第7章 一题一课 深析球的切、接问题(课件PPT)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学（创新版）

该高中数学高考复习课件聚焦“球的切接问题”专题，依据高考评价体系梳理了棱切球、多球相切两大核心考点，结合近年客观题命题趋势，通过母题延伸与真题解析（如2025全国二卷、2026合肥模拟），归纳出正三棱锥、圆柱、正四面体等常考模型，构建针对性备考体系。 课件亮点在于“母题探究+技法提炼+素养提升”策略，如例1正三棱锥棱切球通过截面图转化空间问题为平面几何，培养数学思维；例2圆柱内两球相切利用球心距列方程，强化数学语言表达。特设“技法点拨”与“尝试训练”，帮助学生掌握转化思想，教师可精准突破高频考点，提升复习效率。

一题一课　深析球的切、接问题 球的切、接问题是高考的热点内容，常以客观题的形式出现，近年考查球的切接问题有所变化，一是与多面体的棱相切，二是多球相切，解决此类问题的关键是平面化或转化为特殊几何体的切、接问题来解决． 返回首页 母题 人教A版必修第二册P119例4 如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积之比. 返回首页 感悟　母题围绕球与圆柱，展现了通过几何体基本参数与公式研究体积关系的思路；由此可延伸出棱切球(如正方体的棱切球，需结合面对角线等研究体积关系)、多球相切(如多等径球外切时，利用球心距与半径的关系，结合几何体性质求解相关问题)，下面让我们对棱切球，多球相切进行探究！ 返回首页 探究一——球与几何体棱相切 返回首页 返回首页 返回首页 【技法点拨】　对于球与空间几何体的棱相切的问题，一般过球心及多面体的特殊点(一般为切点)或线作截面图构建等量关系，把空间问题转化为平面问题求解． 返回首页 探究二——多球相切 [例2] (1)(2025·全国二卷)一个底面半径为4 cm，高为9 cm 的封闭圆柱形容器(容器壁厚度忽略不计)内有两个半径相 等的铁球，则铁球半径的最大值为________ cm. 【解析】　圆柱的底面半径为4 cm，设铁球的半径为r， 且0<r＜4， 由圆柱与球的性质知AB2＝(2r)2＝(8－2r)2＋(9－2r)2， 即4r2－68r＋145＝(2r－5)·(2r－29)＝0， 因为0<r＜4，所以r＝2.5. 2.5 返回首页 (2)(2026·合肥模拟)某零件的结构模型如图，中间大球为正 四面体的内切球，小球与大球、正四面体的三个面均相切． 若AB＝12，则该模型中一个小球的体积为________． 返回首页 返回首页 返回首页 【技法点拨】　处理多球相切问题的核心是抓住“球心距与球半径的关系”，并结合空间几何体(正多面体、坐标系等)的性质来分析和计算． 返回首页 A 返回首页 返回首页 C 返回首页 返回首页 B 返回首页 返回首页 返回首页 设最小球的球心为J，中等球的球心为K. 由题意知两球均与直线AE相切，设切点分别为H，G， 连接HJ，KG，则HJ，KG分别为最小球和中等球的半径，长度分别设为a，b， 则AJ＝3HJ＝3a，AK＝3GK＝3b，则JK＝AK－AJ＝3b－3a，又JK＝a＋b， 所以3b－3a＝a＋b，解得b＝2a. 返回首页 4．(2025·河北“五个一”名校联盟联考)如图，一个半球容器(有盖)的半径为10分米，忽略容器的厚度，若在该容器内放入两个半径均为r分米的球，则r的最大值为___________分米． 返回首页 2－ π 解析：如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，棱长为2， 所以四面体A1­BDC1是棱长为2的正四面体， 当正四面体的各条棱都与同一球面相切时， 该球为正方体的内切球，半径为1，所以该球的体积为，因为正四面体的体积为8－4×××2×2×2＝8－＝，所以该球与此正四面体的体积之比为＝. 10(－1) $