第6章 第6讲 微专题——数列中的融合创新问题(课件PPT)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学（创新版）

该高中数学高考复习课件聚焦数列融合创新专题，覆盖数列与不等式融合、函数综合、新定义问题等核心考点，对接高考评价体系，分析不等式恒成立、错位相减求和等高频考点权重，归纳证明、求通项、放缩证明等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于真题驱动与素养导向，以2025年全国一卷真题为例，解析数列与导数结合的解题策略，培养运算能力和推理意识，提供错位相减、放缩技巧等答题模板，帮助学生掌握压轴题突破方法，教师可据此系统规划复习，提升备考效率。

第6讲　微专题 ——数列中的融合创新问题 　　数列中的创新融合问题往往出现在高考题中压轴题的位置，以新定 义、新性质和新构造的形式出现，有时与函数、不等式、集合等融合命 题，难度较大． 返回首页 类型一——数列与不等式融合 [例1] (2026·哈尔滨模拟)已知数列{an}满足a1＝5，an＋1－2an＝3n(n∈N*)，记bn＝an－3n. (1)求证：{bn}是等比数列； 证明：因为an＋1－2an＝3n， 所以an＋1＝3n＋2an，因为bn＝an－3n， 所以bn＋1＝an＋1－3n+1＝3n＋2an－3×3n＝2an－2×3n＝2(an－3n)＝2bn， 又因为a1＝5，所以b1＝a1－31＝5－3＝2， 返回首页 返回首页 返回首页 返回首页 返回首页 【素养小结】　数列与不等式融合问题的解题策略 (1)判断数列问题的一些不等关系，可以利用数列的单调性比较大小或借助数列对应的函数的单调性比较大小． (2)数列中有关项或前n项和的恒成立问题，常转化为数列的最值问题；求项或前n项和的不等关系可以利用不等式的性质或基本不等式求解． 返回首页 返回首页 返回首页 返回首页 类型二——数列与函数的综合 返回首页 (2)给定正整数m，设函数f(x)＝a1x＋a2x2＋…＋amxm，求f′(－2). 返回首页 返回首页 返回首页 　　真题源于人教A版选择性必修第二册P40习题4.3 T3(2)：求和：1＋2x＋3x2＋…＋nxn-1. 相似度　两道题都围绕数列展开，都涉及数列的相关运算．习题与高考题第(2)问，本质上都是在考查错位相减法求和． 变式点　教材题是单纯数列求和练习，目标明确为求数列和；高考题是数列与导数跨模块综合，既有数列证明，又有导数与数列结合的求值，题型复杂度、综合性更高，考查知识维度更广泛． 返回导航 细研真题 [变式1]　已知在数列{an}中，a1＝2，且对任意的m，n∈N*，都有am＋n＝aman，设f(x)＝a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋anxn，记函数f(x)在x＝1处的导数为f′(1)，则使f′(1)>2 027成立的n的最小值为________． 8 返回导航 细研真题 返回导航 细研真题 返回导航 细研真题 返回导航 细研真题 【素养小结】　数列与函数的综合问题的求解策略 (1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般是利用函数的性质、图象研究数列问题． (2)已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形． (3)解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解． 返回首页 类型三——数列中的新定义问题 [例3] 如果数列{an}对任意的n∈N*，an＋2＋an>2an＋1，则称{an}为“中值偏大数列”． (1)若数列{an}为“中值偏大数列”，求正实数a的取值范围； 【解】　因为数列{an}为“中值偏大数列”，a>0， 则an+2＋an>2an+1，则a2＋1>2a， 即(a－1)2>0，解得a>0且a≠1，所以正实数a的取值范围为(0，1)∪(1，＋∞). 返回首页 (2)若数列{an}为“中值偏大数列”，且任意项an∈Z，a1＝1，a2＝2，am＝2 027，求正整数m的最大值． 返回首页 返回首页 【素养小结】　与数列的新定义有关问题的求解策略 (1)通过给出一个新的数列的概念，或约定一种新的运算，或给出一个新的模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的． (2)遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，逐条分析、运算和验证，使问题得以解决． 返回首页 [对点训练] 对于∀n∈N*，若数列{xn}满足xn＋1＝pxn＋q(p，q为常数)，则称这个数列为“p－q数列”．已知数列{an}是“1－2数列”，数列{bn}是“2－0数列”，且a1＝b1＝2. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； 返回首页 (2)记cn＝a1bn＋a2bn－1＋a3bn－2＋…＋an－1b2＋anb1，判断数列{cn}是否是“p－q数列”．若是，求出p，q的值，反之，请说明理由． 返回首页 返回首页 　　关于数列中不等式的证明问题，因其思维跨度大，构造性强，需要有较高放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材．这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项公式的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩． 数列中放缩问题 返回首页 类型一——先求和再放缩 返回首页 返回首页 【素养小结】　(1)对于“和式”数列不等式，若能够直接求和，则考虑先求和，再放缩证明不等式； (2)明确放缩的方向：是放大还是缩小．若要证明小于某值，则放大；若要证明大于某值，则缩小． 返回首页 类型二——先放缩再求和 返回首页 返回首页 【素养小结】　(1)对于“和式”数列不等式，若不能或很难求和，则可考虑先放缩后再求和证明不等式．而对于“和式”数列不等式，放缩的最主要目的是通过放缩，把原数列变为可求和、易求和的数列． (2)放缩的项数：不一定对所有项进行放缩，有时从第一项开始，或从第二项，或从第三项等开始． 返回首页 返回首页 返回首页 返回首页 (2)设cn＝，数列{cn}的前n项和为Sn.若不等式(－1)nλ<Sn＋对一切n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围． [对点训练] 已知正项数列{an}满足a1＝1，a2＝2，且对于任意n∈N*，满足anan＋2－a＝－1. (1)求数列{an}的通项公式； 证明：由(1)得an＝n，所以bn＝，当n＝1时，T1＝b1＝1<. 当n≥2时，Tn＝＝1＋<1＋＝1＋(－)＝1＋－<. 综上，对于任意n∈N*，Tn<. 证明：在数列{an}中，a1＝3，＝＋，n∈N*， 所以(n＋1)an＋1＝nan＋1，即(n＋1)an＋1－nan＝1，所以数列{nan}是以3为首项，1为公差的等差数列． 【解】　由题意及(1)得， nan＝3＋1×(n－1)，即an＝1＋，n∈N*， 在f(x)＝a1x＋a2x2＋…＋amxm中， f(x)＝3x＋2x2＋…＋xm， 所以f′(1)＝a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，① 所以2f′(1)＝22＋2·23＋3·24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n+1，② 由①－②得，－f′(1)＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n+1＝－n·2n+1＝(1－n)·2n+1－2， 所以f′(1)＝(n－1)·2n+1＋2，n∈N*，且f′(1)随着n的增大而增大，又当n＝7时，f′(1)＝6×28＋2＝1 538<2 027， 当n＝8时，f′(1)＝7×29＋2＝3 586>2 027，故n的最小值为8. 【解】　因为数列{an}为“中值偏大数列”，an∈Z，a1＝1，a2＝2， 所以对∀n∈N*，有an＋2＋an>2an＋1，即an＋2－an＋1>an＋1－an，且a2－a1＝1， 所以a3－a2≥2，a4－a3≥3，…，am－am－1≥m－1， 累加得(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋am－am－1≥1＋2＋3＋…＋(m－1)＝， 解：因为cn＝a1bn＋a2bn－1＋a3bn－2＋…＋an－1b2＋anb1 ＝2×1×2n＋2×2×2n-1＋2×3×2n-2＋…＋2×(n－1)22＋2n×2 ＝1×2n+1＋2×2n＋3×2n-1＋…＋(n－1)23＋n×22，① 所以cn＝1×2n＋2×2n-1＋3×2n-2＋…＋(n－1)22＋n×21，② [典例2] 已知数列{an}的通项公式为an＝ 求证：当n≥2时，＋＋…＋<1－. $