第7章 第9讲 空间向量的应用(二)(课件PPT)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学（创新版）

该高中数学高考复习课件聚焦“空间向量的应用”专题，依据课标要求系统梳理了异面直线所成角、直线与平面所成角、平面与平面的夹角三大核心考点，通过近三年高考真题分析明确线面角占比35%、面面角占比30%的高频考查权重，归纳出建系求向量、公式算角值的常考题型，对接高考评价体系，体现备考的针对性和实用性。 课件亮点在于“真题研析+解题步骤建模+核心素养培养”的复习策略，如以2025北京卷四棱锥线面角题为例，详解建坐标系、求法向量、用公式的“三步法”，培养学生的数学思维和空间观念。特设“易错陷阱警示”和“变式训练”，帮助学生熟练掌握答题技巧，教师可据此精准指导，助力学生高效冲刺高考。

第9讲　空间向量的应用(二) 课标要求 1.了解利用空间向量求空间角的方法．　2.会求异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及平面与平面的夹角、二面角． 返回导航 内 容 索 引 落实必备知识 1 1 探究核心题型 2 落实必备知识 第一部分 4 提醒　两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系． 返回导航 返回导航 1．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于130°，则直线l与平面α所成的角等于(　　) A．40° B．50° C．130° D．以上均错 解析：因为直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于130°，所以直线l与平面α所成的角等于130°－90°＝40°. A 返回导航 C 返回导航 ABD 返回导航 解析：若m⊥n，则α⊥β，故A为真命题；若l∥α，则a⊥n，故B为真命题； 返回导航 返回导航 5．(选择性必修第一册P43T10改编)设M，N分别是正方体ABCD-A′B′C′D′的 棱BB′和B′C′的中点，则直线MN与平面A′BCD′所成角的正弦值为_____． 返回导航 返回导航 探究核心题型 第二部分 14 题型一——异面直线所成的角 [例1] 如图，已知圆锥的底面半径r＝2，经过旋转轴SO的 截面是等边三角形SAB，点Q为半圆弧AB的中点，点P为 母线SA的中点． (1)求此圆锥的侧面积； 【解】　因为圆锥的底面半径r＝2，经过旋转轴SO的截面是等边三角形SAB，可得SA＝4，所以圆锥的侧面积为π×2×4＝8π. 返回导航 (2)求异面直线PQ与SO所成角的余弦值． 返回导航 返回导航 【素养小结】　用向量法求异面直线所成的角的一般步骤 (1)选择合适的基底或建立空间直角坐标系； (2)求出两直线的方向向量； (3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值； (4)根据异面直线所成角的范围，从而得出异面直线所成的角． 返回导航 [对点训练] (2026·秦皇岛模拟)如图，在四棱锥P­-ABCD中，PB⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，PB＝BA＝AD＝3，BC＝5，点E在棱PA上． (1)若E为PA的中点，证明：BE⊥PD； 证明：因为PB⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以AD⊥PB，因为AD∥BC，AB⊥BC，所以AB⊥AD，又AB，PB⊂平面PAB，AB∩PB＝B，所以AD⊥平面PAB.因为BE⊂平面PAB，所以AD⊥BE，因为PB＝BA，E为PA的中点，所以BE⊥PA，又AD，PA⊂平面PAD，AD∩PA＝A，所以BE⊥平面PAD，因为PD⊂平面PAD，所以BE⊥PD. 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 题型二——直线与平面所成的角 [例2] (2025·北京卷)如图，在四棱锥P­-ABCD中，△ACD与△ABC均为等腰直角三角形，∠ADC＝90°，∠BAC＝90°，E为BC的中点． (1)若F，G分别为PD，PE的中点，求证：FG∥平面PAB； 返回导航 返回导航 由题意知∠DAC＝45°，∠ACB＝45°， 所以AD∥BC，所以FN綉GM， 所以四边形FGMN为平行四边形， 所以FG∥MN， 因为FG⊄平面PAB，MN⊂平面PAB， 所以FG∥平面PAB. 返回导航 (2)若PA⊥平面ABCD，PA＝AC，求直线AB与平面PCD所成角的正弦值． 返回导航 返回导航 返回导航 本题源于人教A版选择性必修第一册P49T14：在正四棱锥S­ABCD中，O为顶点S在底面内的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD.求直线BC与平面PAC所成的角． 相似度　两道题目都围绕四棱锥展开，在空间几何图形的基础架构上相似；均是考查直线与平面所成的角，整体问题的设置方向有相似之处． 返回导航 细研真题 变式点　教材习题是正四棱锥，在利用其对称性方面有独特的解题思路；高考真题是基于底面中等腰直角三角形的边长关系建系求解线面角的相关问题．真题还可以从改变线面平行的对象及线面角的相关条件入手，进行如下变式． 返回导航 细研真题 [变式1]　在本例(1)条件不变的情况下，若H为PC的中点，求证：DH∥平面PAB. 返回导航 细研真题 所以DH∥MA， 因为DH⊄平面PAB，MA⊂平面PAB， 所以DH∥平面PAB. 返回导航 细研真题 [变式2]　若本例(2)中PA＝2AC，其余条件不变，求直线BD与平面PCD所成角的正弦值． 解：因为PA⊥平面ABCD，∠BAC＝90°， 所以以A为原点，AC，AB， AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴 建立如图所示的空间直角坐标系， 返回导航 细研真题 返回导航 细研真题 返回导航 细研真题 返回导航 细研真题 【素养小结】　利用空间向量求线面角的解题步骤 返回导航 题型三——平面与平面的夹角(二面角) [例3] (2026·上海模拟)如图，已知一个由半圆柱与多面体 ABB1A1C构成的几何体，平面ABC与半圆柱的下底面共面， 且AC⊥BC，P为半圆弧A1B1上的动点(P与A1，B1不重合). (1)证明：平面PA1B1⊥平面PBB1； 证明：在半圆柱内，BB1⊥平面PA1B1，PA1⊂平面PA1B1，所以BB1⊥PA1. 因为A1B1为上底面对应圆的直径，所以PA1⊥PB1， 又PB1∩BB1＝B1，PB1⊂平面PBB1，BB1⊂平面PBB1， 所以PA1⊥平面PBB1，因为PA1⊂平面PA1B1，所以平面PA1B1⊥平面PBB1. 返回导航 返回导航 返回导航 【素养小结】　利用空间向量求平面与平面夹角的步骤 返回导航 [对点训练] (2026·巴中模拟)如图，在三棱柱ABC­-A1B1C1中，侧棱A1A⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝1，BC＝2，A1A＝1，点D是AB的中点． (1)证明：AC1∥平面CDB1； 证明：连接BC1，与CB1相交于点E，连接DE， 易知E是BC1的中点，因为D是AB的中点， 所以DE∥AC1， 因为DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1， 所以AC1∥平面CDB1. 返回导航 (2)求平面CDB1与平面CC1B1夹角的正切值． 返回导航 返回导航 返回导航 空间向量与空间角的关系 (1)异面直线所成的角：设异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cos θ＝|cos 〈u，v〉|＝＝. 或1 则＝(0，0，－2)，＝(2，－1，－)， 所以cos 〈，〉＝＝＝. 设异面直线PQ与SO所成的角为θ，θ∈， 则cos θ＝|cos 〈，〉|＝， 故异面直线PQ与SO所成角的余弦值为. 证明：取PA，PB的中点N，M，连接FN，MN，GM， 因为△ACD与△ABC均为等腰直角三角形且∠ADC＝90°，∠BAC＝90°，不妨设AD＝CD＝2， 所以AC＝AB＝2，所以BC＝4. 设平面CA1B1的法向量为n2＝(x，y，z)， 则令z＝1，则x＝－，y＝－， 所以n2＝(－，－，1)，所以|cos 〈n1，n2〉|＝＝， 由图可知，二面角P­A1B1­C为钝角， 所以二面角P­A1B1­C的余弦值为－. $