ） A．此人第三天走了二十四里路 B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里 C．此人第二天走的路程占全程的 D．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍 8．朱世杰是历史上伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升.”其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天比前一天多派7人，官府向修筑堤坝的每人每天发放大米3升.”则下列结论正确的有（    ） A．将这1864人派谴完需要16天 B．第十天派往筑堤的人数为134 C．官府前6天共发放1467升大米 D．官府前6天比后6天少发放1260升大米 三、填空题 9．一个屋顶的某一斜面成等腰梯形，已知最上面一层铺了块瓦片，且往下每一层多铺一块，若斜面上共铺了层瓦片，则共铺了_________块瓦片. 10．假设某市年新建住房万平方米，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积均比上一年增加万平方米．那么该市在_________年新建住房的面积开始大于万平方米． 11．现有一根长为243米的圆柱形木棒，第1天截取木棒长度的，从第2天开始每天截取前一天剩下长度的，则第6天截取的长度是_________米. 12．某装修公司拟在一高大建筑物的墙面上嵌入彩色瓷砖美化墙面，最上面一排嵌入2块，往下第二排嵌入4块，第三排嵌入8块，以此类推，，共放了8层，这墙面上嵌入的彩色瓷砖共有__________块． 四、解答题 13．某林场放置的一堆木材，最上层3根，最下层10根，共8层．试问，这堆木材共有多少根？ 14．如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，以正方形ABCD的对角线的一半作为边长构成第一个新正方形，再取新正方形对角线的一半作为边长构成第二个新正方形，依此进行下去，直至构成第n个新正方形，这n个新构成的正方形的面积依次记作．求：    (1)的值； (2)新构成的前10个正方形的面积和． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》拓展模块一（高教版第三版） 数 列 第 88 练 等差数列与等比数列的应用 一、单项选择题 1．某古街元宵节挂灯笼，第一座牌楼下挂6盏灯笼，从第二座起，每座牌楼下比前一座多挂2盏，一共挂了10座牌楼.那么这10座牌楼共挂了（   ）盏灯笼. A．24 B．150 C．166 D．176 【答案】B 【分析】根据题意结合等差数列的求和公式即可得解. 【详解】由题意可知，每座牌楼下挂的灯笼构成一个首项为，公差为的等差数列， 则， 故选：. 2．某广西蔗糖厂年产量每年增长，若年产量为吨，则年产量约为（    ）（参考数据：） A．吨 B．吨 C．吨 D．吨 【答案】C 【分析】根据等比数列的通项公式求值即可. 【详解】由年产量每年增长， 所以年后每一年的产量成等比数列， 首项为，公比， 则2025年到2028年经过3年， 则产量为吨， 故选：C. 3．《孙子算经》中有如下类似问题：有5个人分600个橘子，他们各自分得的橘子数成等差数列，若最后一人分得180个橘子，则该数列的公差是（   ） A．30 B．40 C．50 D．60 【答案】A 【分析】根据题意，结合等差数列的前n项和公式，先求得首项，继而求得公差. 【详解】由题意，设他们各自分得的橘子数成等差数列， 则，， 所以，解得， 所以公差. 故选：A. 4．我国古代数学名著《算法统宗》是明代数学家程大位（年）所著．程少年时，读书极为广博，对书法和数学颇感兴趣.岁起便在长江中下游一带经商，因商业计算的需要，他随时留心数学，遍访名师，搜集很多数学书籍，刻苦钻研，时有心得，终于在他岁时，完成了《算法统宗》这本著作．该书中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”根据诗词的意思，可得塔的最底层共有灯（    ） A．盏 B．盏 C．3盏 D．1盏 【答案】A 【分析】将每层塔的灯数看成等比数列，再由等比数列的前项和公式列方程求解出顶层的灯的数量，再由等比数列的通项公式求值即可. 【详解】由题意，设这个塔顶层有盏灯， 则每层塔的灯数为一个首项为，公比为2的等比数列， 且其前7项和为，所以， 解得，所以这个塔的最底层有（盏）． 故选：A. 5．我国数学巨著《九章算术》中有如下问题：今有女子善织，日自倍，五日织五尺．问日织几何？其大意为：有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的倍，已知她天共织布尺，问这位女子每天分别织布多少？根据上述问题的已知条件，若该女子共织布尺，则这位女子织布的天数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等比数列的定义结合题意得出每天的织布数构成公比为的等比数列，结合等比数列的求和公式即可得解. 【详解】根据题意可知，每天的织布数构成公比为的等比数列， 因为天共织布尺，所以，解得尺， 若共织布尺，则，解得， 这位女子织布的天数是. 故选：. 二、多项选择题 6．某公司超额完成上一年度制定的销量计划，准备在年终奖的基础上再增设20个“幸运奖”，随机抽取“幸运奖”，按照名次，发放的奖金数由多到少依次成等差数列.已知第3名对应的“幸运奖”奖金为1500元，前8名对应的“幸运奖”奖金共11400元，则（    ） A．第1名对应的“幸运奖”奖金为1600元 B．第1名对应的“幸运奖”奖金为1650元 C．该公司共需准备“幸运奖”奖金22000元 D．该公司共需准备“幸运奖”奖金22500元 【答案】AD 【分析】建立等差数列模型，设第1名，第2名，…，第20名所得“幸运奖”奖金分别为元，元，…，元，根据等差数列的通项公式和求和公式可求出结果. 【详解】设第1名，第2名，…，第20名所得“幸运奖”奖金分别为元，元，…，元， 等差数列的前n项和为，公差为d， 依题意可知，， 解得，，则， 故第1名对应的“幸运奖”奖金为1600元，该公司共需准备“幸运奖”奖金22500元. 故选：AD 7．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．则下列说法正确的是（    ） A．此人第三天走了二十四里路 B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里 C．此人第二天走的路程占全程的 D．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍 【答案】BD 【分析】根据题意，得到此人每天所走路程构成以为公比的等比数列，记该等比数列为，公比为，前项和为，根据题意求出首项，再由等比数列的求和公式和通项公式，逐项判断，即可得出结果. 【详解】由题意，此人每天所走路程构成以为公比的等比数列， 记该等比数列为，公比为，前项和为， 则，解得， 所以此人第三天走的路程为，故A错； 此人第一天走的路程比后五天走的路程多里，故B正确； 此人第二天走的路程为，故C错； 此人前三天走的路程为，后三天走的路程为，，即前三天路程之和是后三天路程之和的8倍，D正确； 故选：BD. 【点睛】本题主要考查等比数列的应用，熟记等比数列的通项公式与求和公式即可，属于常考题型. 8．朱世杰是历史上伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升.”其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天比前一天多派7人，官府向修筑堤坝的每人每天发放大米3升.”则下列结论正确的有（    ） A．将这1864人派谴完需要16天 B．第十天派往筑堤的人数为134 C．官府前6天共发放1467升大米 D．官府前6天比后6天少发放1260升大米 【答案】ACD 【分析】记数列为第n天派遣的人数，数列为第n天获得的大米升数，依题意可得是以64为首项，7为公差的等差数列，是以192为首项，21为公差的等差数列，再根据等差数列的通项公式及前项和公式计算可得； 【详解】解：记数列为第n天派遣的人数，数列为第n天获得的大米升数，则是以64为首项，7为公差的等差数列，即，是以192为首项，21为公差的等差数列，即，所以，B不正确. 设第k天派遣完这1864人，则，解得（负值舍去），A正确； 官府前6天共发放升大米，C正确， 官府前6天比后6天少发放升大米，D正确. 故选：ACD 三、填空题 9．一个屋顶的某一斜面成等腰梯形，已知最上面一层铺了块瓦片，且往下每一层多铺一块，若斜面上共铺了层瓦片，则共铺了________块瓦片. 【答案】 【分析】由题意，每层瓦片数构成等差数列，可利用等差数列前项和公式求解. 【详解】由题意知，每层铺的瓦片构成等差数列，且 ，， 所以. 故答案为：. 10．假设某市年新建住房万平方米，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积均比上一年增加万平方米．那么该市在______年新建住房的面积开始大于万平方米． 【答案】 【分析】记新建住房面积为数列，由题意可知是等差数列，求出等差数列的通项公式即可求解. 【详解】设年后该市新建住房的面积为万平方米． 由题意，得是等差数列，首项，公差， 所以．令，解得． 由于，则．所以该市在年新建住房的面积开始大于万平方米． 故答案为：. 11．现有一根长为243米的圆柱形木棒，第1天截取木棒长度的，从第2天开始每天截取前一天剩下长度的，则第6天截取的长度是_________米. 【答案】 【分析】由题意可得第n天截取木棒的长度与原木棒长度的比值为等比数列，再由等比数列的通项公式求解即可. 【详解】设第n天截取木棒的长度与原木棒长度的比值为， 由题意，第天截取木棒的，即， 从第2天开始每天截取前一天剩下长度的， 第天截取后剩下，第天截取长度是第一天剩下长度的， 即第天截取长度与原木棒长度的比值为，即， 可得数列是首项为，公比为的等比数列， 则，故第6天截取的长度是米. 故答案为：. 12．某装修公司拟在一高大建筑物的墙面上嵌入彩色瓷砖美化墙面，最上面一排嵌入2块，往下第二排嵌入4块，第三排嵌入8块，以此类推，，共放了8层，这墙面上嵌入的彩色瓷砖共有__________块． 【答案】 【分析】根据等比数列前项和公式求值即可. 【详解】由最上面一排嵌入2块， 往下第二排嵌入4块， 第三排嵌入8块， 可得， 所以从上往下每层的瓷砖个数依次成等比数列，设公比为 其中， 则， 所以这墙面上嵌入的彩色瓷砖共有块. 故答案为：. 四、解答题 13．某林场放置的一堆木材，最上层3根，最下层10根，共8层．试问，这堆木材共有多少根？ 【答案】52根． 【分析】自上而下每层放置木材的根数构成等差数列，利用等差数列的求和公式求出答案. 【详解】由题图可知，自上而下每层放置木材的根数构成等差数列，记为． 因为，，，所以． 因此，这堆木材共有52根． 14．如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，以正方形ABCD的对角线的一半作为边长构成第一个新正方形，再取新正方形对角线的一半作为边长构成第二个新正方形，依此进行下去，直至构成第n个新正方形，这n个新构成的正方形的面积依次记作．求：    (1)的值； (2)新构成的前10个正方形的面积和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依次求出每个正方形的边长、对角线长度，再根据正方形面积求解即可. （2）根据等比数列的定义以及前n项和公式求解即可. 【详解】（1）已知原正方形边长为，原正方形对角线长为， 第一个新正方形边长为原正方形对角线的一半，即边长为，因此面积. 第一个新正方形对角线长为，第二个新正方形边长为第一个正方形对角线的一半，即边长为， 因此面积. 第二个新正方形对角线长为，第三个新正方形边长为第二个正方形对角线的一半，即边长为， 因此面积. 因此面积. （2）由（1）可知，数列是首项，公比的等比数列. 则. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $