第7章 第6讲 几何法求空间角与距离(课件PPT)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学（创新版）

该高中数学高考复习课件聚焦“几何法求空间角与距离”专题，依据课标要求覆盖异面直线所成角、线面角、二面角及空间距离等核心考点，梳理角的定义范围、距离概念及“一作二证三求”的解题步骤，分析线面角、二面角等高频考点在高考中的权重，归纳正三棱台、正四棱锥等常考几何体题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题训练+技巧建模”，如以正方体中异面直线所成角、正三棱柱线面角为例，用平移法、构造法突破空间角求解，通过等体积法转化求点面距离，培养学生空间观念与推理能力。提供“素养小结”明确解题步骤，教师可据此系统教学，帮助学生掌握答题技巧，提升高考得分率。

第6讲　几何法求空间角与距离 课标要求 1.了解异面直线所成的角、直线与平面所成的角及平面与平面的夹角及这些角的范围．　2.会用平移法、构造法作出所求空间角的平面角，并能使用解三角形的相关知识求出相应角．　3.了解点到线、点到面、线到面、面到面的距离的概念，并会求空间距离． 返回导航 内 容 索 引 落实必备知识 1 1 探究核心题型 2 落实必备知识 第一部分 4 1．异面直线所成的角 (1)等角定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角__________． (2)异面直线所成的角 ①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). ②范围：____________． 相等或互补 返回导航 2．直线与平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．一条直线垂直于平面，则它们所成的角是____；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°；直线与平面所成的角 的范围是____________． 90° 返回导航 3．平面与平面所成的角 (1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作____于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角． (2)平面与平面的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，把这四个二面角中不大于____的二面角称为平面α与平面β的夹角． 垂直 90° 返回导航 4．空间距离 两点距 点线距 点面距 线面距 面面距 空间中两个点连线的线段长 过空间一点作一条直线的垂线段的长 过平面外一点作平面的垂线段的长 当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离 当平面与平面平行时，一个平面内的任意一点到另一个平面的距离 返回导航 B 返回导航 2．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线A1C1与BC所成的角是 (　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 解析：因为BC∥A1D1，所以异面直线A1C1与BC所成的角为∠D1A1C1＝45°. B 返回导航 ABD 3．(多选)如图，在四面体ABCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，则下列叙述中正确的是(　　　) A．线段AD的长是点A到平面BCD的距离 B．线段AC的长是点A到直线BC的距离 C．∠ABD是二面角A-BC-D的平面角 D．∠ACD是直线AC与平面BCD所成的角 返回导航 解析：对于A，因为AD⊥平面BCD，所以线段AD的长是点A到平面BCD的距离，A正确； 对于B，因为AD⊥平面BCD，BC⊂平面BCD，所以BC⊥AD，又因为BC⊥CD，AD∩CD＝D，AD，CD⊂平面ACD，所以BC⊥平面ACD，因为AC⊂平面ACD，所以BC⊥AC，所以线段AC的长是点A到直线BC的距离，B正确； 对于C，因为BC与AB，BD均不垂直，所以∠ABD不是二面角A-BC-D的平面角，C错误； 对于D，因为AD⊥平面BCD，所以∠ACD是直线AC与平面BCD所成的角，D正确． 返回导航 4．已知空间两个角∠ABC与∠A′B′C′，若AB∥A′B′，BC∥B′C′，∠ABC＝66°，则∠A′B′C′＝______________． 解析：因为AB∥A′B′，BC∥B′C′，∠ABC＝66°，故∠A′B′C′＝66°或∠A′B′C′＝114°. 66°或114° 返回导航 90° 返回导航 探究核心题型 第二部分 15 题型一——几何法求空间角 B 返回导航 返回导航 返回导航 【素养小结】　用平移法求异面直线所成的角的步骤 (1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角． (2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角． (3)三求：解三角形，求出所作的角． 注意　如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角． 返回导航 [对点训练] 如图，在四面体ABCD中，AC＝4，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点．若异面直线AC与BD所成角的大小为60°，则MN的长为________． 返回导航 返回导航 返回导航 考向2　线面角 [例2] 如图，已知在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D为棱AC的中点，AB＝AA1，则直线BC与平面C1BD所成角的正弦 值为________． 