第7章 [微拓展] 三垂线定理(课件PPT)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

该高中数学高考复习课件聚焦“三垂线定理”核心考点，依据高考评价体系梳理线线垂直、线面垂直证明的考查要求，通过正方体、直三棱柱等常考模型分析考点权重，归纳立体几何证明题的解题框架，体现备考针对性。 课件亮点在于“定理辨析+典例精讲+技法点拨”的实战设计，如以正方体中A₁C⊥BC₁证明为例，详解“找平面垂线、定斜线射影”的解题步骤，培养学生的空间观念和推理能力。训练题贴近高考真题，帮助学生熟练证明思路，教师可据此精准指导学生突破立体几何难点。

[微拓展] 　三垂线定理 1.三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直． 2.三垂线定理的逆定理：平面内的一条直线如果和该平面内一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面内的射影垂直． 如图，若点P是平面α外一点，PA是平面α的斜线，交α于点A；过点P作平面α的垂线PO，垂足是O，直线OA是PA在平面α上的射影，则a⊥OA⇔a⊥PA. 返回首页 典例 　　　 (1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：A1C⊥BC1. 第(1)题图 【证明】　在正方体ABCD-A1B1C1D1中，因为A1B1⊥平面BCC1B1，A1C是平面BCC1B1的一条斜线，所以B1C是A1C在平面BCC1B1上的射影，又B1C⊥BC1，由三垂线定理知A1C⊥BC1. 返回首页 (2)如图，ABCD为直角梯形，∠DAB＝∠ABC＝90°，AD＝2AB＝2BC，PA⊥平面ABCD. 求证：PC⊥CD.1 第(2)题图 返回首页 返回首页 【技法点拨】　三垂线定理解题的关键：一找直线和平面垂直，二找平面的斜线在平面内的射影和平面内的一条直线垂直． 注意　由一垂、二垂直接得出第三垂并不是三垂都作为已知条件． 返回首页 训练 　1.已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，则平行四边形ABCD的形状为________． 菱形 解析：由于PA⊥平面ABCD，则PC在平面ABCD内的射影是AC， 又BD⊂平面ABCD，且PC⊥BD，所以BD⊥AC，又四边形ABCD是平行四边形，所以平行四边形ABCD是菱形． 返回首页 2．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AC＝AA1.求证：A1C⊥平面ABC1. 证明：在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1A⊥AB， 又AB⊥AC，A1A∩AC＝A，A1A，AC⊂平面ACC1A1，所以AB⊥平面ACC1A1，则斜线BC1在平面ACC1A1内的射影为AC1， 因为AC＝AA1，所以四边形ACC1A1为正方形，所以A1C⊥AC1且A1C⊂平面ACC1A1，由三垂线定理可得，A1C⊥BC1， 又BC1∩AC1＝C1，BC1，AC1⊂平面ABC1，所以A1C⊥平面ABC1. 返回首页 $