10直线与抛物线的位置关系讲义—2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦直线与抛物线的位置关系核心考点，涵盖位置判断、焦点弦结论、切线方程、弦长与中点弦等高考高频内容。知识点按“知识梳理-教材回归-考点例析-方法总结”逻辑架构，通过考点分类讲解、典例精讲及跟踪练习，帮助学生系统构建知识网络，突破解题难点。 资料特色在于立足教材夯实基础，结合高考真题设计分层训练，如通过推导焦点弦结论培养数学思维，总结切线方程的代数法与公式法提升运算能力。设置选择、填空、解答题梯度练习，配合方法小结，确保学生高效掌握考点，为教师精准把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

2027届高三一轮复习解析几何回归教材版讲义 ——10 直线与抛物线的位置关系 知识梳理： 1．直线与抛物线的位置关系 (1)直线与抛物线的三种位置关系： (2)设直线l：y=kx+m，抛物线：y2=2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立，整理成关于x的方程 . ①若k≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当Δ=0时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当Δ<0时，直线与抛物线相离，无交点. ②若k=0，直线与抛物线只有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合. 因此直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件. 2、抛物线焦点弦的几个常用结论 设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (1)x1x2＝，y1y2＝－p2； (2)若A在第一象限，B在第四象限，则|AF|＝x1＋＝，|BF|＝x2＋＝， 弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为直线AB的倾斜角)； (3)＋为定值； (4)以弦AB为直径的圆与准线相切； (5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切； (6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上； (7)通径为过焦点且与对称轴垂直的弦，其长为2p. 回归教材： 【人教A版选择性必修一第3.3.2节例4】斜率为1的直线经过抛物线的焦点,且与抛物线相交于两点,求线段的长. 【人教A版选择性必修一第3.3.2节例5】经过抛物线焦点的直线交抛物线于两点,经过点和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点,求证：直线平行于抛物线的对称轴. 【人教A版选择性必修一第3.3.2节136页练习第3题】过点作斜率为1的直线,交抛物线于两点,求. 【人教A版选择性必修一第3.3.2节136页练习第4题】垂直于轴的直线交抛物线于两点,且,求直线的方程. 【人教A版选择性必修一第3.3.2节138页练习第4题】两条直线和分别与抛物线相交于不同于原点的两点,为何值时,直线经过抛物线的焦点? 【人教A版选择性必修一习题3.3第6题】如图,直线与抛物线相交于两点, 求证:. (第6题) 【人教A版选择性必修一习题3.3第12题】已知抛物线的方程为,点在直线上，直线绕点旋转,讨论直线与抛物线的公共点个数,并回答下列问题: (1)画出图形表示直线与抛物线的各种位置关系,从图中你发现直线与抛物线只有一个公共点时是什么情况? (2)与直线的方程组成的方程组解的个数与公共点的个数是什么关系? 【人教A版选择性必修一复习参考题3第5题】设抛物线的顶点为,经过焦点且垂直于对称轴的直线交抛物线于两点,经过抛物线上一点且垂直于轴的直线与轴交于点.求证:是和的比例中项. 【人教A版选择性必修一复习参考题3第6题】已知等边三角形的一个顶点位于抛物线的焦点,另外两个顶点在抛物线上,求这个等边三角形的边长. 【人教A版选择性必修一复习参考题3第10题】如图,已知直线与抛物线交于两点,且交于点,点的坐标为,求的值. 【人教A版选择性必修一复习参考题3第12题】在抛物线上求一点,使得点到直线的距离最短. 【人教A版选择性必修一复习参考题3第16题】过抛物线的焦点作直线与抛物线交于两点,以为直径画圆,观察它与抛物线的准线的关系,你能得到什么结论?相应于椭圆、双曲线如何?你能证明你的结论吗? 考点梳理： 判断直线与抛物线的位置关系 例、直线与抛物线的位置关系为（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 例、抛物线的焦点为F，A为准线上一点，则线段FA的中垂线与抛物线的位置关系为（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都有可能 根据直线与抛物线的位置关系求参数 例、已知抛物线C的方程为，过点和点的直线l与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是（　　） A． B． C． D． 例、已知抛物线：，直线与抛物线交于两点，过两点分别作抛物线的两条切线交于点，若为正三角形，则的值为 （      ） A． B． C． D． 例、已知抛物线，点，则“”是“过且与仅有一个公共点的直线有3条”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例、当为何值时，直线与抛物线有两个公共点？仅有一个公共点？无公共点？ 小结： 直线与抛物线的位置关系 抛物线 设直线方程与与抛物线方程，消去得. ①若k≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；当Δ=0时，直线与抛物线相切，有一个交点；当Δ<0时，直线与抛物线相离，无交点. ②若k=0，直线与抛物线只有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合. 因此直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件. 抛物线的切线 例．（多选）已知焦点为的抛物线与圆交于两点，且，点在抛物线上，且过两点分别作抛物线的切线交于点，则下列结论正确的有（   ） A．拋物线C的方程为： B．若三点共线，则点横坐标为 C．若三点共线，且倾斜角为，则的面积是 D．若点，且三点共线，则的最小值是9 例、已知是抛物线上一点，且位于第一象限，点到抛物线的焦点的距离为6，则抛物线在点处的切线方程为 . 例．（2026·广东梅州·一模）如图，是抛物线的焦点，是抛物线在第一象限上的一点，，. (1)求抛物线的方程；(2)求抛物线在点处的切线方程. 小结、 1、求抛物线切线方程的两种方法 代数法 联立直线与抛物线的方程，根据来求解 公式法 过抛物线上一点的切线方程为 2．抛物线的切线 过抛物线y2=2px(p>0)上的点P的切线方程是. 抛物线y2=2px(p>0)的斜率为k的切线方程是(k≠0). 抛物线的弦长问题 例、直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于、两点.若，则（    ） A． B． C． D． 例、过点且斜率为1的直线交抛物线于两点，若，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．7 抛物线的中点弦 例、过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，设为的中点，为坐标原点.若，则（  ） A． B． C． D． 例．过点作直线与抛物线相交于A，B两点，若点P是线段AB的中点，则直线AB的斜率是 ． 抛物线的焦点弦 例、抛物线C：y＝x2，过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，若3＝，则直线AB的倾斜角为(　　) A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120° 例．已知为坐标原点，过抛物线焦点的直线与该抛物线交于，两点，若，若面积为，则（    ） A．4 B．3 C． D． 例、已知过抛物线的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，若，AB的中点到轴的距离为，则p的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 例．（多选）（2026·广西北海·一模）已知抛物线，直线l过其焦点F交抛物线于，两点，过点A作抛物线C的切线，交x轴于点，则（    ） A．若，则 B． C． D．（是直线l的倾斜角） 小结、抛物线焦点弦的相关结论 图形 结论 抛物线 ,, , , , 跟踪练习： 1、已知直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 2、抛物线在点处的切线的斜率为（    ） A．－1 B． C． D．1 3．已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，点E(2，0)，线段EF与抛物线C相交于点M，若抛物线C在点M处的切线与直线2x＋y＋2＝0垂直，则抛物线C的方程为(　　) A．x2＝3y B．x2＝12y C．x2＝9y D．x2＝6y 4、已知点在抛物线上，过焦点且斜率为的直线与相交于，两点，过，两点作准线的垂线，垂足点分别为，两点，则（    ） A． B． C． D． 5．已知抛物线的焦点为，过且斜率为2的直线与交于两点，在准线上的投影分别为，线段分别交轴于点．若，则（   ） A． B．2 C． D． 6．（多选）已知直线l：，抛物线C：，则下列结论正确的是（   ） A．直线l过定点 B．当时，直线l与抛物线C相切 C．当时，直线l与抛物线C有两个公共点 D．当直线l与抛物线C无公共点时，或 7、(多选)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l的斜率为且经过点F，与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线C的准线交于点D.若|AF|＝8，则以下结论正确的是(　　) A．p＝4 B．＝ C．|BD|＝2|BF| D．|BF|＝4 8．（多选）已知O为坐标原点，经过点的直线与抛物线交于、两点，直线：是线段AB的垂直平分线，且与的交点为，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C． D． 9．（多选）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，过点作直线交抛物线于，两点，则（   ） A．的最小值为4 B．以线段为直径的圆与直线相切 C．当时，则 D． 10．（多选）设抛物线的焦点为，准线为，经过点的直线交于两点，为坐标原点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则直线的倾斜角为 B．