第8章 第3讲 圆的方程及位置关系(课件PPT)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学（创新版）

该高中数学高考复习课件聚焦“圆的方程及位置关系”专题，依据课标要求系统梳理圆的定义、标准方程与一般方程，直线与圆、圆与圆位置关系的判定方法，通过高频考点分析明确圆的方程求解、位置关系判断等核心考查方向，归纳直接法、待定系数法等常考题型。 课件亮点在于“真题研析+方法提炼+素养培养”，如结合教材习题变式，用几何法分析圆上点到直线距离问题，培养数学思维与几何直观素养，提供圆系方程等解题技巧，帮助学生掌握答题策略，教师可据此精准指导，提升复习效率。

第3讲　圆的方程及位置关系 课标要求 1.回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程．　2.能根据给定的直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系． 返回导航 内 容 索 引 落实必备知识 1 1 探究核心题型 2 落实必备知识 第一部分 4 1．圆的定义及方程 定点 定长 提醒　当D2＋E2－4F>0时，此方程表示的图形是圆；当D2＋E2－4F＝0时，此方程表示一个点(－，－)；当D2＋E2－4F<0时，它不表示任何图形． 返回导航 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 ______个 _______个 _______个 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离 d＝ d______r d______r d________r 代数法：由   消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ_____0 Δ______0 Δ________0 2．直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系的判断 2 1 0 ＜ ＝ ＞ ＞ ＝ ＜ 返回导航 3.圆与圆位置关系的判定 (1)几何法 若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下： d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 |r1－r2| |r1－r2| 返回导航 (2)代数法：通过两圆方程组成的方程组的公共解的个数进行判断． 提醒　两圆相切应注意是内切还是外切． 相交 内切或外切 内含或外离 返回导航 1.圆心为(－1，2)且与x轴相切的圆的方程是(　　) A.(x－1)2＋(y＋2)2＝2 B.(x＋1)2＋(y－2)2＝2 C.(x－1)2＋(y＋2)2＝4 D.(x＋1)2＋(y－2)2＝4 解析：因为圆心为(－1，2)且与x轴相切，所以半径r＝2， 则圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4. D 返回导航 2.（选择性必修第一册P98练习T1改编）圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋9＝0的位置关系是(　　) A.内切 B．相交 C.外切 D．相离 解析：圆C1：x2＋y2＝1的圆心C1(0，0)，半径r1＝1， 圆C2：x2＋y2－6x－8y＋9＝0，即C2：(x－3)2＋(y－4)2＝16， 圆心C2(3，4)，半径r2＝4，则|C1C2|＝＝5＝r1＋r2，所以两圆外切． C 返回导航 3.（多选）直线3x－4y＋m＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相切，则m的值是(　　) A.6 B．－6 C.4 D．－4 AD 返回导航 4.（选择性必修第一册P102 T7改编）若方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则实数a的取值范围是_____________Ｗ． 解析：方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0可化为(x＋a)2＋(y＋a)2＝1－a，它表示圆，需满足1－a＞0，故a＜1. (－∞，1) 返回导航 5.过直线2x－y＋1＝0和圆x2＋y2－2x－15＝0的交点且过原点的圆的方程是__________________________Ｗ． 解析：设所求圆的方程为x2＋y2－2x－15＋λ(2x－y＋1)＝0， 因为该圆过原点，所以可得－15＋λ＝0， 解得λ＝15， 将λ＝15代入所设方程并化简可得所求圆的方程为x2＋y2＋28x－15y＝0. x2＋y2＋28x－15y＝0 返回导航 常用结论 1.以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0. 2.过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R). 3.过两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0（λ≠－1，此圆系不含C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0）.特别地．当λ＝－1时，上述方程为一次方程，两圆相交时，表示公共弦所在的直线方程；两圆相切时，表示公切线所在的直线方程． 返回导航 探究核心题型 第二部分 15 [例1] (1)圆C的圆心在y轴上，且过A(3，1)，B(－3，5)两点，则圆C的方程为(　　) A．x2＋(y－1)2＝17 B．x2＋(y－3)2＝17 C．x2＋(y＋1)2＝13 D．x2＋(y－3)2＝13 　 D 题型一——圆的方程 返回导航 返回导航 返回导航 (2)经过点P(1，1)以及圆x2＋y2－4＝0与x2＋y2－4x＋4y－12＝0交点的圆的方程为___________________Ｗ． 则圆x2＋y2－4＝0与x2＋y2－4x＋4y－12＝0的交点坐标为(0，2)，(－2，0)， 设经过点P(1，1)以及(0，2)，(－2，0)的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， x2＋y2＋x－y－2＝0 返回导航 满足D2＋E2－4F>0，故经过点P(1，1)以及圆x2＋y2－4＝0与x2＋y2－4x＋4y－12＝0交点的圆的方程为x2＋y2＋x－y－2＝0. 方法二：设所求圆的方程为x2＋y2－4x＋4y－12＋λ(x2＋y2－4)＝0， 因为所求圆经过P(1，1)，代入该点得－10－2λ＝0，即λ＝－5， 故所求圆的方程为x2＋y2－4x＋4y－12－5(x2＋y2－4)＝0，即x2＋y2＋x－y－2＝0. 返回导航 【素养小结】　求圆的方程的两种方法 (1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出圆的方程． (2)待定系数法 ①若已知条件与圆心(a，b) 和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r 的方程组，从而求出a，b，r 的值； ②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F 的方程组，进而求出D，E，F 的值． 注意　解答与圆有关的问题时，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质． 返回导航 A [对点训练] 返回导航 2.已知△ABC三个顶点的坐标分别是A(1，1)，B(4，2)，C(3，0)，则△ABC外接圆的方程是_____________________________________________Ｗ． 所以△ABC外接圆的方程为x2＋y2－5x－3y＋6＝0. 返回导航 返回导航 [例2] (1)（2026·武汉模拟）已知直线l：ax＋by＝r2，圆C：x2＋y2＝r2(r＞0)，则“点P(a，b)在圆C外”是“直线l与圆C相交”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 C 题型二——直线与圆的位置关系 返回导航 因此直线l与圆C相交，即“点P(a，b)在圆C外”是“直线l与圆C相交”的充分条件； 因此点P(a，b)在圆C外，即“点P(a，b)在圆C外”是“直线l与圆C相交”的必要条件， 所以“点P(a，b)在圆C外”是“直线l与圆C相交”的充要条件． 返回导航 B 返回导航 返回导航 返回导航 本例(2)源于人教A版选择性必修第一册P99T13，已知圆x2＋y2＝4，直线l：y＝x＋b.b为何值时，圆上恰有三个点到直线l的距离都等于1？ 相似度　首先，教材习题是定圆与动直线，求解直线方程中的参数；真题是定直线与动圆，求解圆的方程中的参数．其次，两题考查的满足距离条件的点的个数不同． 变式点　真题还可以从研究满足条件的点的个数或改变参数意义，进行如下变式． 返回导航 细研真题 [变式1]　已知圆(x－1)2＋(y－1)2＝9上的点P到直线3x－4y＋11＝0的距离为1，则满足条件的点P的个数为(　　) A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．4 如图，故到直线3x－4y＋11＝0的距离为1的点P共有3个． C 返回导航 细研真题 直线AB的方程为y－a＝2(x－1)，即2x－y＋a－2＝0. 返回导航 细研真题 如图，过点O作OD⊥AB，垂足为E，交圆O于点D. 返回导航 细研真题 【素养小结】 判定直线与圆的位置关系的两种方法 (1)几何法：求出圆心到直线的距离d，利用d与半径r的大小关系判定． (2)代数法：联立方程后利用解的情况判定． 返回导航 题型三——圆与圆的位置关系 [例3] 已知A(0，0)，B(8，－6)，圆C1是以线段AB为直径的圆，圆C2：x2＋(y＋2)2＝4. (1)求圆C1的标准方程； 返回导航 (2)求C1与C2的公切线条数，并探究C1与C2是否有公共弦，若有，求出公共弦的一般式方程；若没有，请说明理由． 返回导航 【素养小结】　 圆与圆的位置关系的求解策略 (1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法． (2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2项和y2项得到． 返回导航 已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0和圆C2：x2＋y2＋2x＝0. (1)当m＝1时，判断圆C1和圆C2的位置关系； [对点训练] 解：当m＝1时，圆C1的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，则C1(1，－2)，半径r1＝3， 圆C2的标准方程为(x＋1)2＋y2＝1，则C2(－1，0)，半径r2＝1， 返回导航 (2)是否存在实数m，使得圆C1和圆C2内含？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 解：不存在，理由如下： 圆C1的方程可化为(x－m)2＋(y＋2)2＝9，则C1(m，－2)，半径r1＝3. 由(1)可知，C2(－1，0)，半径r2＝1. 故不存在实数m，使得圆C1和圆C2内含． 返回导航 定义 平面上到_____________的距离等于_____________的点的集合叫做圆 标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) 圆心C(a，b) 半径为r 一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F＞0) 充要条件：D2＋E2－4F＞0 圆心C_____________ 半径r＝ 位置关系 图示 d与r1，r2的关系 外离 _____________ 外切 _____________ 相交 _____________ 内切 d＝_____________ (r1≠r2) 内含 0≤d＜_____________(r1≠r2) [变式2]　在平面直角坐标系xOy中，已知A(1，a)，B(3，a＋4)，若圆x2＋y2＝4上有且仅有四个不同的点C，使得△ABC的面积为，则实数a的取值范围是__________________Ｗ． $