第6章 第5讲 子数列问题(课件PPT)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

该高中数学高考复习课件聚焦子数列问题，覆盖奇偶项分类、增减项构造、公共项与并项三大高考核心类型，依据高考评价体系梳理考点权重，归纳含(-1)^n求和、插项项数计算等常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于真题案例驱动的解题策略指导，如例1通过奇偶项分类讨论求前n项和，例2利用等差数列项数公式确定插项范围，培养学生数学思维与数学语言表达能力。配套训练题含易错点分析，教师可据此实施精准教学，助力学生高效突破数列综合题。

第5讲　子数列问题 　　子数列是数列问题中的一种常见题型．将原数列转化为子数列问题一般适用于某个数列是由几个有规律的数列组合而成的，具体求解时，要搞清楚子数列的项在原数列中的位置，以及在子数列中的位置，即项不变化，项数变化，它体现了转化与化归以及分类讨论、函数与方程的思想，能很好地考查学生的思维能力． 返回首页 类型一　奇偶项问题 例1　已知数列{an}满足a1＝10, lg an＋1＝2lg an＋1. (1)求{an}的通项公式； 【解】　因为lg an＋1＝2lg an＋1，所以lg an＋1＋1＝2lg an＋2＝2(lg an＋1)，因为a1＝10，所以lg a1＋1＝2， 所以{lg an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以lg an＋1＝2×2n-1＝2n，lg an＝2n－1，故an＝102n－1. 返回首页 (2)若bn＝(－1)n lg an，Tn为{bn}的前n项和，求Tn. 【解】　由(1)可得bn＝(－1)n lg an＝(－1)n·(2n－1)， 所以Tn＝(－1)1·(21－1)＋(－1)2·(22－1)＋…＋(－1)n·(2n－1)， 当n为偶数时， 返回首页 返回首页 【感悟进阶】　(1)含有(－1)n的数列求和，需按奇偶项分为两个数列分别求解． (2)对于通项公式奇、偶项不同的数列{an}求前n项和Sn时，可以分别求出奇数项的和与偶数项的和，也可以先求出S2k，再利用S2k－1＝S2k－a2k，求S2k－1. 返回首页 训练 BCD 返回首页 返回首页 当n为偶数时，an＋2＝an＋1＋1＝2an＋1＋1＝2an＋2，则an＋2＋2＝2(an＋2)，又a2＋2＝4，此时{an＋2}是首项为4，公比为2的等比数列， 返回首页 综上，a2k－1＝2k+1－3，a2k＝2k+1－2且k∈N*，则a2k－a2k－1＝2k+1－2－2k+1＋3＝1>0，且a2k＋1－a2k＝2k+2－3－2k+1＋2＝2k+1－1>0，所以{an}是递增数列且各项均为正数，C正确； 返回首页 返回首页 返回首页 类型二　增减项问题 例2 　(2026·西安模拟)已知数列{an}是等差数列，且a2＝4，2a4－a5＝7. (1)求数列{an}的通项公式； 返回首页 (2)在ak和ak＋1(k∈N*)之间插入k个相同的数(－1)k+1·k，构成一个新数列{bn}：a1，1，a2，－2，－2，a3，3，3，3，a4，…，求{bn}的前100项和T100. 返回首页 返回首页 【感悟进阶】　对于数列的中间插项或减项构成新数列问题，要先判断数列之间共插入(减少)了多少项(运用等差等比求和或者项数公式去判断)，再根据题目给出的条件确定它包含了哪些项． 返回首页 　 (2026·广州模拟)已知公差不为零的等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝1，且a1，2a2，4a4成等比数列，4b2，2b3，b4成等差数列． (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； 训练 返回首页 (2)令cn＝3an，去掉数列{cn}中的第3k项(k∈N*)，余下的项顺序不变，构成新数列{tn}，写出数列{tn}的前4项，并求{tn}的前2n项和S2n. 解：由(1)得cn＝3an＝3n，由题意得，数列{tn}为31，32，34，35，37，…，所以{tn}的前4项依次为3，9，81，243. 返回首页 返回首页 类型三　公共项与并项 例3　已知{an}是首项为1的等比数列，{bn}是首项为2的等差数列，a3＝b2且a4＝b1＋b3. (1)求{an}和{bn}的通项公式； 【解】　设{an}的公比为q(q≠0)，{bn}的公差为d，因为a3＝b2且a4＝b1＋b3，所以q2＝2＋d，q3＝4＋2d， 解得q＝2，d＝2，所以an＝2n-1，bn＝2n. 返回首页 (2)若{an}和{bn}中的所有项分别构成集合A，B，将A∪B的所有元素按从小到大的顺序排列组成新数列{cn}，求数列{cn}的前50项和S50. 返回首页 【感悟进阶】　与两个数列“公共项”“并项”有关的问题的解题关键是确定好两个数列的“公共项”，此类问题一般有三种类型：一类是去掉“公共项”后，构成新数列；一类是由“公共项”构成新数列；一类是由所有不同数值构成新数列． 返回首页 　(2026·富阳三校联考)已知数列{an}和{bn}通项公式分别为an＝3n－19，bn＝2n，将数列{an}和{bn}的公共项按照从小到大的顺序排成一个新数列{cn}，则数列{cn}的通项公式为________________． cn＝22n-1 训练 返回首页 返回首页 Tn＝(－21＋22－23＋24－…＋2n)＋(1－1＋1－1＋…－1)＝－(21＋23＋…＋2n-1)＋(22＋24＋…＋2n)＋×0＝＋＝； 当n为奇数且n≥3时， 解析：由an＝k∈N*，得a2＝a1＋1＝2，a3＝2a2＋1＝5，a4＝a3＋1＝6，a5＝2a4＋1＝13，a6＝a5＋1＝14，A错误； 则an＋2＝4×2＝2，an＝2－2；当n为奇数时，an＋2＝2an＋1＋1＝2(an＋1)＋1＝2an＋3，则an＋2＋3＝2(an＋3)，又a1＋3＝4，此时{an＋3}是首项为4，公比为2的等比数列，则an＋3＝4×2＝2，an＝2－3，B正确； 当m为偶数时，Sm＝(22－3)＋(22－2)＋(23－3)＋(23－2)＋…＋(2－3)＋(2－2)＝2×－5×＝8(2－1)－5×＝2+3－8－5×， 又2+3－8－5×＝4 043<4 045，所以正整数m的最小值是19，D正确． 解：设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，等比数列{bn}的公比为q(q≠0)，由题意得即又a1＝b1＝1，d≠0，所以d＝1，q＝2，所以an＝1＋(n－1)×1＝n，bn＝1×2n-1＝2n-1. $