以线段为直径的圆与相切 C．存在直线，使得 D．若直线交于点，则 11．（多选）（2026·安徽合肥·一模）已知抛物线的焦点为，以为圆心，为半径得到圆，圆上有一点．过点的直线与交于两点，与圆另交于点，则（    ） A． B．当时，的横坐标为 C．当时， D． 12．（多选）（2026·河南南阳·一模）已知抛物线的焦点为，准线为，为坐标原点，过点的直线与抛物线交于，两点，分别过点，作的垂线，垂足分别为，，若为等边三角形，则（    ） A．直线的斜率为 B． C．的周长为12 D．，，三点共线 13. 已知抛物线，点为直线上一动点，过点作直线,与抛物线分别切于点,，则 . 14．已知P为抛物线上一点，过点P作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物线交于两点，若直线的斜率为，则点P的坐标为 ． 15．（2026·天津东丽·一模）已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，以线段为直径的圆与直线相交于，两点，则_________． 16．如图，已知直线l与抛物线交于A，B两点，且，于点. (1)求直线l的方程；(2)求p. 17、抛物线Γ：y2＝2px(p＞0)的图象经过点M(1，－2)，焦点为F，过点F且倾斜角为θ的直线l与抛物线Γ交于A，B两点，如图． (1)求抛物线Γ的标准方程； (2)当θ＝时，求弦AB的长； (3)已知点P(2，0)，直线AP，BP分别与抛物线Γ交于C，D两点．证明：直线CD过定点． 18．抛物线:，为的焦点，过抛物线外一点作抛物线的两条切线，，是切点. (1)若点的纵坐标为，求证：直线恒过定点； (2)若||＝，求面积的最大值; (3)证明：||·||=. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三一轮复习解析几何回归教材版讲义 ——10 直线与抛物线的位置关系 知识梳理： 1．直线与抛物线的位置关系 (1)直线与抛物线的三种位置关系： (2)设直线l：y=kx+m，抛物线：y2=2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立，整理成关于x的方程 . ①若k≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当Δ=0时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当Δ<0时，直线与抛物线相离，无交点. ②若k=0，直线与抛物线只有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合. 因此直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件. 2、抛物线焦点弦的几个常用结论 设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (1)x1x2＝，y1y2＝－p2； (2)若A在第一象限，B在第四象限，则|AF|＝x1＋＝，|BF|＝x2＋＝， 弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为直线AB的倾斜角)； (3)＋为定值； (4)以弦AB为直径的圆与准线相切； (5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切； (6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上； (7)通径为过焦点且与对称轴垂直的弦，其长为2p. 回归教材： 【人教A版选择性必修一第3.3.2节例4】斜率为1的直线经过抛物线的焦点,且与抛物线相交于两点,求线段的长. 【分析】在图3.3-4中,设.由抛物线的定义可知,等于点到准线的距离. 由,得,于是.同理,, 于是得 由此可见,只要求出点的横坐标之和,就可以求出. 图3.3-4 【解析】由题意可知,,焦点的坐标为,准线方程为.如图3.3-4, 设两点到准线的距离分别为.由抛物线的定义, 可知于是 因为直线的斜率为1,且过焦点,所以直线的方程为 将(1)代人方程,得,化简,得所以， 则，所以,线段的长是8. 【人教A版选择性必修一第3.3.2节例5】经过抛物线焦点的直线交抛物线于两点,经过点和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点,求证：直线平行于抛物线的对称轴. 分析：我们用坐标法证明这个结论,即通过建立抛物线及直线的方程,运用方程研究直线与抛物线对称轴之间的位置关系.建立如图3.3-5所示的直角坐标系,只要证明点的纵坐标与点的纵坐标相等即可. 图3.3-5 证明:如图3.3-5,以抛物线的对称轴为轴,抛物线的顶点为原点,建立平面直角坐标系.设抛物线的方程为点的坐标为,则直线的方程为 抛物线的准线方程是.联立(2)(3),可得点的纵坐标为. 因为焦点的坐标是,当时,直线的方程为 联立(1)(4),消去,可得,即 可得点的纵坐标为,与点的纵坐标相等,于是平行于轴. 当时,易知结论成立.所以,直线平行于抛物线的对称轴. 【人教A版选择性必修一第3.3.2节136页练习第3题】过点作斜率为1的直线,交抛物线于两点,求. 答案： 过点、斜率为的直线方程为，联立，消去得， 整理得。设，，由韦达定理得，， 则弦长。 【人教A版选择性必修一第3.3.2节136页练习第4题】垂直于轴的直线交抛物线于两点,且,求直线的方程. 【答案】 【解析】设直线，代入抛物线得，要有交点：， 交点纵坐标，，， 直线方程。 【人教A版选择性必修一第3.3.2节138页练习第4题】两条直线和分别与抛物线相交于不同于原点的两点,为何值时,直线经过抛物线的焦点? 【答案】 【解析】联立 ，得 。，，，。同理。 直线方程为。抛物线焦点在直线上，故，， 约去得，。 【人教A版选择性必修一习题3.3第6题】如图,直线与抛物线相交于两点, 求证:. (第6题) 【答案】证明成立 【解析】联立直线与抛物线方程,消去y得，设； 由韦达定理得 则； 所以，故. 【人教A版选择性必修一习题3.3第12题】已知抛物线的方程为,点在直线上，直线绕点旋转,讨论直线与抛物线 的公共点个数,并回答下列问题: (1)画出图形表示直线与抛物线的各种位置关系,从图中你发现直线与抛物线只有一个公共点时是什么情况? (2)与直线的方程组成的方程组解的个数与公共点的个数是什么关系? 【答案】（1）直线与抛物线仅有一个公共点分为两类：①直线与抛物线相切；②直线平行于抛物线对称轴；（2）方程组实数解的个数等于图形公共点个数。 【解析】 （2）当斜率不存在时，，直线与抛物线无公共点， 当斜率存在时，设直线：，联立 （*）， 消去得， ①：方程为一次方程 ，解得，则， 则与直线有一个公共点，此时直线平行于对称轴。 ②，， 当： 方程有两个不等实根，方程组（*）有两组解，则与直线有两个公共点； 当： 方程有两个相等实根，方程组（*）有一组解，则与直线有一个公共点； 当： 方程无实根，方程组（*）无解，则与直线没有公共点。 【人教A版选择性必修一复习参考题3第5题】设抛物线的顶点为,经过焦点且垂直于对称轴的直线交抛物线于两点,经过抛物线上一点且垂直于轴的直线与轴交于点.求证:是和的比例中项. 【解析】因为是抛物线的通径，则，设，则，，， 因为在抛物线上：，即 ，代入得到 。 【人教A版选择性必修一复习参考题3第6题】已知等边三角形的一个顶点位于抛物线的焦点,另外两个顶点在抛物线上,求这个等边三角形的边长. 【答案】 【解析】抛物线图形关于轴对称，故等边三角形另外两点关于轴对称，焦点， 设，，斜率，， 联立 ，解得 或， 由抛物线定义或， 所以该等边三角形为。 【人教A版选择性必修一复习参考题3第10题】如图,已知直线与抛物线交于两点,且交于点,点的坐标为,求的值. 【答案】 【解析】由已知得，，所以 。 直线：，化简：，联立，消去得。 设，韦达定理：。 由，，，，。 代入：。 【人教A版选择性必修一复习参考题3第12题】在抛物线上求一点,使得点到直线的距离最短. 【答案】 【解析】设与平行的抛物线切线：，联立，。 相切条件，，方程，，，即。 【人教A版选择性必修一复习参考题3第16题】过抛物线的焦点作直线与抛物线交于两点,以为直径画圆,观察它与抛物线的准线的关系,你能得到什么结论?相应于椭圆、双曲线如何?你能证明你的结论吗? 【答案】抛物线：圆与准线相切；椭圆：相离；双曲线：相交 【解析】设抛物线，，中点，到准线距离，到准线距离， 抛物线定义：，直径， 圆心到准线距离 半径，故相切， 椭圆：，圆心到准线距离，相离； 双曲线：，圆心到准线距离，相交。 考点梳理： 判断直线与抛物线的位置关系 例、直线与抛物线的位置关系为（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【答案】A 【分析】直线过定点，在抛物线内部，即可得出结论． 【解析】直线过定点，∵，∴在抛物线内部， ∴直线与抛物线相交，故选：A． 例、抛物线的焦点为F，A为准线上一点，则线段FA的中垂线与抛物线的位置关系为（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都有可能 【答案】B 【分析】求出直线AF的中垂线方程，代入，可得，即可得出结论． 【解析】设，，则的中点坐标为，，所以中垂线的斜率为， 所以直线的中垂线方程为，代入，可得， ∴，∵线段FA的中垂线与抛物线相切.故选：B. 根据直线与抛物线的位置关系求参数 例、已知抛物线C的方程为，过点和点的直线l与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求直线的方程，与抛物线方程联立，利用，即可求解的取值范围. 【解析】当时，直线，与抛物线有交点，所以，设直线的方程为， 联立直线与抛物线方程，得，消元整理，得，由于直线与抛物线无公共点，即方程无解，故有，解得或.故选：A. 例、已知抛物线：，直线与抛物线交于两点，过两点分别作抛物线的两条切线交于点，若为正三角形，则的值为 （      ） A． B． C． D． 【分析】可得关于轴对称，且轴，则两条切线的交点在轴上，设，， 可设，联立抛物线得，从而将代入直线与抛物线，即可得的值. 【解析】 由题意可得关于轴对称，且轴，则两条切线的交点在轴上，设， 因为为正三角形，不妨取，则，联立， 可得，则，可得， 所以，代入，可得，又，联立解得.故选：C. 例、已知抛物线，点，则“”是“过且与仅有一个公共点的直线有3条”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】求出“过且与抛物线仅有一个公共点的直线有3条”的充要条件，进而判断. 【解析】过且与抛物线仅有一个公共点的直线有3条， 则当直线的斜率不存在时符合题意，此时直线为； 当直线的斜率存在时，设直线为，则， 消去整理得，即有两个不同的解， 所以即，解得或， 所以 “”是“过且与抛物线仅有一个公共点的直线有3条”的充分条件.故选：A. 例、当为何值时，直线与抛物线有两个公共点？仅有一个公共点？无公共点？ 【解析】由得. （1）当时，方程化为一次方程，该方程只有一解，原方程组只有一组解 所以直线与抛物线只有一个公共点. （2）当时，二次方程的判别式， 当时，，解得或， 所以当或时，直线与抛物线有两个公共点； 由得，此时直线与抛物线相切，只有一个公共点； 由得或，此时直线与抛物线无公共点. 综上，当或时，直线与抛物线有两个公共点； 当或时，直线与抛物线仅有一个公共点； 当或时，直线与抛物线无公共点. 小结： 直线与抛物线的位置关系 抛物线 设直线方程与与抛物线方程，消去得. ①若k≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；当Δ=0时，直线与抛物线相切，有一个交点；当Δ<0时，直线与抛物线相离，无交点. ②若k=0，直线与抛物线只有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合. 因此直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件. 抛物线的切线 例．（多选）已知焦点为的抛物线与圆交于两点，且，点在抛物线上，且过两点分别作抛物线的切线交于点，则下列结论正确的有（   ） A．拋物线C的方程为： B．若三点共线，则点横坐标为 C．若三点共线，且倾斜角为，则的面积是 D．若点，且三点共线，则的最小值是9 【答案】AD 【分析】A先求出点坐标，再将其代入抛物线方程中；B先设直线得出韦达定理，再利用点坐标设切线方程并与抛物线方程联立，利用求出切线方程，即可求出点的坐标；C利用弦长公式求出，再计算点到直线的距离即可求；D设直线方程，再利用弦长公式求出的长度，最后利用基本不等式求最值即可. 【详解】对于A，因为，且在圆上，所以由对称性不妨设，又因为点在抛物线上，所以，因此抛物线方程，故A正确；对于B，设，且过的直线方程，联立，得，则， 设在点处的切线方程为，与联立得，， 因，则，则在点处的切线方程为，同理在点处的切线方程，所以联立，并结合，解得， 所以点，所以点的横坐标为，即，故B错误；对于C，因为过的直线方程的倾斜角，所以，联立，得，则， 所以，又由B 选项可知，， 所以点到直线的距离是，所以，故C错误； 对于D，设过的直线方程联立，得， 则， 又因为，同理，， 且， 所以， 等号成立的条件为，即，即，故D正确. 故选：AD. 例、已知是抛物线上一点，且位于第一象限，点到抛物线的焦点的距离为6，则抛物线在点处的切线方程为 . 【答案】. 【解析】（法一:代数法）由抛物线定义，到抛物线的焦点的距离为，得，代入方程得，设过点的切线方程为，联立抛物线方程得，由，即，解得，所以切线方程为，即. （法二：公式法）由法一可知点,抛物线方程为，所以抛物线在点处的切线方程为，即. 例．（2026·广东梅州·一模）如图，是抛物线的焦点，是抛物线在第一象限上的一点，，. (1)求抛物线的方程； (2)求抛物线在点处的切线方程. 【答案】(1);(2) 【分析】（1）写出准线方程，过作，垂足为，过作，垂足为，设，，，根据抛物线的定义求出参数，即可得； （2）由（1）得，设出切线方程并联立抛物线，根据相切关系有求出参数，即可得. 【详解】（1）以题意知，抛物线，的准线， 如图，过作，垂足为，过作，垂足为， 设，，，由抛物线定义知，， 在中，，，所以，即有， 于是有，解得：，因此抛物线的方程为. （2）由（1）得，代入抛物线的方程得，，所以， 可设抛物线在点处的切线方程为， 联立方程，显然切线不平行轴，故其斜率， 将代入，消去，整理得：， 因为相切，有，即有，因此， 所以抛物线在点处的切线方程为，即. 小结、 1、求抛物线切线方程的两种方法 代数法 联立直线与抛物线的方程，根据来求解 公式法 过抛物线上一点的切线方程为 2．抛物线的切线 过抛物线y2=2px(p>0)上的点P的切线方程是. 抛物线y2=2px(p>0)的斜率为k的切线方程是(k≠0). 抛物线的弦长问题 例、直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于、两点.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用抛物线焦半径公式求出点、的横坐标，进而求出弦长. 【解析】抛物线的焦点坐标为，准线方程为，  设、， 则，，由，得，则，由， 得，得，联立解得，， 所以.故选：C. 例、过点且斜率为1的直线交抛物线于两点，若，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．7 【答案】D 【分析】求出直线，然后与抛物线方程联立，结合韦达定理及弦长公式即可求解. 【解析】由题得直线，设，联立得， 令，则，所以，由， 则，解得．故D正确.故选：D. 抛物线的中点弦 例、过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，设为的中点，为坐标原点.若，则（  ） A． B． C． D． 【分析】设直线的方程为并于抛物线联立，利用中点坐标公式以及可得，再由弦长公式可得答案. 【解析】易知抛物线的焦点，由题意可知直线斜率显然不为0，可设直线的方程为，，联立，整理可得， 所以显然成立， 又为的中点，可得，即; 所以，整理可得， 解得或（舍）；因此.故选：B. 例．过点作直线与抛物线相交于A，B两点，若点P是线段AB的中点，则直线AB的斜率是 ． 【答案】 【分析】设，当若直线的斜率存在，，将点代入抛物线方程后作差，将点代入可得直线的斜率，再检验所得结果，再补充考虑斜率不存在的情况，最后可得结论. 【详解】设，若直线的斜率存在，则，点P是线段的中点，，∴，，两式作差可得， 即，又，，直线的方程是，即， 联立，可得，方程的判别式， 所以方程有两个根，故方程组有两组解，满足条件，若直线的斜率不存在， 则直线方程为，此时线段AB的中点为矛盾，故答案为：. 抛物线的焦点弦 例、抛物线C：y＝x2，过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，若3＝，则直线AB的倾斜角为(　　) A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120° 答案：C 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，如图，分别过A，B两点作准线y＝－1的垂线，垂足分别为A1，B1，过点A作BB1的垂线，垂足为H，由于3＝，不妨设|AF|＝t，则|BF|＝3t，|AB|＝4t，由抛物线的定义可知|AA1|＝t，|BB1|＝3t，|BH|＝2t，则在Rt△ABH中，∠BAH＝30°，此时直线AB的倾斜角为30°.根据抛物线的对称性可知，直线AB的倾斜角为30°或150°.故选C. 例．已知为坐标原点，过抛物线焦点的直线与该抛物线交于，两点，若，若面积为，则（    ） A．4 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】求出抛物线的焦点坐标，设出直线方程并与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合抛物线的定义及三角形面积公式列式求出 【详解】抛物线的焦点，设直线，点， 由消去得，则， ，即， ，， 则，因此，所以.故选：A 例、已知过抛物线的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，若，AB的中点到轴的距离为，则p的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据给定条件，利用焦点弦的几何性质推理计算得解. 【解析】抛物线的焦点，准线，准线交轴于点，由对称性，不妨令点在第一象限，过分别作，垂足分别为，过作于，交于，令，，，由，得，即，则，线段中点，过作于，则，由AB的中点到轴的距离为， 得，因此，所以.故选：B. 例．（多选）（2026·广西北海·一模）已知抛物线，直线l过其焦点F交抛物线于，两点，过点A作抛物线C的切线，交x轴于点，则（    ） A．若，则 B． C． D．（是直线l的倾斜角） 【答案】BC 【分析】根据抛物线的定义可判断A；设出直线l的方程，联立抛物线的方程后根据韦达定理可判断B；根据导数的几何意义求出切线方程，进而可得到的坐标，可判断C；根据l的斜率是否存在分情况讨论是否成立可判断D. 【详解】因为抛物线，所以抛物线的焦点为，准线方程为， 过作准线的垂线，垂足为，过作的垂线，垂足为，如图： 因为在抛物线上，所以，若， 则由抛物线的定义知到准线的距离，即，解得， 代入可得，所以或，故A错误. 因为直线l过，设直线l的方程为， 由消去得，由韦达定理知，故B正确. 因为，又抛物线与直线l交于两点，所以， 对两边同时求导得，所以，所以抛物线在处切线的斜率为，切线方程为，令，解得， 即，则，由抛物线的定义知，故C正确. 当时，直线的方程为，即，由抛物线的定义知，满足； 当,A在x轴上方时，当为锐角时，， 当为钝角时，，所以， 综上，当时，均有，解得，所以；同理，当A在x轴下方时，故D错误. 小结、抛物线焦点弦的相关结论 图形 结论 抛物线 ,, , , , 跟踪练习： 1、已知直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 【答案】D 【分析】根据直线和抛物线只有一个公共点确定正确答案. 【解析】直线与抛物线的对称轴平行或与抛物线相切时有一个公共点，所以D选项正确. 2、抛物线在点处的切线的斜率为（    ） A．－1 B． C． D．1 【答案】C 【分析】设切线方程为，联立方程组，，可解. 【解析】根据题意，抛物线在点处的切线的斜率存在， 设切线方程为，联立方程组，得， 则，解得.故选：C. 3．已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，点E(2，0)，线段EF与抛物线C相交于点M，若抛物线C在点M处的切线与直线2x＋y＋2＝0垂直，则抛物线C的方程为(　　) A．x2＝3y B．x2＝12y C．x2＝9y D．x2＝6y 答案：D 解析：抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，设点M的坐标为(x0，y0)，抛物线方程变形为y＝，由y′＝，得抛物线C在点M处的切线斜率为，由抛物线C在点M处的切线与直线2x＋y＋2＝0垂直，得＝，即x0＝，所以y0＝.因为点M在线段EF上，所以＝，所以－＝－，解得p＝3，所以抛物线C的方程为x2＝6y.故选D. 4、已知点在抛物线上，过焦点且斜率为的直线与相交于，两点，过，两点作准线的垂线，垂足点分别为，两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用点坐标求得抛物线方程，联立直线的方程和抛物线的方程，求得，两点的坐标，由此计算出三角形的面积. 【解析】将点坐标代入抛物线方程得，，故抛物线方程为， 故焦点坐标为，准线方程为.过焦点且斜率为的直线方程为， 代入抛物线方程并化简得，解得或. 故 .故选：C. 5．已知抛物线的焦点为，过且斜率为2的直线与交于两点，在准线上的投影分别为，线段分别交轴于点．若，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】作出几何图形，利用几何性质可得分别为线段的中点，再利用直线与抛物线方程联立求解即可. 【详解】抛物线的焦点，准线，令与轴的交点分别为， 由，，得是线段的中点，同理是的中点，则，直线：，设，由消去得，则，因此，所以.故选：B 6．（多选）已知直线l：，抛物线C：，则下列结论正确的是（   ） A．直线l过定点 B．当时，直线l与抛物线C相切 C．当时，直线l与抛物线C有两个公共点 D．当直线l与抛物线C无公共点时，或 【答案】BD 【分析】直接代入点的坐标到直线方程验证后判断A；利用特例判断C；由直线方程与抛物线方程组成方程组，由方程组的解的情况判断BD． 【解析】选项A，因为，因此不是直线所过定点，A错； 选项B，时，直线方程为，代入抛物线方程得，解得，从而， 又直线与抛物线的对称轴不平行，所以直线与抛物线相切，切点为，B正确； 选项C，时，直线方程为，它与抛物线的对称轴平行，直线与抛物线只有一个公共点，C错； 选项D，由得，， 由，得或，D正确．故选：BD． 7、(多选)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l的斜率为且经过点F，与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线C的准线交于点D.若|AF|＝8，则以下结论正确的是(　　) A．p＝4 B．＝ C．|BD|＝2|BF| D．|BF|＝4 答案：ABC 解析：如图所示，分别过点A，B作抛物线C的准线的垂线，垂足分别为点E，M，连接EF.设抛物线C的准线交x轴于点P，则|PF|＝p.因为直线l的斜率为，所以其倾斜角为60°.因为AE∥x轴，所以∠EAF＝60°，由抛物线的定义可知，|AE|＝|AF|，则△AEF为等边三角形，所以∠EFP＝∠AEF＝60°，则∠PEF＝30°，所以|AF|＝|EF|＝2|PF|＝2p＝8，得p＝4，故A正确；因为|AE|＝|EF|＝2|PF|，且PF∥AE，所以F为AD的中点，则＝，故B正确；因为∠DAE＝60°，所以∠ADE＝30°，所以|BD|＝2|BM|＝2|BF|，故C正确；因为|BD|＝2|BF|，所以|BF|＝|DF|＝|AF|＝，故D错误．故选ABC. 8．（多选）已知O为坐标原点，经过点的直线与抛物线交于、两点，直线：是线段AB的垂直平分线，且与的交点为，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C． D． 【答案】BC 【分析】根据题意，设直线的方程为，与抛物线方程联立化简整理，由韦达定理判断A；由条件可得直线的方程，利用弦长公式求出，并求出原点到直线的距离，计算可判断B；由中点坐标公式及点在直线上，求出可判断C；根据及可判断D. 【详解】 根据题意可知直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，， 与抛物线方程联立，可得，∴，， ∴，，对于A，若，则，故A错误； 对于B，若，由题意，则，得，∴直线的方程为，，∵，原点到直线的距离，∴，故B正确；对于C，由题意为线段的中点，则，即，又，点在直线上，则，故C正确；对于D，由，得，则，∴由得，又，解得，故D错误，故选：BC. 9．（多选）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，过点作直线交抛物线于，两点，则（   ） A．的最小值为4 B．以线段为直径的圆与直线相切 C．当时，则 D． 【答案】BCD 【分析】由题设可得，，设，联立抛物线并应用韦达定理得，，应用弦长公式、抛物线的定义求弦长，确定的中点横坐标，即可得判断A、B、C；应用向量数量积的坐标表示及韦达公式化简判断D. 【详解】由题设，则，，可设，联立抛物线得，显然，所以，，则 ，当且仅当时等号成立，A错；由抛物线的定义知，而的中点横坐标为，所以的中点与直线的距离为，即为的一半，所以以线段为直径的圆与直线相切，B对；若，且，则，而， 所以，则，所以， 则，C对； 由，D对.故选：BCD 10．（多选）设抛物线的焦点为，准线为，经过点的直线交于两点，为坐标原点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则直线的倾斜角为 B．以线段为直径的圆与相切 C．存在直线，使得 D．若直线交于点，则 【答案】BD 【分析】对于A选项：先设直线方程与抛物线联立，得出和的值，再结合求出，进而得到直线斜率和倾斜角.对于B选项：利用抛物线定义，找到AB中点到准线距离与的关系，判断圆与准线是否相切.对于C选项：通过向量垂直性质，计算，看是否能满足.对于D选项：先求出直线AO与准线交点的纵坐标，再结合，判断与纵坐标是否相同，确定BD与准线的位置关系. 【详解】对于A选项，抛物线的焦点，准线.设直线AB的方程为，，.联立，消去得，则，. 由抛物线的定义知，.因为，所以，即.又，联立可解得，则直线AB的斜率，倾斜角为或，所以A选项错误. 对于B选项，设AB的中点为，过，，分别作准线的垂线，垂足分别为.根据抛物线的定义，，，则.所以以线段AB为直径的圆与相切，B选项正确. 对于C选项，，，若，则.由，，可得，则，所以不存在直线AB使得，C选项错误. 对于D选项，直线AO的方程为，令，得.因为，所以. 又，则，所以点的纵坐标与点的纵坐标相同，即，D选项正确.故选：BD.    11．（多选）（2026·安徽合肥·一模）已知抛物线的焦点为，以为圆心，为半径得到圆，圆上有一点．过点的直线与交于两点，与圆另交于点，则（    ） A． B．当时，的横坐标为 C．当时， D． 【答案】AC 【分析】写出圆的方程，利用给定点求出，设出直线方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理，即可逐个选项判断． 【详解】抛物线的焦点为，圆方程为， 对于A，由点在圆上，得，而，则，A正确； 抛物线的焦点为，设直线方程为， 由对称性不妨令点在第一象限，由，得，则， 对于B，由，得，解得，B错误； 对于C，由选项B得点，直线斜率，即， 则，而，因此，C正确； 对于D，， 又， 且圆的弦，因此不一定小于，D错误． 