第6章 第2讲 等差数列(课件PPT)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学（创新版）

该高中数学高考复习课件聚焦“等差数列”专题，依据课标要求覆盖概念、通项公式、前n项和公式及性质四大核心考点，通过“落实必备知识+探究核心题型”系统梳理，对接高考评价体系，明确基本量运算、性质应用等高频考点，归纳判定证明、和的最值等常考题型，备考针对性强。 课件亮点在于高考真题驱动与应试技巧指导，如以2025全国二卷真题为例，用方程思想突破基本量运算，结合“二次函数法”“构造法”解决和的最值问题，培养学生数学思维与运算能力。设易错点警示（如定义法证明需n≥2），助力学生掌握解题规律，教师可据此精准教学，提升复习效率。

第2讲　等差数列 课标要求 1.理解等差数列的概念．　2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式．　3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题．　4.体会等差数列与一次函数、二次函数的关系． 返回导航 内 容 索 引 落实必备知识 1 1 探究核心题型 2 落实必备知识 第一部分 4 1．等差数列的有关概念 (1)定义：一般地，如果一个数列从_____起，每一项与它的前一项的__都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为_____________(n∈N*，d为常数). (2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是_____________，其中A叫做a与b的________． an＋1－an＝d 差 第2项 等差中项 返回导航 2．等差数列的基本公式 (1)通项公式：an＝____________． a1＋(n－1)d 返回导航 3．等差数列的常用性质 已知{an}为等差数列，d为公差，Sn为该数列的前n项和． (1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)； (2)在等差数列{an}中，当m＋n＝p＋q时，am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*).特别地，若m＋n＝2p，则2ap＝am＋an(m，n，p∈N*)； (3)ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等差数列，公差为md(k，m∈N*)； (4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也为等差数列，公差为n2d； (5)若{an}，{bn}(项数相同)是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列； 返回导航 1．已知实数m是2和8的等差中项，则m＝(　　) A．±4 B．－4 C．4 D．5 D 返回导航 A 返回导航 CD 3．(多选)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝6，an＝an＋1＋2，则下列说法正确的是(　　) A．{an}是递增数列 B．a10－a1＝－14 C．当n＞4时，an＜0 D．当n＝3或4时，Sn取得最大值 返回导航 解析：对于A，由an＝an＋1＋2得，an＋1－an＝－2，所以{an}是递减数列，故A错误； 对于B，由an＋1－an＝－2得，数列{an}是等差数列，所以an＝6－2(n－1)＝－2n＋8， 所以a10－a1＝－12－6＝－18，故B错误； 对于C，因为an＝－2n＋8，当n>4时，－2n＋8＜0，故C正确； 返回导航 4．(选择性必修第二册P23T5改编)已知等差数列{an}共有2n－1项，奇数项之和为60，偶数项之和为54，则n＝________． 10 返回导航 常用 结论 1.等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列． 2．在等差数列{an}中，若a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值． 返回导航 返回导航 探究核心题型 第二部分 15 题型一——等差数列的基本量运算 1．(2025·全国二卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若S3＝6，S5＝－5，则S6＝(　　) A．－20 B．－15 C．－10 D．－5 B 返回导航 返回导航 返回导航 2．(2026·惠州模拟)已知等差数列{an}的首项a1＝2，公差d＝12，在{an}中每相邻两项之间都插入3个数，组成一个新的等差数列{bn}，则bn＝(　　) A．4n－2 B．3n－1 C．3n D．2n＋1 B 返回导航 3．(2026·金华模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝S5＝5，则公差d＝__________． 2 返回导航 4．