第14练 椭圆的几何性质《数学》拓展模块一上册（高教版第三版）《一课一练》（原卷版+解析版）

**基本信息** 中职数学《一课一练》椭圆几何性质同步练，以三阶分层设计实现从概念理解到综合应用的渐进巩固，适配课堂教学目标，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|离心率计算、基本量关系|直接考查定义应用，如选择1、4及填空7、8，强化概念记忆| |进阶层|焦点与顶点关系、方程求解|结合几何图形分析，如选择3、5及填空9、10，发展推理能力| |综合层|轨迹方程、直线与椭圆综合|解答题12含轨迹推导与交点问题，体现模型意识与应用能力|

中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》拓展模块一上册（高教版第三版） 第三章 圆锥曲线 第 14 练 椭圆的几何性质 一、选择题 1．椭圆的离心率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆方程求出的值，代入离心率公式即可得解. 【详解】椭圆，则，， 则，即， 所以离心率为， 故选：. 2．已知点在椭圆上，，是椭圆的两个焦点，若，则的面积是（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的方程和性质即可选出正确答案. 【详解】已知椭圆方程， 则， 则， 设， 根据椭圆的定义，， 因为， 根据勾股定理：， ， 则， 故选：B 3．已知O为坐标原点，椭圆的右顶点为A，以OA为直径的圆与椭圆交于A，M，N三点，若四边形是正方形，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意设出点坐标，代入椭圆方程中，利用椭圆的性质及离心率公式即可得解. 【详解】    如图所示，作出图像， 以OA为直径的圆与椭圆交于A，M，N三点，，则圆的半径为， 设，代入椭圆方程得， 则，即， 所以离心率， 故选：. 4．若椭圆的上顶点与两焦点，构成等边三角形，则此椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由题意得到，再由椭圆的几何性质即可得解. 【详解】∵椭圆的上顶点与两焦点，构成等边三角形， ，. 故选：D. 5．已知椭圆的离心率为，且过点，则的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用椭圆中的关系求解即可. 由题意可得解得， 所以椭圆的方程为. 故选：A 6．若椭圆的离心率为，则（ ） A． B．4 C． D．2 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用离心率的意义求出值. 依题意，，所以. 故选：D 二、填空题 7．椭圆离心率e的取值范围____________ 【答案】 【分析】根据椭圆的性质可得结果. 【详解】由椭圆的性质可知，椭圆离心率e的取值范围为. 故答案为： 8．已知椭圆的离心率为，则_____． 【答案】2 【分析】根据题意，结合椭圆的标准方程，表示出离心率，继而求解. 【详解】因为椭圆的离心率为， 所以，所以离心率， 即，解得（负值舍）. 故答案为：2. 9．已知椭圆的焦点与椭圆的短轴顶点重合，且两个椭圆的离心率相等，则椭圆的标准方程是____________． 【答案】 【分析】首先由已知椭圆方程确定短轴顶点和离心率，再设椭圆的方程为，并由离心率公式和的关系求值即可. 【详解】已知椭圆的短轴顶点为，离心率为， 故椭圆的焦点为，即，设方程为， 因为两个椭圆的离心率相等， 所以，即， 解得，所以椭圆的标准方程为． 故答案为：. 10．已知以，为焦点的椭圆交轴正半轴于点，则的面积为_______． 【答案】12 【分析】根据椭圆方程求出，再根据三角形的面积求解即可. 【详解】椭圆方程为，焦点在轴上，且，. 所以，即，因此两焦点间距. 令，则，解得，因为点在正半轴，所以. 则点到的距离为. 因此面积. 故答案为：12. 三、解答题 11．已知椭圆方程：求： (1)焦点坐标； (2)长半轴a、短半轴b； (3)焦距和离心率． 【答案】(1) (2) 长半轴，短半轴 (3) 焦距，离心率 【分析】（1）根据椭圆的标准方程求出，进而求出，进而得到焦点坐标. （2）根据（1）求出即可. （3）根据椭圆离心率以及焦距公式求解即可. 【详解】（1）已知椭圆方程，则，且焦点在轴上， 则， 因此焦点坐标为. （2）已知，则， 因此长半轴，短半轴. （3）焦距，离心率为. 12．在直角坐标系中，点到两点，的距离之和等于4，设点的轨迹为，直线与交于、两点． (1)求的方程； (2)若，求的值； (3)若，求的值； (4)当时，求的中点坐标． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）首先根据题意判断轨迹，再求出得到标准方程. （2）联立两方程，根据韦达定理以及弦长公式求解即可. （3）根据向量垂直的坐标公式以及韦达定理求解即可. （4）根据韦达定理以及中点坐标公式求解即可. 【详解】（1），∴点的轨迹为椭圆． 设椭圆的标准方程为． 则，． ∴椭圆的标准方程为：. （2）设，．联立，化为， ，， ，， ，化为， 解得，. （3），，， ， ， ，化为，解得. （4）设的中点， ，，， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》拓展模块一上册（高教版第三版） 第三章 圆锥曲线 第 14 练 椭圆的几何性质 一、选择题 1．椭圆的离心率是（   ） A． B． C． D． 2．已知点在椭圆上，，是椭圆的两个焦点，若，则的面积是（   ） A． B．1 C． D． 3．已知O为坐标原点，椭圆的右顶点为A，以OA为直径的圆与椭圆交于A，M，N三点，若四边形是正方形，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 4．若椭圆的上顶点与两焦点，构成等边三角形，则此椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 5．已知椭圆的离心率为，且过点，则的方程为（ ） A． B． C． D． 6．若椭圆的离心率为，则（ ） A． B．4 C． D．2 二、填空题 7．椭圆离心率e的取值范围____________ 8．已知椭圆的离心率为，则_____． 9．已知椭圆的焦点与椭圆的短轴顶点重合，且两个椭圆的离心率相等，则椭圆的标准方程是____________． 10．已知以，为焦点的椭圆交轴正半轴于点，则的面积为_______． 三、解答题 11．已知椭圆方程：求： (1)焦点坐标； (2)长半轴a、短半轴b； (3)焦距和离心率． 12．在直角坐标系中，点到两点，的距离之和等于4，设点的轨迹为，直线与交于、两点． (1)求的方程； (2)若，求的值； (3)若，求的值； (4)当时，求的中点坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $