1.5.1 全称量词与存在量词 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦全称量词与存在量词，系统讲解其定义、命题形式、真假判断及参数取值问题。通过对比含变量语句与加量词后语句是否为命题的问题导入，搭建从命题知识到量词命题的学习支架，衔接自然。 其亮点在于注重概念辨析与方法提炼，通过“AI·思考辨析”和“反思感悟”培养学生抽象能力（数学眼光）与推理意识（数学思维），如例1辨析省略量词命题，例5 - 7将参数问题转化为函数最值。符号与文字语言结合（数学语言），学生易理解本质，教师可获系统教学资源与分层训练素材，提升教学效率。

1.5.1 全称量词与存在量词 1.理解全称量词、全称量词命题的定义.(重点) 2.理解存在量词、存在量词命题的定义.(重点) 3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假.(难点) 学习目标 全称量词与全称量词命题 下列语句是命题吗？比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系？ (1)x>3； (2)2x+1是整数； (3)对所有的x∈R，x>3； (4)对任意一个x∈Z，2x+1是整数. 问题1 提示　语句(1)(2)中含有变量x，由于不知道变量x代表什么数，无法判断它们的真假，所以它们不是命题.语句(3)在(1)的基础上，用短语“所有的”对变量x进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用短语“任意一个”对变量x进行限定，从而使(3)(4)成为可以判断真假的语句，因此语句(3)(4)是命题. 1.全称量词与全称量词命题的概念 全称量词 所有的、任意一个、一切、每一个、任给 符号表示 ___ 全称量词命题 含有 的命题 形式 “对M中 一个x，p(x)成立”可用符号简记为“______________” ∀ 全称量词 任意 ∀x∈M，p(x) 知识梳理 知识剖析（1）常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等. （2）一个全称量词命题可以包含多个变量，如“,, ”. （3）全称量词命题可以用文字语言表述，也可以用符号语言表述.例如全称量词命 题“对所有的实数，其绝对值大于或等于0”是用文字语言表述的，它可用符号语言表 述为“, ”. （4）全称量词命题含有全称量词，有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解 时需把它补充出来.例如，命题“平行四边形对角线互相平分”应理解为“所有的平行四 边形对角线都互相平分”．#1.4 7 (1)从集合的观点看全称量词命题是陈述某集合中的所有的元素都具有某种性质的命题，全称量词表示的数量可能是有限的，也可能是无限的，由题目而定. (2)有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补充出来，例如：命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”. 注 意 点 <<< 8 (3)要判定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立. (4)要判定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是假命题，只需举出一个反例即可. 注 意 点 <<< 9 2 全称量词命题的真假判断 （1）要判定全称量词命题“,”是真命题，需要对集合中每个元素 ，证 明 成立. （2）要判定全称量词命题“, ”是假命题，只需举出一个反例，即如果在 集合中找到一个元素，使 不成立，那么这个全称量词命题就是假命题. 10 知识拓展 由于全称量词不同，因此同一个命题还有其他的表述形式： ①对所有的，都有 成立； ②对一切，都有 成立； ③对每一个，都有 成立； ④任选一个，都有 成立； ⑤凡是，都有 成立. 11 AI·思考辨析 “x≥0”是命题吗?“∀x∈N,x≥0”呢?如果是,判断命题的真假. 提示 “x≥0”不是命题;“∀x∈N,x≥0”是真命题. 例1 ［多选题,教材改编P26思考］下列语句是全称量词命题的是( ) AD A.对任意实数， B.有一个实数， 不能取倒数 C.每一条直线都有方向吗 D.等边三角形的三条边相等 【解析】 是命题，C不是命题，其中A中含有全称量词，所以是全称量词命 题．D中隐藏了全称量词“所有”，也是全称量词命题. 问题质疑 怎样判断一个命题是否为全称量词命题？ 一是看该命题是否含有全称量词;二是看该命题是否为省去全称量词的命题， 如果是，我们可以把全称量词补充出来看是否讲得通. 13 例2 判断下列命题是不是全称量词命题,如果是,指出其中的全称量词: (1)每一个多边形的外角和都是360°; (2)所有的素数都是奇数; (3)对任意的无理数x,x2也是无理数; (4)∀x∈R,x都有平方根; (5)∀x∈R,有-x2≤0. 