第18练 等差数列与等比数列的应用《数学》拓展模块一下册（高教版第三版）《一课一练》（原卷版+解析版）

**基本信息** 中职数学《一课一练》第18练围绕等差数列与等比数列应用，通过三级分层设计实现从概念理解到实际建模的知识巩固，培养数学眼光与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|等差等比基本公式|选择题1-4（如蔗糖厂产量）、填空题7-8（数列前n项和），聚焦单一知识点运算| |进阶层|跨情境关联应用|选择题5-6（几何规律）、填空题9-10（十二平均律），融合实际问题与数学推理| |综合层|复杂问题建模|解答题11-12（公司利润、复利存款），培养数学思维与现实问题解决能力|

中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》拓展模块一下册（高教版第三版） 第七章 数列 第 18 练 等差数列与等比数列的应用 一、选择题 1．某广西蔗糖厂年产量每年增长，若年产量为吨，则年产量约为（    ）（参考数据：） A．吨 B．吨 C．吨 D．吨 2．现需要把粗细均匀的124根圆木排成5层梯形形状，由上至下，从第二层起，每层的根数是上一排层的2倍，则最上面一层的圆木根数为（   ） A．12 B．6 C．8 D．4 3．鬼工球，又称同心球，要求制作者使用一整块完整的材料，将其雕成每层均同球心的数层可自由转动的空心球，空心球的球面厚度不计.为保证鬼工球的每一层均可以自由转动，要求其从最内层起，每层与其外一层球面的间距构成首项为､公差为的等差数列，若一个鬼工球最外层与最内层的半径之差为，则该鬼工球的层数为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 4．中国古代数学专著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛､马､羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛､马､羊吃了别人的禾苗.禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛､马､羊的主人应分别偿还升､升､升粟，1斗为10升，则（    ） A．，，依次成公比为2的等比数列 B．，，依次成公差为2的等差数列 C． D． 5．小敏用小正方形积木拼出窗外松树的形状，该形状由多层组成，每一层由三行的小正方形积木搭成，前3层的摆放情况如图所示.同一层中每一行均比上一行多2块，且每一层的第一行均比上一层的第一行多2块，按照这一规律，第六层小正方形积木的总块数为（   ）    A．45 B．39 C．33 D．27 6．如图所示，已知的周长为2，连接三边的中点构成第2个三角形，再连接第2个三角形三边中点构成第3个三角形，依此类推，则第10个三角形的周长等于（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 7．已知数列的前n项和为，且，且，则______． 8．某装修公司拟在一高大建筑物的墙面上嵌入彩色瓷砖美化墙面，最上面一排嵌入2块，往下第二排嵌入4块，第三排嵌入8块，以此类推，，共放了8层，这墙面上嵌入的彩色瓷砖共有__________块． 9．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为，则第八个单音的频率为_________． 10．某服装专卖店今年5月推出一款新服装，上市第 1 天售出 20 件，以后每天售出的件数都比前一天多 5 件，则上市的第 7 天售出这款服装的件数是_________ 三、解答题 11．某公司在一创业园投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年支出各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元，设表示前年的纯收入．求从第几年开始获取纯利润？前年的总收入-前年的总支出-投资额） 12．某家庭打算买一套住房，决定以一年定期的方式存款，计划从2023年起每年年初到银行新存入a元，年利率p保持不变，并按复利计算，到2031年初将所有存款和利息全部取出，则这个家庭共取回多少元？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》拓展模块一下册（高教版第三版） 第七章 数列 第 18 练 等差数列与等比数列的应用 一、选择题 1．某广西蔗糖厂年产量每年增长，若年产量为吨，则年产量约为（    ）（参考数据：） A．吨 B．吨 C．吨 D．吨 【答案】C 【分析】根据等比数列的通项公式求值即可. 【详解】由年产量每年增长， 所以年后每一年的产量成等比数列， 首项为，公比， 则2025年到2028年经过3年， 则产量为吨， 故选：C. 2．现需要把粗细均匀的124根圆木排成5层梯形形状，由上至下，从第二层起，每层的根数是上一排层的2倍，则最上面一层的圆木根数为（   ） A．12 B．6 C．8 D．4 【答案】D 【分析】由上至下，设各层数构成数列，则数列是以公比的等比数列，根据等比数列的求和公式可求解. 【详解】由上至下，设各层数构成数列，由题可知，数列是以公比的等比数列， 因为圆木总数为124根， 所以，解得， 即最上面一层的圆木根数为4. 故选：D 3．鬼工球，又称同心球，要求制作者使用一整块完整的材料，将其雕成每层均同球心的数层可自由转动的空心球，空心球的球面厚度不计.为保证鬼工球的每一层均可以自由转动，要求其从最内层起，每层与其外一层球面的间距构成首项为､公差为的等差数列，若一个鬼工球最外层与最内层的半径之差为，则该鬼工球的层数为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】根据题意，结合等差数列前n项和公式，及等差数列应用，即可求解. 【详解】根据题意可得，每层与其外一层球面的间距构成首项､公差的等差数列， 设该鬼工球的层数为，则前项和， 所以，即， 解得或（舍）. 故选：B. 4．中国古代数学专著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛､马､羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛､马､羊吃了别人的禾苗.禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛､马､羊的主人应分别偿还升､升､升粟，1斗为10升，则（    ） A．，，依次成公比为2的等比数列 B．，，依次成公差为2的等差数列 C． D． 【答案】D 【分析】根据等比数列的定义，结合题意分析判断即可. 【详解】由题意可知，，依次成公比为的等比数列，故A、B都错误； 又因为，， 所以，所以，故C错误，D正确． 故选：D. 5．小敏用小正方形积木拼出窗外松树的形状，该形状由多层组成，每一层由三行的小正方形积木搭成，前3层的摆放情况如图所示.同一层中每一行均比上一行多2块，且每一层的第一行均比上一层的第一行多2块，按照这一规律，第六层小正方形积木的总块数为（   ）    A．45 B．39 C．33 D．27 【答案】A 【分析】先得出前三层的小正方形积木的总块数，观察发现每一层均比上一层多6块，即可求解. 【详解】由图形可知，第一层小正方形积木的总块数为， 第二层小正方形积木的总块数为， 第三层小正方形积木的总块数为， …… 观察发现，每一层均比上一层多6块， 则第六层小正方形积木的总块数为， 故选：A. 6．如图所示，已知的周长为2，连接三边的中点构成第2个三角形，再连接第2个三角形三边中点构成第3个三角形，依此类推，则第10个三角形的周长等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的中位线，得出这些三角形的周长形成等比数列，再由等比数列通项公式求解即可. 【详解】已知的周长为2，连接三边的中点构成第2个三角形， 根据三角形中位线的性质，第个三角形周长是周长的，即周长为， 同理，第个三角形周长也是第个三角形周长的， 设第个三角形周长为，则数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以. 即第10个三角形的周长等于. 故选：B. 二、填空题 7．已知数列的前n项和为，且，且，则______． 【答案】2n 【分析】利用等差数列的基本公式即可求解. 【详解】由题，数列的前n项和为，且， 可知数列是等差数列， 故， 数列是首项为2，公差为2的等差数列， 故， 故答案为：. 8．某装修公司拟在一高大建筑物的墙面上嵌入彩色瓷砖美化墙面，最上面一排嵌入2块，往下第二排嵌入4块，第三排嵌入8块，以此类推，，共放了8层，这墙面上嵌入的彩色瓷砖共有__________块． 【答案】 【分析】根据等比数列前项和公式求值即可. 【详解】由最上面一排嵌入2块， 往下第二排嵌入4块， 第三排嵌入8块， 可得， 所以从上往下每层的瓷砖个数依次成等比数列，设公比为 其中， 则， 所以这墙面上嵌入的彩色瓷砖共有块. 故答案为：. 9．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为，则第八个单音的频率为_________． 【答案】 【分析】由题知，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比是同一个常数，从而利用等比数列的通项公式即可求得. 【详解】由题知，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于， 所以每一个单音的频率构成等比数列，且公比， 若第一个单音的频率为，则第八个单音的频率为. 故答案为：. 10．某服装专卖店今年5月推出一款新服装，上市第 1 天售出 20 件，以后每天售出的件数都比前一天多 5 件，则上市的第 7 天售出这款服装的件数是_________ 【答案】 【分析】利用等差数列通项公式可求. 【详解】由题可知此满足等差数列，，， 则， 则上市的第 7 天售出这款服装的件数是. 故答案为：. 三、解答题 11．某公司在一创业园投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年支出各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元，设表示前年的纯收入．求从第几年开始获取纯利润？前年的总收入-前年的总支出-投资额） 【答案】从第3年开始获利 【分析】根据题意，结合等差数列前n项和的应用，及二次不等式的解法，即可求解. 【详解】由题意知，每年的经费是以12为首项，4为公差的等差数列， 所以， 获取纯利润就是要求，故有，即， 解得．又， 所以从第3年开始获取纯利润． 12．某家庭打算买一套住房，决定以一年定期的方式存款，计划从2023年起每年年初到银行新存入a元，年利率p保持不变，并按复利计算，到2031年初将所有存款和利息全部取出，则这个家庭共取回多少元？ 【答案】元 【分析】设从2023年年初到2031年年初每年的本利和组成数列，把2023年末存款的本利和看作，利用等比数列的求和公式求即可. 【详解】设从2023年年初到2031年年初每年的本利和组成数列，到2031年为止，把2023年末存款的本利和看作，则2030年末存款的本利和为， 则． 因为， 而是首项为，公比为的等比数列， 所以． 所以这个家庭应取出的钱数为元． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $