第6章 第3讲 等比数列(课件PPT)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学（创新版）

该高中数学高考复习课件聚焦等比数列专题，依据课标要求覆盖概念、通项公式、前n项和公式及性质三大核心考点，对接高考评价体系，通过近五年真题分析明确基本量运算（占比45%）、性质应用（30%）等高频考点，归纳三大常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题溯源+素养导向”的设计，如以2025全国一卷等比数列求和题为例，提炼“性质法求公比”技巧，培养学生数学思维与运算能力。特设易错点警示（如q=1的讨论）和“知三求二”方程思想训练，帮助学生掌握得分关键，教师可据此精准突破考点，提升复习效率。

第3讲　等比数列 课标要求 1.理解等比数列的概念．　2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．　3.体会等比数列与指数函数的关系． 返回导航 内 容 索 引 落实必备知识 1 1 探究核心题型 2 落实必备知识 第一部分 4 第2项 同一个常数 公比 q 返回导航 (2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么____叫做a与b的等比中项．此时，G2＝ab.即G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab. 提醒　(1)在等比数列中，易忽视每一项与公比都不为0；(2)只有当两个数同号时，这两个数才有等比中项，且等比中项有两个，它们互为相反数． G 返回导航 2．等比数列的基本公式 (1)通项公式：an＝________． a1qn-1 na1 提醒　在求等比数列的前n项和时，易忽略q＝1这一特殊情形． 返回导航 3．等比数列的常用性质 已知数列{an}是等比数列，q是其公比，Sn是其前n项和． (1)通项公式的推广：an＝amqn－m(n，m∈N*)； (2)若m＋n＝r＋s＝2k(m，n，r，s，k∈N*)， 则aman＝____＝____； aras 返回导航 (4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an， an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk； (5)当q＝－1且n为奇数或q≠－1时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn. 返回导航 1．在等比数列{an}中，a1＝1，公比q＝2，若an＝128，则n＝(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 解析：因为数列{an}为等比数列，a1＝1，q＝2，an＝128，所以an＝a1qn-1＝2n-1＝128，解得n＝8. C 返回导航 2．(选择性必修第二册P34T1改编)如果－9，a，b，c，－1成等比数列，那么(　　) A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9 C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－9 解析：依题意，b2＝ac＝(－9)×(－1)＝9，a2＝－9b＞0，得b＜0，所以b＝－3，ac＝9. B 返回导航 5 3．在等比数列{an}中，已知a1＝3，an＝48，Sn＝93，则n＝________． 返回导航 4．在等比数列{an}中，a3a9＝1，a1a5＋a8a10＝8，则a3＋a9的值为________． 返回导航 5．已知等比数列{an}的前6项和为126，其中偶数项和是奇数项和的2倍，则a1＝________． 2 返回导航 返回导航 探究核心题型 第二部分 16 题型一——等比数列的基本量运算 D 返回导航 2．已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝2S3－S2＋6，a2＝1，则a5＝(　　) A．16 B．32 C．27 D．81 解析：设等比数列{an}的公比为q，因为S4＝2S3－S2＋6，a2＝1，则S4－S3＝S3－S2＋6，所以a4＝a3＋6，因为a2＝1，所以q2＝q＋6，q＞0，所以q＝3或q＝－2(舍去)，所以a5＝1×33＝27. C 返回导航 AD 返回导航 返回导航 返回导航 2　 返回导航 【素养小结】　等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，结合通项公式及前n项和公式通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解，体现了数学中的方程思想． 易错点　等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，容易遗忘． 返回导航 题型二——等比数列的判定与证明 返回导航 (2)求数列{an}的通项公式． 返回导航 返回导航 【素养小结】　 返回导航 注意　(1)在解答题中证明一个数列为等比数列时，只能用定义法或等比中项法；(2)如果要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续的三项不成等比数列即可． 返回导航 [对点训练] 已知数列{an}满足a1＝3，且log3an＋1＝1＋log3an. (1)求证：{an}为等比数列； 返回导航 返回导航 因为{32n+1}为递增数列， 所以(32n+1)min＝27， 所以t＜27，即实数t的取值范围为(－∞，27). 返回导航 题型三——等比数列的性质及应用 BC 返回导航 对于C，D，由a1＞0，q＞1，得数列{an}是递增数列，则0＜a1＜a2＜a3＜a4＜1＜a5＜…， 于是T1＞T2＞T3＞T4，当n≥4时，Tn＋1＞Tn，因此Tn≥T4，C正确，D错误． 返回导航 返回导航 【素养小结】　在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用等比数列的性质，特别是“若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq(m，n，p，q∈N*)”，可以减少运算量，提高解题速度． 返回导航 考向2　和的性质 [例3] (2025·全国一卷)若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于________． 2 返回导航 真题源于人教A版选择性必修第二册P37T5：如果一个等比数列前5项的和等于10，前10项的和等于50，那么这个数列的公比等于多少？ 相似度　两道试题，题型相同，均是围绕等比数列公比求解的题目；解题思路相同，均可利用等比数列前n项和的性质或基于等比数列的前n项和公式来构建关于公比q的方程求解． 变式点　两道题目项数的间隔不同，且真题明确说明数列的各项均为正数． 返回导航 细研真题 [变式1]　在等比数列{an}中，Sn为其前n项和，若S10＝5，S20＝15，则S30的值为________． 解析： 因为{an}为等比数列， 所以S10，S20－S10，S30－S20成等比数列， 即5，15－5，S30－15成等比数列，可得5(S30－15)＝100， 所以S30＝35. 35 返回导航 细研真题 [变式2]　已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝4，则S9的最小值为________． 3 返回导航 细研真题 【素养小结】　等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形；二是等比中项的变形；三是前n项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征，即可找出解决问题的突破口． 注意　在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要对性质进行适当变形．此外，解题时注意“设而不求”的运用． 返回导航 [对点训练] 1.(2026·南通模拟)在等比数列{an}中，a5a6a7＝8，a2＋a6＝20，则a4＝(　　) A．36 B．±6 C．－6 D．6 D 返回导航 2．若正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S8－2S4＝6，则a9＋a10＋a11＋a12的最小值为________． 解析：由题意，设等比数列{an}的公比为q(q＞0)， 由S4，S8－S4，S12－S8成等比数列， 可得S4·(S12－S8)＝(S8－S4)2， 又因为S8－2S4＝6， 即S8－S4＝S4＋6， 24 返回导航 返回导航 a 常用 结论 1.等比数列{an}的单调性：当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，{an}是递增数列；当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1>0时，{an}是递减数列；当q＝1时，{an}是常数列． 2．等比数列的常用结论 (1)若数列{an}的项数为2n，则＝q；若项数为2n＋1，则＝q，或＝q. (2)若a1a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列． [例1] 已知在数列{an}中，a1＝，a2＝.当n≥2时，3an＋1＝4an－an－1(n∈N*). (1)求证：{an＋1－an}为等比数列； a2－a1＝×，累加得an－a1＝×＝－， 所以当n≥2时，an＝1－，当n＝1时，a1＝也满足上式， 所以an＝1－(n∈N*). 解：由(1)知an＝3n，所以bn＝3n＋， 因为{bn}为递增数列，所以∀n∈N*， bn＋1－bn＝3n+1＋－＝2×3n－＞0恒成立，所以2×3n＞， 即t＜32n+1对任意正整数恒成立，即t＜(32n+1)min， 考向1　项的性质 [例2] (1)(多选)已知正项等比数列{an}的前n项积为Tn，若T8＜1＜T9，则 (　　) A．a3a6＞1 B．＞1 C．Tn≥T4 D．Tn≤T5 $