解 (1)“每一个多边形的外角和都是360°”是全称量词命题,“每一个”是全称量词. (2)“所有的素数都是奇数”是全称量词命题,“所有”是全称量词. (3)“对任意的无理数x,x2也是无理数”是全称量词命题,“任意”是全称量词. (4)“∀x∈R,x都有平方根”是全称量词命题,“∀”(即任意)是全称量词. (5)“∀x∈R,有-x2≤0”是全称量词命题,“∀”(即任意)是全称量词. (1)判断一个命题是否为全称量词命题，主要看命题中是否有“所有的，任意一个，一切，每一个，任给”等表示全体的量词，有些命题的全称量词是隐藏的，要仔细辨别. (2)判断真假时用直接法或间接法，直接法就是对陈述的集合中每一个元素都要使结论成立，间接法就是找到一个元素使结论不成立即可判断命题是假命题. 反 思 感 悟 存在量词与存在量词命题 下列语句是命题吗？比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系？ (1)2x+1=3； (2)x能被2和3整除； (3)存在一个x∈R，使2x+1=3； (4)至少有一个x∈Z，x能被2和3整除. 问题2 提示　容易判断(1)(2)不是命题.语句(3)在(1)的基础上，用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用“至少有一个”对变量x的取值进行限定，从而使(3)(4)变成了可以判断真假的陈述句，因此(3)(4)是命题. 1 存在量词与存在量词命题的概念 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的、对某些 符号表示 ___ 存在量词命题 含有 的命题 形式 “存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为“_____________” ∃ 存在量词 ∃x∈M，p(x) 知识梳理 知识剖析（1）常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某些”“有的”等. （2）一个存在量词命题可以包含多个变量，如“,,使 ”. （3）存在量词命题可以用文字语言表述，也可以用符号语言表述.例如存在量词命 题“存在实数，其绝对值小于或等于0”是用文字语言表述的，它可用符号语言表述为 “, ”. 21 2 存在量词命题的真假判断 （1）要判定存在量词命题“,”是真命题，只需在集合 中找到一个元素 ，使 成立即可. （2）要判定一个存在量词命题“,”是假命题，需对集合 中的任意一个元 素，证明 都不成立. 22 知识拓展 由于存在量词不同，因此同一个命题还有其他的表述形式： ①存在，使 成立； ②至少有一个，使 成立； ③对有些，使 成立； ④对某些，使 成立； ⑤有一个，使 成立. 23 (1)从集合的角度看，存在量词命题是陈述某集合中有或存在一些或至少一个元素具有某种性质的命题. (2)有些命题可能没有写出存在量词，但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题. (3)要判断存在量词命题“∃x∈M，p(x)”是真命题，只需要在集合M中找到一个元素x，使p(x)成立即可. (4)要判断一个存在量词命题是假命题，需对集合M中的任意一个元素x，证明p(x)都不成立. 注 意 点 <<< 24 AI·思考辨析 “方程2x+3=0有整数解”是存在量词命题吗? 提示 是. 例3 下列语句中，是全称量词命题的是________，是存在量词命题的是____． ①菱形的四条边相等； ②所有含两个 角的三角形是等边三角形； ③负数的立方根不等于0； ④至少有一个负整数是奇数. ①②③ ④ 【解析】①②③是全称量词命题； ④是存在量词命题. 26 例4 判断下列命题是不是存在量词命题,如果是,指出其中的存在量词: (1)实数都能写成小数; (2)在实数集内,有些一元二次方程无解; (3)在平面内,过直线外一点,存在另一条直线与其垂直; (4)存在一个自然数n,使代数式n2-2n+2的值是负数. 解 (1)“实数都能写成小数”不是存在量词命题. (2)“在实数集内,有些一元二次方程无解”是存在量词命题,“有些”是存在量词. (3)“在平面内,过直线外一点,存在另一条直线与其垂直”是存在量词命题,“存在”是存在量词. (4)“存在一个自然数n,使代数式n2-2n+2的值是负数”是存在量词命题,“存在”是存在量词. (1)判断一个命题是否为存在量词命题，主要看命题中是否有“存在一个，至少有一个，有些，有一个，对某些，有的”等表示部分的量词，有些命题的存在量词是隐藏的，要仔细辨别. (2)判断真假时用直接法或间接法，直接法就是对陈述的集合中有一个元素使结论成立即可判断命题是真命题，间接法就是对集合中所有的元素使结论不成立可判断命题是假命题. 反 思 感 悟 依据含量词命题的真假求参数的取值范围 例5 已知命题，为真命题，求实数 的取值范围. 【解析】因为为真命题,即当时，方程 有实根，所以 ，即 . 故实数的取值范围为 . 31 子题 将母题的条件“，”改为“, ”，其 他条件不变，求实数 的取值范围. 【解析】由题意知，,为真命题，,令 , ,则,,（【注意】不等式恒成立时， ） 故实数的取值范围为 . 32 例6 (2026·天津市第二十中学期中)已知命题“， ”为 假命题，则实数 的取值范围为( ) A A. B. C. D.或 【解析】命题“， ”为假命题， 则方程 无实数根. 当时， ，符合题意； 当时，即，解得 . 综上，实数的取值范围为 . 33 例7 [2026华中科技大学附属中学检测］若“ ， ”是假命题，则实数 的取值范围是( ) A A. B. C. D. 【解析】 由于“， ”是假命题， 所以其否定“， ”是真命题，故当 时，恒成立，又随着 的增大而减小， 所以当时，取得最小值，为，则 ． 由题意知“，”是真命题，则 大 于或等于当时的最小值即可，即 ， 又该命题为假命题，所以 ． 34 把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式(组)求参数的取值范围. 含量词命题的真假求参数取值范围 反 思 感 悟 1.知识清单： (1)全称量词、全称量词命题、存在量词、存在量词命题的概念. (2)含量词的命题的真假判断. (3)依据含量词命题的真假求参数的取值范围. 2.方法归纳：定义法、转化法. 3.常见误区：有些命题省略了量词；全称量词命题强调“整体、全部”，存在量词命题强调“个别、部分”. 课堂小结 随堂演练 题型一 全称量词、存在量词的理解 题组一 量词的判断 1.（2025河南南阳开学考试）下列命题是全称量词命题的是( ) B A.存在一个实数的平方是负数 B.每个四边形的内角和都是 C.至少有一个整数,使得是质数 D.有些实数满足 【解析】 含有存在量词“存在一个”,该命题是存在量词命题； 含有全称量词“每个”,该命题是全称量词命题； 含有存在量词“至少有一个”,该命题是存在量词命题； 含有存在量词“有些”,该命题是存在量词命题. 38 2.（多选）下列命题中是存在量词命题的是( ) AD A.有些自然数是13的约数 B.正方形是菱形 C.能被6整除的数也能被3整除 D.存在,使得 【解析】 “有些”是存在量词； 隐含全称量词“所有”,即所有正方形都是菱形,是全称量词命题； 隐含全称量词“所有”,即所有能被6整除的数也能被3整除,是全称量词命题； “存在”是存在量词. 39 3.现有下列4个命题：①菱形的四条边相等；, ；③存在一个质数为偶数； ④正数的平方是正数.其中,全称量词命题的个数为___. 2 【解析】 ①④是隐含“所有”的全称量词命题；②中“ ”是存在量词符号,该命题是存在 量词命题；③中“存在一个”是存在量词,因此该命题是存在量词命题. 40 题组二 量词的符号表示 4.（2026安徽省六安第一中学检测）下列命题与“, ”的表述意义一致的 是( ) C A.有且只有一个实数,使得成立 B.有些实数,使得 成立 C.不存在实数,使得成立 D.有无数个实数,使得 成立 【解析】 “,”表达的意思是所有的实数都满足 ,即“不存在 实数,使得 成立”. 41 5.（2026河北石家庄一中检测）指出下列命题中的全称量词或存在量词,并用量词符号“ ”或“ ”表示下列命题. （1） 所有实数都能使 成立； 【答案】 “所有”是全称量词, , . （2） 对所有有理数,,方程 恰有一个解； 【答案】 “所有”是全称量词,,,方程 恰有一个解. （3） 有整数解； 【答案】 “有整数解”即存在整数解,“存在”是存在量词,,, . （4） 存在自然数,使得与 的倒数之和等于1. 【答案】 “存在”是存在量词,, . 42 题型二 判断含量词命题的真假 6.（2025湖南邵阳期中）下列四个命题是真命题的是( ) A A., B., C., D., 【解析】 因为,,所以 ,即A是真命题； 易知当时,不是整数,即不存在, ,所以B为假命题； 易知当时, ,因此C为假命题； 解不等式可得,显然不存在,使得 ,所以D为假命题. 43 7.（2026江苏无锡期末）已知集合, ，则( ) A A., B., C., D., 【解析】 , . ,，这是存在量词命题，只需找到一个,使得且 即可，例如 ，满足且 ； ,，这是存在量词命题，集合中的元素都在集合中，故不存在集合 中的元素不属于集合 ； ,，这是全称量词命题，要求所有集合中的元素都不属于集合 ，而 属于集合，也属于集合 ； ,，这是全称量词命题，要求所有集合中的元素都属于集合 ，而 属于集合，但不属于集合 . 44 8.（2026云南玉溪检测）下列命题既是全称量词命题又是真命题的是( ) C A.所有的素数都是奇数 B.，使得 C.矩形都有外接圆 D., 都有平方根 【解析】 “所有的素数都是奇数”是全称量词命题，而素数2不是奇数，（反例）故 该命题是假命题； “，使 ”是存在量词命题； 矩形的对角互补，都有外接圆，“矩形都有外接圆”既是全称量词命题又是真 命题； 负整数没有平方根，“, 都有平方根”是全称量词命题，但是假命题. 45 9.（多选）下列能说明存在量词命题“,, ”为真命题的是 ( ) ABD A. B. C. D. 【解析】 ,此时 ； ,此时 ； ,此时 ； ,此时 . 46 $