第7章 第8讲 空间向量的应用(一)(课件PPT)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学（创新版）

该高中数学高考复习课件聚焦“空间向量的应用”专题，依据课标要求覆盖直线方向向量、平面法向量，线线、线面、面面平行垂直的向量证明，以及点到线、点到面距离的向量求法等核心考点，通过主干知识表格化梳理、基本技能题巩固基础、核心题型分类讲解，精准对接高考评价体系。 课件亮点在于“模拟真题训练+典型题型突破+素养导向提升”，如以正方体中证明A₁E⊥BD及E为中点为例，用坐标运算培养数学思维；通过三棱锥中点到直线距离计算，强化运算能力与空间观念。素养小结提炼证明、求距离步骤，助力学生掌握答题技巧，教师可据此高效开展针对性复习。

第8讲　空间向量的应用(一) 课标要求 1.理解直线的方向向量及平面的法向量．　2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系；能用向量方法证明立体几何中有关线面的位置关系．　3.了解利用空间向量求空间距离的方法，能用空间向量求点到线、点到面的距离． 返回导航 内 容 索 引 落实必备知识 1 1 探究核心题型 2 落实必备知识 第一部分 4 1．直线的方向向量与平面的法向量 (1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称向量a为直线l的方向向量． (2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a为平面α的法向量． (3)方向向量和法向量均是非零向量且不唯一． 返回导航 2．空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2 l1∥l2 n1∥n2⇔ ∃k∈R，使得n1＝kn2 l1⊥l2 n1⊥n2⇔ ___________ 直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m l∥α n⊥m⇔_________ l⊥α n∥m⇔∃k∈R，使得n＝km 平面α，β的法向量分别为m1，m2 α∥β m1∥m2⇔∃k∈R，使得m1＝km2 α⊥β m1⊥m2⇔___________ n1·n2＝0 n·m＝0 m1·m2＝0 返回导航 提醒　两条平行直线之间的距离转化为一条直线上的任意一点到另一条直线的距离． 返回导航 提醒　直线与平面、平面与平面之间的距离均可转化为点到平面的距离． 返回导航 A 返回导航 返回导航 A 返回导航 AC 返回导航 返回导航 －8 返回导航 5．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝4，M为底面ABCD的中心，则点C到直线A1M的距离为________． 返回导航 返回导航 探究核心题型 第二部分 17 题型一——利用空间向量证明平行与垂直 [例1] (2026·咸阳月考)如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点． (1)求证：A1E⊥BD； 【证明】　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图，设正方体的棱长为a，则B(a，a，0)，A1(a，0，a)，D(0，0，0). 返回导航 返回导航 (2)若平面A1BD⊥平面EBD，求证：E为CC1的中点． 返回导航 返回导航 返回导航 【素养小结】　利用空间向量证明平行、垂直的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系，建系时，要尽可能地利用已知图形中的垂直关系； (2)建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面等要素； (3)通过空间向量的坐标运算研究平行、垂直关系； (4)根据运算结果证明相关问题． 返回导航 [对点训练] 如图，在五面体ABCDEF中，EA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD∥BC，AD∥EF，AB＝AD＝AE＝4，BC＝3，EF＝2，M，N分别为BE，CF的中点，连接AM, MN，ND. (1)求证：BE⊥平面AND； 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 题型二——空间距离 B 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 (2)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝AA1＝2，P为线段A1B1的中点，Q为线段C1P上一点，则△BCQ面积的取值范围为________． 返回导航 返回导航 【素养小结】　用向量法求点到直线的距离的一般步骤 (1)求直线的方向向量； (2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度； (3)利用勾股定理求解．另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化． 返回导航 考向2　点到平面的距离 [例3] 在棱长为1的正方体ABCD­-A1B1C1D1中，E为线 段A1B1的中点．求： (1)点A1到平面AEC1的距离； 返回导航 返回导航 返回导航 (2)点B到平面AEC1的距离． 返回导航 母题探究1　在本例条件下，若F为线段AB的中点，求直线FC到平面AEC1的距离． 解：因为E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点，易证FC∥EC1，又因为EC1⊂平面AEC1，FC⊄平面AEC1，所以FC∥平面AEC1，根据直线与平面平行的性质知，直线FC到平面AEC1的距离就是点F到平面AEC1的距离． 返回导航 返回导航 母题探究2　在本例条件下，若F为线段AB的中点，求平面FCB1到平面AEC1的距离． 返回导航 返回导航 C 返回导航 返回导航 2．(2025·东城一模)如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD为平行四边形，平面ADE⊥平面CDE，AD⊥DE，AD＝DE＝DC＝1，BF∥DE. (1)证明：FC∥平面ADE； 证明：由四边形ABCD为平行四边形，得AD∥BC， 又AD⊂平面ADE，BC⊄平面ADE，则BC∥平面ADE，又BF∥DE，同理BF∥平面ADE， 由BC∩BF＝B，BC，BF⊂平面BCF，则平面BCF∥平面ADE， 又FC⊂平面BCF，则FC∥平面ADE. 返回导航 解：因为平面ADE⊥平面CDE，AD⊥DE， 平面ADE∩平面CDE＝DE，AD⊂平面ADE， 所以AD⊥平面CDE，因为CD⊂平面CDE，则AD⊥CD， 由AD⊥DE，AD⊥CD，AD＝DE＝DC＝1， 则△ADE≌△ADC，又AC＝CE，故AC＝AE＝CE， 所以△ADE≌△ADC≌△EDC，则CD⊥DE， 综上，AD⊥DE，AD⊥CD，CD⊥DE， 返回导航 返回导航 返回导航 (2)点P到平面α的距离 如图2，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度． 因此PQ＝__________＝___________． 证明：如图，以A为原点，，，的方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系Axyz，由题意可得，A(0，0，0)，B(4，0，0)，C(4，3，0)，D(0，4，0)，E(0，0，4)，M(2，0，2)， 因为AD∥BC，AD∥EF，所以EF∥BC， 又M，N分别为BE，CF的中点， 所以MN∥BC∥AD，所以M，N，D，A四点共面， [2，] 【解】　以D1为坐标原点，D1A1，D1C1，D1D所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，1)，B(1，1，1)，A1(1，0，0)，C1(0，1，0)，E，所以＝，＝. 解析：设平面ABD的法向量为m＝(x，y，z)， 则 则可取m＝(0，0，1)， $