【解析】　过点C作CE⊥C1D于点E，连接BE. 由正三棱柱ABC-A1B1C1，得BD⊥AC，BD⊥CC1. 因为AC∩CC1＝C，AC，CC1⊂平面ACC1A1， 所以BD⊥平面ACC1A1. 又CE⊂平面ACC1A1，所以CE⊥BD. 返回导航 返回导航 【素养小结】　一作(找)角，二证明，三计算，其中作(找)角是关键，先找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，然后把线面角转化到三角形中求解． 返回导航 A 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 考向3　二面角 [例3] 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，CD⊥AD，AD＝CD＝2BC＝2，平面PAD⊥平面ABCD.且△PAD是以P为直角顶点的等腰直角三角形． (1)证明：CD⊥平面PAD； 证明：因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，CD⊥AD，CD⊂平面ABCD，所以CD⊥平面PAD. 返回导航 (2)求二面角P-BC-A的正弦值． 【解】　取AD的中点O，连接OP，OB， 由(1)知CD⊥平面PAD，又PO⊂平面PAD， 所以PO⊥CD， 因为△PAD是以P为直角顶点的等腰直角三角形， 则PO⊥AD， 又AD∩CD＝D，AD，CD⊂平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD， 又OB⊂平面ABCD，所以PO⊥OB. 返回导航 又AD＝CD＝2BC＝2，且AD∥BC，OD＝1， 所以四边形OBCD为平行四边形， 所以OB∥CD，又CD⊥AD，所以OB⊥AD， 又PO∩OB＝O，PO，OB⊂平面POB， 所以AD⊥平面POB，所以BC⊥平面POB， 所以∠PBO是二面角P-BC-A的平面角． 返回导航 【素养小结】　作二面角的平面角可以用定义法，也可以用垂面法，即在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角． 返回导航 [对点训练] 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，所有的棱长均相等，D是AC的中点，D在上底面A1B1C1的射影为△A1B1C1的重心O. (1)证明：AC⊥BO； 证明：因为D在上底面A1B1C1的射影为△A1B1C1的重心O， 所以OD⊥平面A1B1C1，因为A1C1⊂平面A1B1C1，所以OD⊥A1C1， 因为A1C1∥AC，所以AC⊥OD.连接BD， 因为△ABC是等边三角形，D是AC的中点，故BD⊥AC， 因为OD∩BD＝D，OD，BD⊂平面BOD， 所以AC⊥平面BOD， 又因为BO⊂平面BOD，所以AC⊥BO. 返回导航 (2)求平面ABC与平面A1ACC1夹角的正弦值． 返回导航 返回导航 返回导航 题型二——几何法求空间距离 [例4] 已知四棱台ABCD-A1B1C1D1，下底面ABCD为正方形， AB＝2，A1B1＝1，侧棱AA1⊥平面ABCD，且AA1＝2， E为CD中点． (1)求证：A1E∥平面BCC1B1； 返回导航 (2)求E到平面ABC1D1的距离． 【解】　方法一：在平面AA1D1D内作DO⊥AD1，垂足为O， 因为下底面ABCD为正方形， 所以AB⊥AD， 又侧棱AA1⊥平面ABCD， 所以AA1⊥AB， 因为AD∩AA1＝A，AD，AA1⊂平面AA1D1D， 所以AB⊥平面AA1D1D. 返回导航 返回导航 返回导航 提醒　线到平面的距离、平面与平面的距离问题都是转化为点到平面的距离求解． 返回导航 [对点训练] 1.在长方体ABCD-­A′B′C′D′中，AD＝2，AA′＝2，则直线AB到平面A′B′CD的距离为__________． 解析：由题知AB∥CD，AB⊄平面A′B′CD，CD⊂平面A′B′CD， 则AB∥平面A′B′CD， 所以直线AB到平面A′B′CD的距离， 即为点B到平面A′B′CD的距离． 由CD⊥平面C′B′BC，CD⊂平面A′B′CD， 所以平面A′B′CD⊥平面C′B′BC， 返回导航 返回导航 2．如图，在四棱锥O­-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M，N，R分别为OA，BC，AD的中点．则平面MNR与平面OCD的距离为 ________． 返回导航 返回导航 1．三余弦定理： 设A为平面α上一点，过A的斜线AO在平面α上的射影为AB，AC为平面α上的一条直线，记∠OAC＝θ，∠OAB＝θ1，∠BAC＝θ2，则cos θ＝cos θ1·cos θ2. 三余弦定理 返回导航 返回导航 2．推论(最小角定理)：由于cos θ2≤1⇒cos θ≤cos θ1⇒θ≥θ1. 这说明，线面角是斜线与平面内任意直线所成角的最小值，即线面角是线线角的最小值，又称最小角定理． 返回导航 A 返回导航 返回导航 【素养小结】　使用三余弦定理时，关键是弄清公式cos θ＝cos θ1·cos θ2中三个角的含义：θ为斜线与动直线所成角，θ1为线面角，θ2为射影与动直线所成角． 返回导航 [尝试训练] 已知二面角α-l-β是直二面角，A∈α，B∈β，设直线AB与α，β所成的角分别为θ1，θ2，则(　　) A．θ1＋θ2＝90° B．θ1＋θ2≥90° C．θ1＋θ2≤90° D．θ1＋θ2＜90° 解析：如图，过点A，B分别作l的垂线，分别交于点C， D，则AC⊥β，BD⊥α，∠BAD＝θ1，∠ABC＝θ2，由 最小角定理知：θ1≤∠BAC，又∠BAC＋θ2＝90°，所以θ1＋θ2≤90°. C 返回导航 (0，] [0，] $