12．（多选）（2026·河南南阳·一模）已知抛物线的焦点为，准线为，为坐标原点，过点的直线与抛物线交于，两点，分别过点，作的垂线，垂足分别为，，若为等边三角形，则（    ） A．直线的斜率为 B． C．的周长为12 D．，，三点共线 【答案】BCD 【详解】对于A项，抛物线的焦点为，准线为，设，，则 由抛物线的定义得到，因为为等边三角形，则， 即，即化简得到，解得或（舍去），所以，所以直线的斜率为，故A错误； 对于B，根据对称性，取直线的斜率为，则直线方程为， 联立方程，得到，解得（点）或（点） 由抛物线定义，，故B正确； 对于C项，由抛物线定义，所以等边的周长为，故C正确； 对于D项，根据对称性，取，则，因为，，所以且过原点O，故，，三点共线，同理可得当时，，三点也共线，故D正确. 13. 已知抛物线，点为直线上一动点，过点作直线,与抛物线分别切于点,，则0. [解析]由，得，则，设，，， 所以，， 所以切线的方程为，即， 切线的方程为，即，又两条切线均过点， 所以，， 所以，是方程， 即的两个实根，得，， 此时，所以,所以. 14．已知P为抛物线上一点，过点P作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物线交于两点，若直线的斜率为，则点P的坐标为 ． 【答案】 【分析】由题意设出直线的方程，联立直线与抛物线方程，写出韦达定理，设出动点的坐标，表示出直线的斜率，由题意建立方程，可得答案. 【详解】    由题意设直线的方程为，联立，消去，可得， 由，设，，则，，设， 则直线的斜率，直线的斜率， 由题意可得，化简可得，则，解得，所以. 15．（2026·天津东丽·一模）已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，以线段为直径的圆与直线相交于，两点，则_________． 【答案】 【分析】根据题意求得，进而可得圆的方程，再利用几何法可得. 【详解】抛物线的准线为，因为点在上，所以，得， 所以抛物线的焦点为，线段的中点坐标为，，所以以线段为直径的圆的方程为，其圆心为，半径为，设圆心到直线的距离为，则，. 16．如图，已知直线l与抛物线交于A，B两点，且，于点. (1)求直线l的方程； (2)求p. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由D的坐标求出OD所在直线的斜率，进一步得到AB所在直线的斜率，由直线方程的点斜式得答案； （2）设出A，B的坐标，由得到A，B横纵坐标的关系，联立直线和抛物线方程，消元后利用根与系数的关系求解． 【详解】（1）由题意，得直线的斜率，因为，所以直线的斜率.又点的坐标为，所以直线的方程为，即. （2）由得，设，则.① 因为，所以，即. 又因为，所以.②将①代入②，得.又，所以. 17、抛物线Γ：y2＝2px(p＞0)的图象经过点M(1，－2)，焦点为F，过点F且倾斜角为θ的直线l与抛物线Γ交于A，B两点，如图． (1)求抛物线Γ的标准方程； (2)当θ＝时，求弦AB的长； (3)已知点P(2，0)，直线AP，BP分别与抛物线Γ交于C，D两点．证明：直线CD过定点． 解：(1)因为抛物线Γ：y2＝2px的图象经过点M(1，－2)， 所以(－2)2＝2p，所以p＝2，所以抛物线Γ的标准方程为y2＝4x. (2)由(1)知F(1，0)，当θ＝时，tan＝，所以直线l的方程为y＝(x－1)， 联立得3x2－10x＋3＝0，则x1＋x2＝， 所以|AB|＝x1＋x2＋p＝，所以弦AB的长为. (3)证明：由(1)知F(1，0)，直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，联立得y2－4my－4＝0，Δ＝16m2＋16＞0， 因此y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.设直线AC的方程为x＝ny＋2， 联立得y2－4ny－8＝0，则Δ＝16n2＋32＞0， 因此y1＋y3＝4n，y1y3＝－8，得y3＝，同理可得y4＝， 所以kCD＝＝＝＝＝－＝. 因此直线CD的方程为x＝2m(y－y3)＋x3，由对称性知，定点在x轴上， 令y＝0，得x＝－2my3＋x3＝－2my3＋＝－2m·＋＝＋＝＋＝4＋4 ＝4＋4·＝4，所以直线CD过定点(4，0)． 18．抛物线:，为的焦点，过抛物线外一点作抛物线的两条切线，，是切点. (1)若点的纵坐标为，求证：直线恒过定点； (2)若||＝，求面积的最大值; (3)证明：||·||=. 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)证明见解析 【分析】（1）利用导数分别求出直线和直线的方程，由直线和直线都过即可求出直线的方程，再根据点的纵坐标为，即可得到直线恒过定点； （2）将直线的方程与抛物线的方程联立，利用弦长公式求出，利用点到直线距离公式求出的高，即可求出面积的最大值. （3）设直线方程为，与抛物线方程联立，可得，直线的方程为，进而可得直线的方程为，求得，进而可得，可得结论. 【详解】（1）设，，由得，则直线的方程为，即，即，同理，直线的方程为 ，又直线与直线都过，则，，从而均在直线上，故直线的方程为，又，故直线的方程为，故直线过定点； （2）联立，得，，则， 则， 于是，，又点N到直线AB的距离， 所以 (当时取等号).则面积的最大值为； （3）由题意知直线斜率存在，且.设直线方程为， 由，得，，. 对求导，，所以， ，直线的方程为，又，直线的方程为，同理可得直线的方程为.由，得，所以， 当时，||=||=2，，所以||·||=； 当时，，，又，， 所以.所以||·||=，综上：||·||=. 学科网（北京）股份有限公司 $