已知数列{an}，{bn}都是公差为1的等差数列，其首项分别为a1，b1，且a1＋b1＝5，a1，b1∈N*，设cn＝abn(n∈N*)，则数列{cn}的前n项和为 ________． 返回导航 【素养小结】　等差数列中有五个量a1，an，d，n，Sn，结合通项公式及前n项和公式通过列方程(组)求关键量a1和d，问题可迎刃而解，体现了数学中的方程思想． 返回导航 题型二——等差数列的判定与证明 返回导航 (2)若a4，a7，a9成等比数列，求Sn的最小值以及此时n的值． 返回导航 【素养小结】　等差数列的判定与证明的常用方法 (1)定义法：an＋1－an＝d(d是常数，n∈N*)或an－an－1＝d(d是常数，n∈N*，n≥2)⇔{an}为等差数列． (2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}为等差数列． (3)通项公式法：an＝an＋b(a，b是常数，n∈N*)⇔{an}为等差数列． (4)前n项和公式法：数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝an2＋bn(a，b为常数)⇔{an}为等差数列． 返回导航 易错点　(1)用定义法an－an－1＝d证明数列{an}是等差数列时，必须考虑n≥2. (2)若要判定一个数列不是等差数列，则只需找出三项an，an＋1，an＋2，使这三项不满足2an＋1＝an＋an＋2即可；但如果要证明一个数列是等差数列，则必须证明任意n∈N*都满足上式． 返回导航 [对点训练] 1.设数列{an}的前n项和为Sn，若an＝λn＋8，a15＝10，则S29＝ (　　) A．110 B．130 C．290 D．190 C 返回导航 n2 返回导航 题型三——等差数列的性质及应用 B 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 考向2　和的性质 [例3] (1)设Sn为等差数列{an}的前n项和，且S3＝12，S6＝15，则S12－S9＝________． 【解析】　因为Sn为等差数列{an}的前n项和，则S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差数列， 且S3＝12，S6＝15，则S6－S3＝3，则其公差为－9，所以S9－S6＝3＋(－9)＝－6， 所以S12－S9＝－6＋(－9)＝－15. －15 返回导航 返回导航 返回导航 【素养小结】　在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则： (1)Sn＝kn2＋bn(k，b为常数). (2)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；S2n－1＝(2n－1)an. (3)依次k项和成等差数列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差数列． 返回导航 考向3　和的最值 [例4] (1)(2026·深圳模拟)已知{an}是公差不为0的等差数列，其前n项和为Sn，则“∀n∈N*，Sn≥S9”是“a9≤0”的(　　) A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 C 返回导航 【解析】　若∀n∈N*，Sn≥S9，这意味着S9是数列{Sn}中的最小值． 因为{an}是公差不为0的等差数列， 所以当S9是最小值时，说明从第10项开始数列{an}的项变为非负数，即a9≤0，且a10≥0(等号不同时成立). 所以由“∀n∈N*，Sn≥S9”可以推出“a9≤0”，充分性成立. 若a9≤0，仅知道第9项是非正的，但无法确定S9就是Sn的最小值．如，an＝n－11，a9＝－2＜0，S9就不是最小值，即不能推出∀n∈N*，Sn≥S9，必要性不成立. 综上，“∀n∈N*，Sn≥S9”是“a9≤0”的充分不必要条件． 返回导航 (2)若数列{an}满足an＋an＋2＝2an＋1(n∈N*)，a1＝10，a7＝－2，设数列{an}的前n项和为Sn，则当Sn取最大值时，n＝________． 5或6 返回导航 方法二：an＝a1＋(n－1)d＝10－2(n－1)＝12－2n， 则当n≤5时，an＞0；当n＝6时，a6＝0；当n≥7时，an＜0， 所以当Sn取最大值时，n＝5或6. 返回导航 【素养小结】　求等差数列前n项和Sn最值的两种方法 返回导航 [对点训练] 1.(2026·烟台模拟)已知等差数列{an}中，a2＋a6＝8，其前n项和为Sn，则S7＝(　　) A．21 B．28 C．42 D．56 B 返回导航 BD 返回导航 返回导航 对于D，因为等差数列{an}是递减数列，且a7＜0，a6＋a7＞0，则a6＞0，a7＜0，所以S1＜S2＜…＜S5＜S6＞S7＞…＞S12，故D正确． 返回导航 2或8 返回导航 A＝ 常用 结论 3．关于等差数列{an}的奇数项和与偶数项和的性质 (1)若项数为2n，则S偶－S奇＝nd，＝； (2)若项数为2n－1，则S偶＝(n－1)an，S奇＝nan，S奇－S偶＝an，＝. 4．两个等差数列{an}，{bn}的前n项和Sn，Tn之间的关系为＝. 解析：因为＝，所以＝＝＝＝＝＝＝＝3＋，若使为整数，则n＋1是9的因数，因为n∈N*，所以n＝2或n＝8. $