第7章 第10讲 微专题——翻折、探索、最值(范围)问题(课件PPT)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学（创新版）

该高中数学高考复习课件聚焦立体几何翻折、探索、最值（范围）三大核心考点，依据高考评价体系梳理空间位置关系证明、二面角求解、存在性判断等考查要求，通过真题与模拟题分析明确翻折问题占35%、最值问题占40%的高频考点分布，归纳出“不变量分析”“向量参数法”等常考题型解法。 课件亮点在于“真题精讲+素养提升”的备考策略，如以2025全国二卷翻折问题为例，通过二面角定义转化垂直关系培养数学思维，以探索型问题设参数列方程强化数学语言表达。特设“易错点警示”和“母题变式训练”，帮助学生掌握空间向量法等得分技巧，教师可据此系统开展专题复习，提升备考效率。

第10讲　微专题——翻折、探索、最值(范围)问题 [例1] (2025·全国二卷)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，F为CD的中点，点E在AB上，EF∥AD，AB＝3AD，CD＝2AD.将四边形EFDA沿EF翻折至四边形EFD′A′，使得面EFD′A′与面EFCB所成的二面角为60°. 题型一——翻折问题 返回首页 (1)证明：A′B∥平面CD′F； 证明：如图，过点C作CG∥EF交EB于点G，连接A′G. 因为EF∥AD，AB∥CD，∠DAB＝90°，所以四边形EFDA为矩形，四边形EFCG为矩形，所以EF綉AD，EF綉CG，所以CG綉AD，所以CG綉A′D′，所以四边形A′D′CG为平行四边形，所以CD′∥A′G.又A′G⊂平面A′BE，CD′⊄平面A′BE，所以CD′∥平面A′BE. 因为CF∥EB，EB⊂平面A′BE，CF⊄平面A′BE，所以CF∥平面A′BE. 又CD′，CF⊂平面CD′F，CD′∩CF＝C，所以平面CD′F∥平面A′BE.因为A′B⊂平面A′BE，所以A′B∥平面CD′F. 返回首页 (2)求面BCD′与面EFD′A′所成的二面角的正弦值． 【解】由(1)知A′E⊥EF，EB⊥EF，所以由二面角的定义可知，∠A′EB即为平面EFD′A′与平面EFCB所成二面角的平面角，所以∠A′EB＝60°，同理∠D′FC＝60°. 又D′F＝DF＝FC，所以△D′FC为等边三角形．过点A′作A′H⊥EB交EB于点H. 因为EF⊥EB，EF⊥A′E，A′E∩EB＝E，A′E，EB⊂平面A′EB，所以EF⊥平面A′EB，又A′H⊂平面A′EB，所以EF⊥A′H.又A′H⊥EB，EB∩EF＝E，EB，EF⊂平面EFCB，所以A′H⊥平面EFCB.因此以F为坐标原点，直线FE、直线FC、过点F且平行于A′H的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系． 返回首页 返回首页 返回首页 【素养小结】　处理翻折问题的关键是结合图形弄清翻折前后变与不变的关系，尤其是隐含的垂直关系．一般地，翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一平面上的性质发生变化． 返回首页 (1)证明：B1C∥平面DMN； [对点训练] 返回首页 (2)若CD＝AD，求直线DN与平面AB1C所成角的正弦值． 解：由AB＝AC，D为BC的中点，得AD⊥BC， 将△ABD沿AD折起后，AD⊥CD，AD⊥B1D，则∠B1DC是二面角B1-AD-C的平面角， 所以∠B1DC＝120°， 又CD∩B1D＝D，CD，B1D⊂平面B1CD，则AD⊥平面B1CD，在平面B1CD内过点D作Dx⊥CD， 以D为坐标原点，直线Dx，DC，DA分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图， 返回首页 返回首页 (1)求证：PA⊥DE； 题型二——探索型问题 返回首页 返回首页 【解】取AD的中点O，连接PO，OB， 又PA＝PD，所以PO⊥AD， 又平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD＝AD，PO⊂平面PAD，所以PO⊥底面ABCD， 返回首页 又易知DE∥BO，所以BO⊥OA，所以OP，OA，OB两两垂直． 返回首页 返回首页 【素养小结】　(1)对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等． (2)对于位置探究型问题，通常借助向量，引进参数，综合已知和结论列出等式，解出参数． 返回首页 (1)证明：PA⊥平面ABCD； 因为AB，BD⊂平面ABCD，且AB∩BD＝B，所以PA⊥平面ABCD. [对点训练] 返回首页 解：取棱CD的中点F，连接AF，因为四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，所以△ACD为等边三角形，故AF⊥CD，AF⊥AB. 又PA⊥平面ABCD，AB，AF⊂平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AF，故AB，AF，AP两两垂直， 返回首页 返回首页 返回首页 证明：因为EA，CD均垂直于平面ABC，所以EA∥CD， 取AB的中点M，连接FM，CM， 又F是BE中点，所以FM∥EA且FM＝1， 又CD∥AE且CD＝1，故四边形FMCD是平行四边形，所以FD∥CM，又FD⊄平面ABC，CM⊂平面ABC， 所以FD∥平面ABC. [例3] (2026·青岛模拟)如图，已知底面ABC是正三角形，EA⊥平面ABC，CD⊥平面ABC，EA＝AB＝2. (1)若CD＝1，F是BE中点，证明：FD∥平面ABC； 题型三——最值(范围)问题 返回首页 (2)求直线CE与平面EBD所成角的正弦值的最大值． 【解】令CD＝a(a>0)，取AC的中点为O，连接BO，过O作OZ∥AE，且交DE于点Z， 因为OZ∥AE，AE⊥平面ABC，所以OZ⊥平面ABC， 因为△ABC是正三角形，AO＝CO， 所以OB⊥AC， 返回首页 返回首页 返回首页 【素养小结】　空间几何体中的某些对象，如点、线、面，在约束条件下运动，带动相关的线段长度、几何体体积等发生变化，进而就有了面积、体积及角度的最值问题． 定性分析 定量分析 通过观察运动点的位置变化，确定其相关量的变化规律，进而发现相关面积、体积或角度等的变化规律，求得其最大值或最小值 将所求问题转化为某一个相关量的问题，即转化为关于其中一个量的函数，求其最大值或最小值的问题．可用函数法、不等式法、三角函数法等 返回首页 C [对点训练] 返回首页 返回首页 返回首页 返回首页 “动态”问题是高考立体几何问题中最具创新意识的题型，它渗透了一些“动态”的点、线、面等元素，给静态的立体几何题赋予了活力，题意更新颖，同时，由于“动态”的存在，也使立体几何题更多元化，在立体几何问题与平面几何中的解三角形问题、多边形面积问题以及解析几何问题之间建立桥梁，使得它们之间灵活转化，加强了对学生空间想象能力的考查． 立体几何中的动态问题 返回首页 [典例1] (2025·黑龙江一模)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E为棱DD1的中点，点P在面对角线BC1上运动(P点异于B，C1点)，以下说法错误的是(　　) C 类型1——空间位置关系的判定 返回首页 【解析】　对于A，连接BD交AC于点O，连接OE，如图1所示， 因为四边形ABCD为正方形，所以O是BD中点， 又E为棱DD1的中点，所以OE∥BD1， 又OE⊂平面AEC，BD1⊄平面AEC， 所以BD1∥平面AEC，故A正确； 对于B，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图2所示， 返回首页 返回首页 返回首页 返回首页 【素养小结】　解决空间位置关系的动点问题 (1)应用与位置关系相关的定理转化． (2)建立空间直角坐标系计算． 返回首页 (多选)如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，T，G分别为线段AC，BC的中点，△ABE与△BCF分别是以AB，BC为边的等边三角形，现将△ABE与△BCF分别沿AB，BC向上折起，则在翻折的过程中，下列结论中可能正确的是(　　) A．AE⊥BC B．FC⊥AE C．平面ABE∥平面FGT D．BC∥AE ABC [尝试训练] 返回首页 解析：对于A，当平面ABE⊥平面ABC时，因为∠ABC＝90°，所以BC⊥AB，而平面ABE∩平面ABC＝AB，BC⊂平面ABC，故BC⊥平面ABE，而AE⊂平面ABE，故AE⊥BC，故A可能正确； 对于C，当平面ABE和平面BCF同时与平面ABC垂直时， 取AB的中点D，连接DE，FG，GT，FT，由△ABE为等边三角形可得DE⊥AB， 返回首页 平面ABE∩平面ABC＝AB，DE⊂平面ABE，故DE⊥平面ABC， 同理FG⊥平面ABC，故DE∥FG， 而DE⊄平面FGT，FG⊂平面FGT，故DE∥平面FGT， 而TG为Rt△ABC的中位线，故TG∥AB，且AB⊄平面FGT，TG⊂平面FGT，可得AB∥平面FGT， 又因为DE∩AB＝D，DE，AB⊂平面ABE，所以平面ABE∥平面FGT，故C可能成立； 对于D，假设AE与BC可能平行，由BC⊥AB得AE⊥AB，事实上∠BAE＝60°， 假设不成立，因此，AE与BC不可能平行，故D不可能成立． 返回首页 D 类型2——轨迹问题 返回首页 返回首页 返回首页 返回首页 【素养小结】　解决与几何体有关的动点轨迹问题的方法 (1)几何法：根据平面的性质进行判定． (2)定义法：转化为平面轨迹问题，用圆锥曲线的定义判定，或用代数法进行计算． (3)特殊值法：根据空间图形线段长度关系取特殊值或位置进行排除． 返回首页 [尝试训练] 返回首页 返回首页 [例2] (2026·岳阳模拟) 如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，PA＝PD，底面ABCD为平行四边形，BC＝2，CD＝，E为边BC的中点，∠BCD＝. 解析：以A为坐标原点建立空间直角坐标系，如图，因为二面角Q-PD-A的平面角大小为定值，所以点Q的轨迹为平面QPD与平面ABCD的交线，设点Q的轨迹与y轴的交点坐标为Q1(0，b，0)(0<b<1)， $