第7章 第2讲 微专题——球的切、接问题(课件PPT)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学（创新版）

该高中数学高考复习课件聚焦“球的切、接问题”微专题，依据课标要求梳理了正方体、长方体、正棱锥等几何体的内切球与外接球核心知识，分析了外接球定义法、垂线法、补形法及内切球等体积法等常考题型，精准对接高考评价体系。 课件亮点在于“题型分类+技法提炼+真题演练”，如通过补形法将折叠三棱锥转化为长方体求外接球（例3），用等体积法计算三棱锥内切球半径（例4），培养学生空间观念与逻辑推理素养，助力学生掌握解题技巧，教师可据此开展针对性复习。

第2讲　微专题 ——球的切、接问题 课标要求 1.能根据多面体、旋转体的几何性质确定内切球、外接球的球心．　2.会解决几何体内切球、外接球的相关问题． 返回导航 内 容 索 引 落实必备知识 1 1 探究核心题型 2 落实必备知识 第一部分 4 1．正方体与球 (1)内切球：内切球直径2R＝正方体棱长a. 返回导航 返回导航 (2)外接球：外接球球心在其高上，底面正多边形的外接圆圆心为E，半径为r，R2＝(h－R)2＋r2(正棱锥外接球半径为R，高为h). 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 7．圆锥的外接球 R2＝(h－R)2＋r2(R是圆锥外接球的半径，h是圆锥的高，r是圆锥底面圆的半径). 返回导航 C 返回导航 返回导航 C 返回导航 3．已知矩形ABCD的对角线长为1，将△ABD沿BD折起得到三棱锥A′-BCD，且三棱锥A′-BCD的各个顶点均在球O的表面上，则球O的表面积为(　　) A． B．π C．4π D．8π B 返回导航 BCD 返回导航 所以该圆锥的表面积为πR2＋πRl＝5π，C正确； 返回导航 返回导航 返回导航 探究核心题型 第二部分 20 题型一——外接球问题 C 返回导航 【素养小结】　由球的定义，若一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心．在一些特殊的几何体中，如正方体、长方体，其对角线的中点就是外接球的球心． 返回导航 A 返回导航 返回导航 【素养小结】　几何体的外接球球心在任何一个面上的射影都是该面多边形的外心．可以过某些面的外心作该面的垂线，任两个面的垂线的交点即为外接球球心．解决此类问题的思路是： (1)若已知两个面的外接圆圆心，分别过这两个圆心作面的垂线，两垂线的交点就是球心． (2)若已知一个面的外接圆圆心，则球心一定在过此圆心且垂直于该面的线上，再根据球心到各顶点的距离相等，结合勾股定理构建等式，进而确定球心及半径． 返回导航 A 返回导航 返回导航 【素养小结】　满足下列条件的可以补成长方体： (1)墙角模型：三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，如图1. (2)三棱锥的四个面均是直角三角形，如图2. (3)对棱模型：三棱锥的对棱两两相等，则每条棱为长方体的面对角线，如图3. 返回导航 C 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 题型二——内切球问题 A 返回导航 返回导航 (2)已知球与圆台的上、下底面和侧面都相切，若圆台的母线长为6，下底面半径是上底面半径的2倍，则球的表面积为________． 【解析】　作出圆台及其内切球的轴截面如图所示，记 球的半径为r，上、下底面圆圆心分别为O1，O2，线段 O1O2的中点为O，则OO1＝r，作OM⊥AB，由切线长定 理得O1A＝AM，O2B＝BM，则O1A＋O2B＝AB＝6，而 O2B＝2O1A，解得O1A＝2，O2B＝4，由(2r)2＝AB2－(O2B－O1A)2＝36－4＝32，得r2＝8，所以球的表面积S＝4πr2＝32π. 32π 返回导航 【素养小结】　简单多面体的内切球问题 (1)利用内切球的定义直接找球心和半径的关系． (2)利用等体积法直接求半径(球内切于多面体，则球心到各个面的距离相等). 返回导航 4π 返回导航 返回导航 返回导航 球与几何体的相交问题考查了学生的空间想象能力和逻辑推理能力，是高考重点考查的内容．解决这种问题一方面利用球的性质，另一方面利用线、面平行或垂直的有关定理和性质． 　球与几何体的相交问题 返回导航 D 返回导航 返回导航 【素养小结】　球与几何体的交线问题通常涉及球面与几何体表面的交集，其解题方法和思路如下： (1)确定交线类型 球面与几何体表面的交线通常是圆弧．若球与平面相交，交线为圆；若球与曲面相交，交线可能为椭圆、双曲线等． 返回导航 返回导航 [尝试训练] 1.(2026·浙江模拟)已知棱长为6的正方体与一个球相交，球与正方体的每个面所在平面的交线都为一个面积为16π的圆，则该球的表面积为(　　) A．96π B．100π C．125π D．204π 解析：由对称性得，球心与正方体中心重合，且每个面的交线圆半径为4.球心与任意面中心的连线长为3，且连线垂直该面，由勾股定理得球的半径为5，则该球的表面积为4×π×52＝100π. B 返回导航 返回导航 返回导航 2．在四面体ABCD中，AC＝BD＝，AB＝CD＝，AD＝BC＝， 则四面体ABCD外接球的体积为________． π π 【解析】　不妨将三棱锥放入长方体中，由于BC为直径，所以球心在BC中点处，且半径为BC＝2，取PC中点为M，连接OM，则OM∥PB，又PB⊥平面APC，所以OM⊥平面APC，且OM＝PB＝2，故点O到平面APC的距离为2，平面APC截球所得截面圆的半径为＝2，故截得的图形为圆，圆的周长为4π. 2．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则以AA1的中点P为球心，2为半径的球与侧面BCC1B1相交，则交线(在正方形BCC1B1内部)的长度 为________． 解析：如图，作PE⊥BB1，垂足为E，则PE⊥平面BCC1B1， ＝2， 易知球与侧面BCC1B1的交线为以E为圆心， $