第6章 一题一课 构造法求数列的通项公式(课件PPT)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学（创新版）

该高中数学高考复习课件聚焦“构造法求数列通项公式”核心考点，覆盖常数型、一次函数型、指数函数型、分式型及二阶线性递推等高考高频递推关系，依据高考评价体系梳理主客观题考查要求，通过母题溯源、方法提炼与题型归纳，明确各类型考点权重及解题路径，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于“母题研究+分类突破+实战训练”策略，如针对\(a_{n+1}=3a_n+2n-1\)型，通过待定系数法构造等比数列，培养学生数学思维与模型观念。设置高考真题变式训练，总结“取倒数”“设新数列”等技巧，帮助学生掌握转化思想，教师可据此精准指导，提升复习效率。

一题一课　构造法求数列的 通项公式 构造法求数列的通项公式是高考的一个热点内容，主、客观题均可出现．根据数列中的递推关系求数列的通项公式，往往使用构造法． 通过构造法，将复杂的递推关系转化为我们熟悉的数列模型，从而简化求解过程，此类问题的处理策略，充分体现了转化与化归的数学思想． 返回首页 母题 人教B版选择性必修第三册P58T6 已知a1＝1，an＋1＝2an＋1，记bn＝an＋1，证明：{bn}是等比数列，并求an. 返回首页 感悟　求关于an＋1＝Aan＋B(其中A，B为常数，AB(A－1)≠0)类型的数列的通项公式时，先把原递推公式转化为an＋1＋M＝A(an＋M)，再利用待定系数法求出M的值，最后用换元法转化为等比数列求解．其实对于这类式子，我们只需要记住在等式两侧同时加上一个常数M，构造成等比数列．常数M的值可以通过待定系数法推导出来．对于此类问题，我们还可以从以下几个角度进行研究． 返回首页 探究一——若an＋1＝Aan＋B中的B是关于n的一次函数，又如何处理呢？ [例1] 在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝3an＋2n－1，则数列{an}的通项公式an＝________． 3n－n 返回首页 所以an＋1＋(n＋1)＝3(an＋n). 令bn＝an＋n，则bn＋1＝3bn，b1＝a1＋1＝3， 所以{bn}是以3为首项，3为公比的等比数列． bn＝3n，即an＋n＝3n，所以an＝3n－n. 返回首页 【方法提炼】　形如an＋1＝pan＋qn＋c(p≠0，1，q≠0)求an的一般步骤 返回首页 探究二——若an＋1＝Aan＋B中的B是关于n的指数函数，又如何处理呢？ [例2] 在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝3an＋2n-1，n∈N*，则数列{an}的通项公式为________________． an＝3n－2n-1 返回首页 方法二： 由a1＝2，an＋1＝3an＋2n-1，n∈N*，可得an＋1＋2n＝3(an＋2n-1)，a1＋21-1＝3， 所以{an＋2n-1}是以3为首项，3为公比的等比数列，所以an＋2n-1＝3n，则an＝3n－2n-1，n∈N*. 返回首页 【方法提炼】　形如an＋1＝pan＋qn(p≠0，1，q≠0，1)求an的一般步骤 返回首页 探究三—— 返回首页 返回首页 返回首页 探究四——已知数列{an}中连续两项间的递推关系变为连续三项间的关系，如an＋1＝pan＋qan－1(n≥2，n∈N*) ，用什么方法解决呢？ [例4] 在数列{an}中，满足a1＝1，a2＝2，且an＋1＝2an＋3an－1(n≥2，n∈N*)，则数列{an}的通项公式为_________________． 返回首页 返回首页 返回首页 返回首页 【方法提炼】　形如an＋1＝pan＋qan－1(p≠0，q≠0)求an的一般步骤 返回首页 C 返回首页 返回首页 2．已知数列{an}满足an＋1＝4an－12n＋4，且a1＝4，若ak＝2 024，则k＝(　　) A．253 B．506 C．1 012 D．2 024 解析：因为an＋1＝4an－12n＋4，所以an＋1－4(n＋1)＝4(an－4n). 因为a1＝4，所以a1－4×1＝0，故{an－4n}为常数列，所以an＝4n. 由ak＝4k＝2 024，解得k＝506. B 返回首页 B 返回首页 返回首页 4．已知数列{an}满足a1＝4，an＋1＝2an－2，对于任意的n∈N*，λ(an－2)＜an－6恒成立，则实数λ的取值范围是(　　) A．(－∞，1) B．(－∞，－1) C．(－1，2) D．(1，2) B 返回首页 返回首页 5．已知数列{an}满足a1＝2，a2＝6，且an＋2－2an＋1＋an＝2，则数列{an}的通项公式为___________． 解析：由题设知，(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝2，a2－a1＝4，故{an＋1－an}是首项为4，公差为2的等差数列，则an＋1－an＝2n＋2， 则当n≥2时，an－an－1＋an－1－an－2＋…＋a3－a2＋a2－a1＝an－a1＝2(n＋n－1＋…＋3＋2)＝(n＋2)(n－1)， 所以an＝n(n＋1)(n≥2). 当n＝1时，a1＝2也满足上式． 所以an＝n(n＋1). an＝n(n＋1) 返回首页 19 返回首页 返回首页 【解析】　方法一：将an＋1＝3an＋2n-1两边同时除以2n-1，得＝·＋1，即＋2＝.又＋2＝6， 由等比数列的定义知，数列是以6为首项，为公比的等比数列，所以＋2＝6×，故an＝3n－2n-1. 若an＋1与an关系变为an＋1＝(p≠0，q≠0)，又如何处理呢？ [例3] 在数列{bn}中，a1＝1，an＋1＝，n∈N*，则数列{an}的通项公式为an＝________________． an＝ 1．已知数列{an}满足a1＝1，an－an＋1＝anan＋1(n∈N*)，则a2 027＝(　　) A．2 027 B．2 028 C． D． 3．已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＋1＝an＋1－nan＋2(n∈N*)，则＝(　　) A．190 B．210 C．380 D．420 解析：在数列{an}中，n∈N*，Sn＋1＝an＋1－nan＋2， 当n≥2时，Sn＝an－(n－1)an－1＋2， 两式相减得an＋1＝an＋1－(n＋1)an＋(n－1)an－1，即(n＋1)an＝(n－1)an－1， 因此(n＋1)nan＝n(n－1)an－1， 显然数列{(n＋1)nan}是常数列， 而S2＝a2－a1＋2，解得a1＝1，于是(n＋1)nan＝2×1×a1＝2， 因此an＝，所以＝＝210. 解析：因为an＋1＝2an－2，所以an＋1－2＝2an－4＝2(an－2)，a1－2＝2， 所以＝2，所以{an－2}是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以an－2＝2×2n-1＝2n，所以an＝2n＋2， 由λ(an－2)＜an－6恒成立，即λ·2n<2n－4，得λ＜＝1－恒成立， 令y＝1－，由于n∈N*，显然y随n的增大而增大， 所以当n＝1时，ymin＝1－＝－1，所以λ＜－1. $