第18练 抛物线的几何性质《数学》拓展模块一上册（高教版第三版）《一课一练》（原卷版+解析版）

**基本信息** 中职数学高教版第三版《一课一练》第18练（抛物线的几何性质），以“基础认知-技能应用-综合拓展”三阶分层设计，通过选择、填空、解答题递进巩固知识，培养运算能力与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|抛物线定义、准线方程等单一知识点|6道选择题聚焦概念辨析与简单计算，如准线方程求解| |技能应用|焦点弦、参数关系等中档知识|4道填空题强化运算技能，如过焦点直线斜率计算| |综合拓展|方程求解与实际应用等综合知识|2道解答题整合知识，如抛物线方程确定与弦中点坐标求解|

中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》拓展模块一上册（高教版第三版） 第三章 圆锥曲线 第 18 练 抛物线的几何性质 一、选择题 1．曲线在点处的切线斜率为（   ）． A．0 B． C．4 D．不存在 2．若抛物线的焦点与椭圆的左焦点重合，则抛物线的准线方程是（   ） A． B． C． D． 3．已知等腰直角三角形的直角顶点在原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等腰直角三角形的面积为（    ） A． B．4 C．8 D． 4．抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 5．抛物线形拱桥的顶点距水面2米时，水面宽为8米，当水面下降1米后，水面宽为（    ） A．米 B．43米 C．8米 D．12米 6．已知直线和抛物线相交于A、B两点，则线段的长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 二、填空题 7．过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，且，则直线的斜率_______． 8．已知抛物线的焦点为，是y轴上一点，线段的延长线交C于点N，若，则________. 9．已知抛物线上一点P的横坐标为5，则点P到抛物线焦点的距离是_________. 10．若抛物线的准线方程为，则该抛物线的焦点坐标为_____． 三、解答题 11．已知抛物线的焦点，直线与抛物线C交于A，B两点. (1)求抛物线的标准方程； (2)若线段的中点为P，求点P的坐标. 12．在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点在原点，焦点是直线与轴的交点． (1)求抛物线的方程； (2)若斜率为的直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》拓展模块一上册（高教版第三版） 第三章 圆锥曲线 第 18 练 抛物线的几何性质 一、选择题 1．曲线在点处的切线斜率为（   ）． A．0 B． C．4 D．不存在 【答案】A 【分析】设出切线的斜率，写出切线方程，联立方程组令即可得解. 【详解】若切线斜率不存在，则方程为，与曲线不相切. 设切线的斜率为，则切线方程为即， 联立方程组得， 因为相切，则，解得， 所以切线斜率为， 故选：. 2．若抛物线的焦点与椭圆的左焦点重合，则抛物线的准线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆焦点坐标、抛物线焦点与准线关系求解即可. 【详解】椭圆中，故左焦点为. 由抛物线焦点与准线的关系得准线方程为. 故选：B. 3．已知等腰直角三角形的直角顶点在原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等腰直角三角形的面积为（    ） A． B．4 C．8 D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的对称性设其中一个顶点为，则另一个顶点为，再由与列方程求解的值，再由三角形面积公式求值即可. 【详解】如图，    已知等腰直角三角形的直角顶点在原点， 另外两个顶点在抛物线上， 因为的对称轴为轴，所以外两个顶点关于轴对称， 设其中一个顶点为，则另一个顶点为， 则，由， 得，又顶点在抛物线上， 即，所以，解得或（舍去）， 则，则， 则， 所以等腰直角三角形的面积为， 故选：B. 4．抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的方程及性质求解即可. 【详解】因为抛物线方程为， 所以其焦点在轴的负半轴，且，即， 所以其准线方程为. 故选：A. 5．抛物线形拱桥的顶点距水面2米时，水面宽为8米，当水面下降1米后，水面宽为（    ） A．米 B．43米 C．8米 D．12米 【答案】A 【分析】建立合适的坐标系求出抛物线方程，然后根据水面下降的情况求出此时水面的宽度. 【详解】以抛物线的顶点为原点，对称轴为轴建立平面直角坐标系，如图，    设抛物线方程为， 已知顶点距水面米时，水面宽为米，即，可得点的坐标为， 代入抛物线方程可得，解得， 所以抛物线方程为. 当水面下降米后，达到的位置，设， 此时水面距离顶点的距离为米，即， 将代入抛物线方程中，得， 解得， 所以此时水面的宽度为米. 故选：A. 6．已知直线和抛物线相交于A、B两点，则线段的长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】根据题意联立方程组，结合韦达定理及弦长公式即可得解. 【详解】直线的斜率为， 联立方程组， 设， 则，， 所以， 故选：. 二、填空题 7．过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，且，则直线的斜率_______． 【答案】或 【分析】根据题意，过两点分别作准线的垂线，垂足设为，结合抛物线的定义可得，，过点作直线垂直于轴，交的延长线于点，在中，易得，继而得到，结合抛物线的对称性可知直线的倾斜角为或，继而求得直线的斜率. 【详解】 由抛物线方程易知，焦点坐标为，准线方程为． 过两点分别作准线的垂线，垂足设为， 由抛物线的定义易知，． 过点作直线垂直于轴，交的延长线于点， 在中，， 所以． 根据对称性，直线的倾斜角为或， 所以直线的斜率或． 故答案为：或. 8．已知抛物线的焦点为，是y轴上一点，线段的延长线交C于点N，若，则________. 【答案】2 【分析】作于D点，交y轴于A点，分析之间的关系，结合抛物线定义即可求解. 【详解】已知抛物线的焦点为， 记抛物线的准线为， 如图，作于D点，交y轴于A点，则， 因为，所以为的中点， 所以， 所以，解得. 故答案为：2 9．已知抛物线上一点P的横坐标为5，则点P到抛物线焦点的距离是_________. 【答案】7 【分析】根据抛物线的性质求解即可. 【详解】抛物线的准线为，则该抛物线上点P到准线的距离为. 根据抛物线的性质，则点P到其焦点的距离为. 故答案为：7. 10．若抛物线的准线方程为，则该抛物线的焦点坐标为_____． 【答案】 【分析】由抛物线的性质可知，，进而可得抛物线的标准方程，抛物线的焦点坐标即可得解． 【详解】因为抛物线的准线方程为， 焦点在轴，焦点坐标为， 所以，解得， 所以该抛物线的焦点坐标为． 故答案为：. 三、解答题 11．已知抛物线的焦点，直线与抛物线C交于A，B两点. (1)求抛物线的标准方程； (2)若线段的中点为P，求点P的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线焦点坐标设定抛物线方程，得到，即可解得. （2）设交点，，联立抛物线和直线方程，得到，，即可求解. 【详解】（1）抛物线的焦点， 则抛物线的焦点在x轴正半轴，且， 抛物线方程为. （2）令，， 联立方程组得， 则，，直线方程， 所以， 所以线段的中点为P的坐标为， 所以线段的中点为P的坐标为. 12．在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点在原点，焦点是直线与轴的交点． (1)求抛物线的方程； (2)若斜率为的直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求解出直线与轴的交点，即可得到抛物线的焦点坐标，由此可解； （2）联系直线与抛物线方程，根据韦达定理求解结合弦长求解即可. 【详解】（1）直线中，令， 可得，解得， ∴直线与轴的交点为， ∴抛物线的焦点坐标为， ∴可知抛物线焦点位于轴的正半轴，且， 则，则抛物线的方程为； （2）∵斜率为的直线过抛物线的焦点， ∴，即， 设点， 联立，消y可得，， 其中， ∴， ∵，即， 可得，解得.    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $