第7章 第9讲 空间向量的应用(二) 课后达标检测(课件PPT)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学（创新版）
2026-08-12
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教辅
摘要：
该高中数学高考复习课件聚焦立体几何空间向量应用专题，依据高考评价体系梳理了线面角、二面角、异面直线所成角等核心考点，通过近五年真题分析明确线面角计算占30%、法向量应用占40%的高频考点分布，归纳选择、填空、解答题等常考题型，构建完整备考体系。
课件亮点在于“真题溯源+题型建模+素养落地”策略，如以正方体棱长计算、直三棱柱二面角求解为实例，通过法向量坐标运算、向量夹角公式推导培养数学思维（推理能力）和数学语言（模型观念）。设“易错点警示”和“答题步骤模板”，帮助学生掌握得分技巧，教师可据此精准复习，提升备考效率。
内容正文：
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AC
5．(多选)如果a，b分别是平面α，β的一个法向量，设α，β夹角的大小为θ，以a为方向向量的直线l与平面β所成角的大小为φ，则( )
A．sin θ＝sin 〈a，b〉
B．cos θ＝cos 〈a，b〉
C．cos φ＝sin 〈a，b〉
D．sin φ＝cos 〈a，b〉
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解析：由题意知θ与〈a，b〉相等或互补，所以sin θ＝sin 〈a，b〉，cos θ＝|cos 〈a，b〉|，故A正确，B错误；
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7．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AC＝1，且AB⊥AC，异面直线CB1与
C1A1所成的角为60°，则该三棱柱的侧面积为___________．
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8．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是CC1，C1D1和AD的中点，
则过E，F，G三点的截面与底面ABCD夹角的余弦值为________．
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证明：连接AC交BD于点F，连接EF，因为AB∥CD，CD＝2AB，所以FC＝2AF.
又因为PE＝2EA，所以EF∥PC，因为EF⊂平面DBE，PC⊄平面DBE，所以PC∥平面DBE.
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(2)若P，Q运动时，总满足PQ⊥AQ.当△APQ面积最小时，求二面角APQC的大小．(9分)
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14．(多选)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是线段AD，BC上的动点，且AE＝BF，AC与EF交于点G，EF在AB与CD之间滑动，但与AB和CD均不重合．在EF任一确定位置，将四边形EFCD沿直线EF折起，使平面EFCD⊥平面ABFE，则EF从AB向CD滑动的过程中，下列说法中正确的是
( )
A．∠AGC的大小不会发生变化
B．二面角G-AC - B的大小不可能为90°
C．AC与平面ABFG所成的角越来越小
D．AC与EF所成的角先变小后变大
ACD
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3．已知点A，B，C分别在空间直角坐标系Oxyz的三条坐标轴上，A(2，0，0)，B(0，4，0)，C(0，0，2)，设平面ABC与平面ABO的夹角为θ，则 cos θ＝( )
A． B．
C． D．－
解析：设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，由题知＝(－2，4，0)，＝(－2，0，2)，则即取y＝1，则x＝2，z＝2，所以n＝(2，1，2).又平面ABO的法向量可取＝(0，0，2)，所以cos θ＝|cos 〈n，〉|＝＝.
解析：以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设AA1＝a(a>0)，则C(0，1，0)，A1(0，0，a)，B1(1，0，a)，C1(0，1，a)，＝(1，－1，a)，＝(0，－1，0).
2＋2
9．(13分)(2026·景德镇模拟)如图所示，在四棱锥PABCD中，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝AD＝1，CD＝2，PC＝PD＝，点E在棱PA上，且PE＝2EA.
(1)证明：PC∥平面DBE；(5分)
取平面ABCD的一个法向量为n＝(0，0，1)，
设直线A1E与平面ABCD所成的角为θ，θ∈，
则sin θ＝＝≤，当t＝0时，(sin θ)max＝，
即直线A1E与平面ABCD所成的角的最大值为，故D不正确．
12．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记CM＝BN＝a(0<a<)，则当MN的长度最小时，异
面直线MN与AF所成角的余弦值为________．
证明：连接BQ，如图，
因为ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥AC，CC1⊥BC，
设BC＝a，AC＝b，由于AB∥A1B1，
所以cos ∠QAB＝.
根据勾股定理得AQ＝，BQ＝，
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