第7章 第7讲 空间向量的概念与运算(课件PPT)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学（创新版）

该高中数学高考复习课件聚焦“空间向量的概念与运算”专题，依据课标要求覆盖线性运算、共线共面定理、数量积运算等高考核心考点，通过梳理必备知识构建体系，结合真题改编题分析考点权重，归纳线性运算、定理应用、数量积应用三大常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“知识梳理+题型探究+素养提升”的复习模式，如以共线共面定理应用为典型题型，通过向量表达式推导培养数学思维，结合数量积求夹角模长训练数学语言表达，特设易错点警示（如共线向量b≠0条件），帮助学生掌握答题技巧，教师可据此高效指导复习。

第7讲　空间向量的概念与运算 课标要求 1.掌握空间向量的线性运算. 　2.理解共线向量定理与共面向量定理，并能解决相关问题．　3.掌握空间向量的数量积运算，能利用向量的数量积解决向量的夹角、模以及两向量的垂直问题．　4.会用向量法证明平行、垂直关系． 返回导航 内 容 索 引 落实必备知识 1 1 探究核心题型 2 落实必备知识 第一部分 4 1．空间向量及其有关概念 名称 定义 空间向量 在空间中，具有______和______的量 相等向量 方向______且模______的向量 相反向量 方向______且模______的向量 共线向量 (平行向量) 表示若干空间向量的有向线段所在的直线________________ 共面向量 平行于同一个平面的向量 大小 方向 相同 相等 相反 相等 互相平行或重合 返回导航 2.空间向量的有关定理及推论 (1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在唯一的实数λ，使_____． (2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. a＝λb 返回导航 1 返回导航 |a||b|cos〈a，b〉 返回导航 (2)空间向量运算的坐标表示 类别 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3) 向量和 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 向量差 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘向量 λa＝(λa1，λa2，λa3)(λ∈R) 数量积 a·b＝__________________ 共线 a∥b⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(b≠0，λ∈R) a1b1＋a2b2＋a3b3 返回导航 返回导航 A 返回导航 C 返回导航 BCD 返回导航 对于B，当b＝0，a≠0时，λ不存在，B错误； 对于D，当x＋y＋z≠1时，P，A，B，C四点不共面，D错误． 返回导航 4．已知a＝(2，－3，0)，b＝(k，0，3)，〈a，b〉＝120°，则k＝___________． 返回导航 返回导航 返回导航 探究核心题型 第二部分 18 D 题型一——空间向量的线性运算 1．已知向量a＝(－2，3，1)，b＝(0，－1，4)，则2a＋3b＝(　　) A．(－4，6，14) B．(－4，0，6) C．(－4，3，6) D．(－4，3，14) 解析：因为a＝(－2，3，1)，b＝(0，－1，4)，所以2a＋3b＝2(－2，3，1)＋3(0，－1，4)＝(－4，3，14). 返回导航 A 返回导航 2(6，－3，7) 返回导航 4．已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(2，3，4)，则p在基底{a＋b，b＋c，c}下的坐标为__________． (2，1，3) 返回导航 【素养小结】　空间向量的线性运算中的三个关键点 (1)结合图形，明确图形中各线段的几何关系； (2)正确运用向量加、减、数乘运算的几何意义； (3)平面向量的三角形法则、平行四边形法则在空间向量中仍然成立． 返回导航 题型二——共线定理、共面定理的应用 返回导航 返回导航 【素养小结】　证明三点共线和空间四点共面的方法 返回导航 返回导航 (2)若A，B，C，D四点共面，求mn的最大值． 返回导航 返回导航 题型三——空间向量数量积及其应用 [例2] 如图所示，已知空间四面体ABCD的每条棱长都 为1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点． 返回导航 返回导航 返回导航 【素养小结】　由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a·b计算准确． 返回导航 BCD 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 2．已知空间向量a＝(1，1，λ)，b＝(－2，2－λ2，λ－6)，若a，b的夹角为钝角，则实数λ的取值范围为__________________． (0，2)∪(2，＋∞) 返回导航 3．空间向量的数量积及坐标运算 (1)两个非零空间向量的数量积 ①a·b＝___________________； ②a⊥b⇔a·b＝0； ③设a＝(x，y，z)，则|a|2＝a2，|a|＝ . 类别 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3) 垂直 a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 (a≠0，b≠0) 夹角公式 cos 〈a，b〉＝＝(a≠0，b≠0) － 常用 结论 1.在平面中，A ，B ，C 三点共线的充要条件是：＝x＋y (其中x＋y＝1 )，O 为平面内任意一点． 2．在空间中，P与不共线三点A ，B ，C共面的充要条件是：＝x＋y＋z (其中x＋y＋z＝1)，O 为空间内任意一点． 解析：在直三棱柱ABC-A1B1C1中，＝2＝2(＋＋)＝2＝2b－2a－c. [例1] 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E，F 分别在B1B和D1D上，BE＝BB1，DF＝D1D. (1)求证：A，E，C1，F四点共面； 三点P，A，B共线 空间四点M，P，A，B共面 ＝λ且同过点P ＝x＋y且同过点M 对空间任一点O，＝＋t 对空间任一点O，＝＋x＋y或＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1) 对空间任一点O，＝x＋(1－x) ∥(或∥或∥) [对点训练] 1.(多选)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N分别是线段A1B，B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N.设＝a，＝b，＝c，且均为单位向量，若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，则下列说法中正确的是(　　　) A．与的夹角为60° B．＝a＋b＋c C．||＝ D．⊥ $