第5卷 指数函数与对数函数 2027年江苏省（职教高考）《数学45分钟训练卷》（原卷版+解析版）

**基本信息** 聚焦指数函数与对数函数，以“一考一讲”实现检测-讲解-巩固闭环，覆盖概念、性质及应用，逻辑递进培养数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空/解答|8/4/3|考查不等式恒成立、函数最值、方程解、实际应用等|从概念（定义域值域）到性质（单调性），再到运算与实际问题解决，形成完整逻辑链|

编写说明：2027年江苏省（职教高考）《数学45分钟训练卷》，以江苏省职教高考数学科目最新考试大纲及历年真题为依据，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 江苏省（职教高考）《数学45分钟训练卷》 第5卷 指数函数与对数函数 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分). 1．不等式对恒成立，则实数的取值范围（ ） A． B． C． D． 2．若，则函数的最小值为（ ） A．4 B．0 C．5 D．9 3．若函数，则方程的解的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 4．某企业2022年全年投入研发资金150万元，为激励创新，该企业计划今后每年投入的研发资金比上年增长，则该企业全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（参考数据：，，）（    ） A．2024年 B．2025年 C．2026年 D．2027年 5．若，则（   ） A．1 B． C． D． 6．已知，那么的取值范围是（   ）. A． B． C． D． 7．函数 的值域为（    ） A． B． C． D． 8．设函数 满足 ，，且当 时，，又函数 ，则函数 零点的个数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分). 9．求值：________． 10．已知函数，方程有四个不等实根，，，，且，则k的取值范围是_____________． 11．已知函数，则______． 12．若，，则________（用表示）. 三、解答题(本大题共3小题，第13题12分，第14题14分，第15题14分，共40分). 13．已知． (1)当时，求不等式的解集； (2)已知函数的定义域为，求实数 的取值范围． 14．已知直线经过点． (1)求实数的值； (2)解关于的不等式． 15．已知正实数满足不等式. (1)求实数的取值范围； (2)求函数的定义域. 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年江苏省（职教高考）《数学45分钟训练卷》，以江苏省职教高考数学科目最新考试大纲及历年真题为依据，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 江苏省（职教高考）《数学45分钟训练卷》 第5卷 指数函数与对数函数 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分). 1．不等式对恒成立，则实数的取值范围（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先应用参数分离得出，再应用换元法应用指数函数值域结合二次函数计算最小值求解. 【详解】不等式对恒成立， 则，即 设，，则， 当时，， 则实数的取值范围. 故选：A. 2．若，则函数的最小值为（ ） A．4 B．0 C．5 D．9 【答案】A 【分析】设，则利用函数单调性可得答案. 设，则（）， 对称轴为，所以在上单调递增， 所以. 故选：A. 3．若函数，则方程的解的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据题意作出函数和的图像即可得解. 【详解】由得，即， 分别画出函数和的图像，如图所示， 所以的解的个数为，即方程的解的个数为， 故选：. 4．某企业2022年全年投入研发资金150万元，为激励创新，该企业计划今后每年投入的研发资金比上年增长，则该企业全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（参考数据：，，）（    ） A．2024年 B．2025年 C．2026年 D．2027年 【答案】C 【分析】设经过年该企业全年投入的研发资金开始超过200万元，则，即可求解. 【详解】设经过年该企业全年投入的研发资金开始超过200万元， 则， 则， 所以的最小整数值为4，此时的年份是年. 故选：C. 5．若，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数式与对数式的转换，结合对数的运算性质即可求解. 【详解】由得， ，， ， 故选：A 6．已知，那么的取值范围是（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数的单调性列不等式求解即可. 【详解】因为在上单调递增， 由，可得， 解得或， 所以的取值范围是， 故选：D. 7．函数 的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意利用换元法结合指数函数及二次函数的性质即可得解. 【详解】令，则， 所以函数为，图像为开口向上的抛物线，对称轴为， 则函数在上为减函数，上为增函数， 因为，所以在上，的最小值为，无最大值， 所以函数的值域为， 故选：. 8．设函数 满足 ，，且当 时，，又函数 ，则函数 零点的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知判断与的图像，再根据值域在内，找到两函数的交点个数，即为的零点个数. 【详解】因为 ，所以函数 是偶函数，图象关于 轴对称． 因为 ，所以函数 的图象关于直线 对称． 当 时，，于是可以作出函数 的图象． 再作出 的图象，结合 ，    可知函数 与 的图象有个交点， 所以函数有个交点． 故选:A． 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分). 9．求值：________． 【答案】1 【分析】根据对数以及指数的运算求解即可. 【详解】. 故答案为：1. 10．已知函数，方程有四个不等实根，，，，且，则k的取值范围是_____________． 【答案】 【分析】根据题意作出函数图像即可得解. 【详解】    如图所示，作出函数图像， 因为时，，图像为开口向下的抛物线， 对称轴为，最大值为，所以顶点坐标为， 当时，，所以与轴交点坐标为， 根据图像可知，方程有四个不等实根， 则k的取值范围是， 故答案为：. 11．已知函数，则______． 【答案】3 【分析】根据对数函数性质得，然后分段函数的解析式利用对数性质求解即可. 由于，则. 故答案为：3 12．若，，则________（用表示）. 【答案】 【分析】根据对数的运算性质求解. 【详解】. 故答案为：. 三、解答题(本大题共3小题，第13题12分，第14题14分，第15题14分，共40分). 13．已知． (1)当时，求不等式的解集； (2)已知函数的定义域为，求实数 的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入函数化简不等式，求解一元二次不等式的解集即可. （2）将问题转化为对任意恒成立，分二次项系数为0和不为0两种情况讨论，结合二次函数性质求参数范围 【详解】（1）当时，， 因为，所以， 即，得， 解得或， 所以不等式的解集为. （2）已知函数定义域为， 即的解集为，则的解集为， 当时，恒成立，符合题意， 当时，， 即，解得， 综上所述，实数 的取值范围. 14．已知直线经过点． (1)求实数的值； (2)解关于的不等式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将已知点坐标代入直线方程求解的值. （2）根据求得的判断对数函数单调性，结合对数真数大于0的定义域要求列不等式组求解解集. 【详解】（1）已知直线经过点，所以，解得. （2）由(1)可知，则原不等式化为. 因为对数函数的定义域为，且在定义域上单调递增， 所以，解得，即原不等式的解集为. 15．已知正实数满足不等式. (1)求实数的取值范围； (2)求函数的定义域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据指数函数的单调性，原不等式可转化为，解绝对值不等式可求解； （2）根据偶次根式的被开方数为非负数，对数的真数大于零，列不等式组，并结合对数函数的单调性解不等式即可得解. 【详解】（1）由，可得. 因为在上单调递增， 所以，可化为， 解得，又，所以， 即实数的取值范围为； （2）要使函数有意义，则 ，即， 又，所以对数函数在上单调递减， 所以，即得 解得，所以函数的定义域为. 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $