第7章 第2讲 微专题——球的切、接问题 课后达标检测(课件PPT)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学（创新版）
2026-08-12
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教辅
摘要：
该高中数学高考复习课件聚焦立体几何核心考点，涵盖球与几何体切接、表面积体积计算、截面分析等高考高频内容，对接高考评价体系，通过2026年多地模拟题梳理考点权重，归纳外接球半径求解、组合体体积计算等常考题型，构建系统备考框架。
课件亮点在于“真题解析+技巧提炼+素养培养”，如通过补形法将三棱锥转化为长方体求外接球（数学眼光），利用勾股定理和方程思想推导半径公式（数学思维），帮助学生掌握“几何关系分析—模型构建—精准运算”答题技巧，教师可依托此课件实现考点突破与学情精准指导，助力学生高效冲刺。
内容正文：
课后达标检测
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B
1．(2026·黄冈模拟)将一个棱长为10 cm的正方体铁块磨制成一个零件，能够磨制成的零件可以是( )
A．底面半径为8 cm，高为10 cm的圆柱体
B．底面直径为8 cm，高为8 cm的圆锥体
C．半径为6 cm的球体
D．各棱长均为15 cm的四面体
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解析：由于正方体的棱长为10 cm，故圆柱或圆锥底面圆最大为正方体底面的内切圆，故半径最大为5 cm，圆柱或圆锥的高最大不超过10 cm，故A错误，B正确；
正方体的内切球的半径为5 cm，为正方体内最大的球，故C错误；
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2．已知圆柱的底面直径为2，它的两个底面的圆周都在同一个表面积为20π的球面上，该圆柱的体积为( )
A．8π B．6π
C．5π D．4π
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3．一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切(球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点)，过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面是下列图形中的( )
C
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解析：易知截面是一个非等边的等腰三角形，排除A，D；
等腰三角形的底边是正三棱锥的一条棱，这条棱不可能与内切球有交点，所以排除B；
而等腰三角形的两条腰正好是正三棱锥两个面的中线，且经过内切球在两个面上的切点，故选C．
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8．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球
的表面积是________．
解析：设题中正四面体为ABCD，将它放置于正方体内，
使BD，AC位于上、下底面的面对角线处，如图所示，
由正方体的性质可得，该正方体的内切球恰好与正四面体
的六条棱都相切，
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(2)用平行于底面的平面截去圆锥的上半部分，若剩下的圆台有内切球，求圆台的体积．(6分)
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因为PD⊥平面ABCD，O1D⊂平面ABCD，
所以PD⊥O1D，
所以四边形O1DMO为矩形，
所以O1D＝OM＝1，
所以R2＝OM2＋DM2＝1＋1＝2，
所以球O的表面积为4πR2＝8π.
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13．(15分)(2026·上海期末)如图，半球内有一内接正四棱柱(即正四棱柱的一个面在半球的底面圆上，其余顶点在半球面上).
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(2)若半球的底面圆的半径为10，求正四棱柱表面积的最大值．(9分)
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14．如图为某水晶工艺品示意图，该工艺品由一个半径为R
的大球放置在底面半径和高均为R的圆柱内，球与圆柱下底
面相切．为增加观赏效果，设计师想在圆柱与球的空隙处放
入若干个大小相等的实心小球，且满足小球恰好与圆柱底面、
圆柱侧面及大球都相切，则该工艺品最多可放入__________个小球．
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9．(13分)如图，△BCD是圆锥底面圆的内接三角形，BD＝4，cos ∠BCD＝，PA为圆锥的母线，且圆锥的侧面展开图是一个半圆．
(1)求圆锥的外接球的表面积；(7分)
当球O和每条棱相切时，球的半径最小，如图，过O作OH⊥AB，垂足为H，此时最短半径OH＝＝＝，故B正确；
解析：因为四边形ABCD为平面四边形，且在同一个球面上，
所以A，B，C，D四点共圆，所以∠BAC＝∠BDC＝，
在△ABC中，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos ∠BAC
＝4＋1－2×2×1×＝3，
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