第2章 第8讲 对数与对数函数 课后达标检测(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学（创新版）

**基本信息** 聚焦对数函数与运算，以题载法构建“概念-性质-应用”逻辑链，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |对数运算|2题|对数性质转化、换底公式|从定义到运算律，构建运算体系| |函数性质|5题|分类讨论、单调性分析|性质（奇偶/单调）与图象结合，深化概念理解| |综合应用|7题|换元法、数形结合、恒成立问题转化|运算与性质综合，提升问题解决能力|

　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．lg 2－lg －e2ln 2的值为(　　) A．－3 B．－2 C．－1 D．－ 解析：选A.lg 2－lg －e2ln 2＝lg 2＋lg 5－eln 22＝lg 10－22＝－3. 2．(2026·安康模拟)已知a＝ln ，b＝，c＝log23，则(　　) A．a<b<c B．a<c<b C．c<b<a D．b<c<a 解析：选A.由已知得a＝ln <ln e＝1，b＝，c＝log23>log22＝，则a<b<c. 3．已知函数f(x)＝logax＋2(a＞0，且a≠1)在区间上的最大值为4，则a的值为(　　) A． B．2 C． D．2或 解析：选D.当a＞1时，f(x)在上单调递增，则f(x)max＝f(4)＝loga4＋2＝4，所以a＝2；当0＜a＜1时，f(x)在上单调递减，则f(x)max＝f＝loga＋2＝4，所以a＝. 4．(2026·长沙模拟)已知lg a＋lg b＝0(a>0，b>0，且a≠1，b≠1)，则函数f(x)＝a－x与g(x)＝logbx的图象可能是(　　) 解析：选B.由lg a＋lg b＝0可知，＝b， 故f(x)＝a－x＝bx，故函数f(x)＝a－x与函数g(x)＝logbx的单调性相同，结合选项，B符合题意． 5．定义：区间[x1，x2](x1<x2)的长度等于x2－x1，函数y＝(a>1)的定义域为[m，n](m<n)，值域为[0，1].若区间[m，n]长度的最小值为，则实数a的值为(　　) A． B．2 C． D．4 解析：选D. 如图所示，作出y＝(a>1)的图象，令y＝f(x)，而f(1)＝0，故要使值域为[0，1]，f(x)定义域中必含有1，从图中可以看出最小区间长度为1－x1＝，解得x1＝，即1＝，注意到a>1，解得a＝4，故D正确． 6．(多选)(2026·鹤壁模拟)设a＝log0.22，b＝log152，c＝，则(　　) A．ab<c B．<ab C．c< D．<c 解析：选AC.因为a＝log0.22，b＝log152，所以a<0，b>0，所以ab<0， 因为＝＋＝log20.2＋log215＝log23>1，0<c＝<1，所以ab<c<，所以B，D错误，A，C正确． 7．不等式log(4x－3)≥2的解集为________． 解析：由log(4x－3)≥2，得log(4x－3)≥log，所以0<4x－3≤，即<x≤，所以不等式log(4x－3)≥2的解集为. 答案： 8．已知函数y＝log2(x2－2ax＋8)在(1，2)上单调递减，则实数a的取值范围为________． 解析：因为函数y＝log2(x2－2ax＋8)在(1，2)上单调递减，y＝log2x在(0，＋∞)单调递增，所以y＝x2－2ax＋8在(1，2)上单调递减，且x2－2ax＋8>0恒成立， 即解得a∈[2，3]. 答案：[2，3] 9．(13分)已知函数f(x)＝ln (2－x)＋ln (2＋x). (1)求函数f(x)的定义域；(2分) (2)判断f(x)的奇偶性，并加以证明；(4分) (3)若f(2m＋1)<ln 3，求实数m的取值范围．(7分) 解：(1)由题意得，2－x>0且2＋x>0，解得－2<x<2，所以函数f(x)的定义域为(－2，2). (2)f(x)为偶函数，证明如下：因为f(x)的定义域为(－2，2)，关于原点对称， 又f(－x)＝ln (2＋x)＋ln (2－x)＝f(x)， 所以f(x)为偶函数． (3)f(2m＋1)＝ln (1－2m)＋ln (2m＋3)＝ln [(1－2m)(2m＋3)]<ln 3， 则 化简得 解得－<m<－1或0<m<，故实数m的取值范围为∪. 10．设函数f(x)＝(x＋a)ln (x＋b).若f(x)≥0，则ab的最小值为(　　) A．－ B．－ C． D． 解析：选B.函数f(x)的定义域是(－b，＋∞)，当x＋a＝0时，得x＝－a，当ln (x＋b)＝0时，得x＝1－b，当－b<x<1－b时，ln (x＋b)<0，则x＋a≤0恒成立，又y＝x＋a在区间(－b，1－b)上单调递增，则1－b＋a≤0，当x≥1－b时，ln (x＋b)≥0，则x＋a≥0恒成立，又y＝x＋a在区间[1－b，＋∞)上单调递增，则1－b＋a≥0，由f(x)≥0，得1－b＋a＝0，则b＝a＋1，所以ab＝a(a＋1)＝2－，当a＝－，b＝时，ab的最小值为－. 11．(多选)已知函数f(x)＝ln (x2－ax－a－1)，下列说法错误的有(　　) A．存在实数a，使得f(x)的定义域为R B．若函数f(x)在区间(2，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是(－∞，1) C．对任意正实数a，f(x)的值域为R D．函数f(x)一定有最小值 解析：选ABD.对于A，函数f(x)＝ln (x2－ax－a－1)的定义域为R时，x2－ax－a－1>0对x∈R恒成立，所以Δ＝a2＋4a＋4＝(a＋2)2<0，无解，A错误；对于B，因为y＝ln t是增函数，函数f(x)在区间(2，＋∞)上单调递增，所以y＝x2－ax－a－1在区间(2，＋∞)上单调递增且x2－ax－a－1>0在x∈(2，＋∞)上恒成立，所以解得a≤1，B错误；对于C，要使f(x)＝ln (x2－ax－a－1)的值域为R，则函数y＝x2－ax－a－1的值域M需满足(0，＋∞)⊆M，所以Δ＝a2＋4a＋4＝(a＋2)2≥0，得a∈R，故对任意正实数a，f(x)的值域为R，C正确；对于D，由C可知a>0时，f(x)的值域为R，不存在最小值，D错误． 12．已知定义在R上的函数f(x＋1)为偶函数，且f(x)在[1，＋∞)上单调递增，a＝f(eln 4)，b＝f(0.20.3)，c＝f(log30.5)，则a，b，c的大小关系为________．(用“< ”连接) 解析：由题意可知f(x) 的图象关于直线x＝1 轴对称，因为f(x) 在[1，＋∞) 上单调递增，所以f(x) 在(－∞，1]上单调递减，因为y＝log3x在定义域上单调递增，y＝0.2x 在定义域上单调递减，即0<0.20.3<0.20＝1，－1＝log3<log30.5<0，又eln 4＝4，所以f(－2)＝f(4)＝a，而－2<log30.5<0.20.3<1，故f(－2)>f(log30.5)>f(0.20.3)，即b<c<a. 答案：b<c<a 13．(15分)已知函数f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x. (1)当x∈[1，4]时，求函数h(x)＝[f(x)＋1]·g(x)的值域；(5分) (2)如果对任意的x∈[1，4]，不等式f(x2)·f()＞k·g(x)恒成立，求实数k的取值范围．(10分) 解：(1)h(x)＝(4－2log2x)log2x ＝2－2(log2x－1)2. 因为x∈[1，4]，所以log2x∈[0，2]， 故函数h(x)的值域为[0，2]. (2)由f(x2)·f()＞k·g(x)， 得(3－4log2x)(3－log2x)＞k·log2x， 令t＝log2x，因为x∈[1，4]， 所以t＝log2x∈[0，2]， 所以(3－4t)(3－t)＞kt对一切t∈[0，2]恒成立， ①当t＝0时，k∈R； ②当t∈(0，2]时，k＜恒成立， 即k＜4t＋－15， 因为4t＋≥12，当且仅当4t＝， 即t＝时取等号， 所以4t＋－15的最小值为－3. 所以k＜－3. 综上，实数k的取值范围为(－∞，－3). 14．已知函数f(x)的定义域为D，若满足：①f(x)在D内是单调函数；②存在[m，n]⊆D，使得f(x)在[m，n]上的值域为[2m，2n]，那么就称函数f(x)为“二倍函数”．若函数f(x)＝loga(ax＋3t)(a>0且a≠1)是“二倍函数”，则实数t的取值范围为(　　) A． B． C． D． 解析：选A.根据题意可知当a>1时，由复合函数的单调性可得f(x)＝loga(ax＋3t)单调递增，当0<a<1时，由复合函数的单调性可得f(x)＝loga(ax＋3t)单调递增，因此可知f(x)为增函数， 则 即可得因此可得方程a2x－ax－3t＝0有两个不相等的实根m，n. 令ax＝p(p>0)，可得关于p的一元二次方程p2－p－3t＝0有两个不相等的正根p1，p2，因此解得－<t<0.可得实数t的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $