第4卷 指数函数与对数函数 2027年江苏省（职教高考）《数学45分钟训练卷》（原卷版+解析版）

**基本信息** 以指数函数与对数函数为核心，采用“一考一讲”模式，通过45分钟检测实现概念理解、性质应用到综合问题的闭环训练，适配职教高考“时效检测-即时巩固”需求。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择|8题|概念辨析与图像识别|从函数定义到图像性质，构建“概念-图像-特征”认知链| |填空|4题|性质应用与运算|聚焦定义域、单调性及含参问题，强化运算能力与推理意识| |解答|3题|综合问题与逻辑推理|整合奇偶性、不等式及值域求解，体现“性质推导-模型应用”思维路径|

编写说明：2027年江苏省（职教高考）《数学45分钟训练卷》，以江苏省职教高考数学科目最新考试大纲及历年真题为依据，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 江苏省（职教高考）《数学45分钟训练卷》 第4卷 指数函数与对数函数 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分). 1．已知且，则一次函数与指数函数在同一坐标系中的图像可能是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据一次函数和指数函数的图像特点识别即可. 【详解】对A、B：当时，指数函数单调递增， 一次函数中，则斜率为负数、截距为正且大于1， 则一次函数的图像向左倾斜，且与y轴的交点在指数函数与y轴交点的上方，故A、B项错误； 对C、D：当时，指数函数单调递减， 一次函数中，则斜率为正数、截距为正且小于1， 则一次函数的图像向右倾斜，且与y轴的交点在指数函数与y轴交点的下方，故D项错误，C项正确. 故选：C. 2．下列运算中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二次根式的意义来判断AB选项，利用指数幂的运算来判断CD选项即可. 对于A，，所以，故A错误； 对于B，因为，所以，则，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误． 故选：C. 3．已知，则（ ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】B 【分析】根据对数式与指数式的互化公式，结合指数幂的运算性质进行求解即可. ， 所以. 故选：B 4．已知，，，则a，b，c的大小关系正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数函数和指数函数的单调性并结合中间值0和1比大小即可. 【详解】因为在上为减函数，所以； 又在上为增函数，所以； 又在上为减函数，所以. 所以． 故选：B 5．函数的定义域是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式的被开方数非负及指数函数的单调性求解. 【详解】函数有意义，则，即， 因为在上单调递增，所以， 所以函数的定义域为. 故选：A. 6．函数的单调递增区间是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出函数的定义域，然后利用复合函数单调性的判断方法“同增异减”求解即可． 【详解】令，则原函数可表示为， 由，解得或， 所以函数的定义域为， 因为函数在上单调递减； 又函数的图像开口向上，对称轴为， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 根据“同增异减”，复合函数的单调递增区间是内外层单调性相反的区间， 所以函数的单调递增区间是. 故选：C. 7．已知函数，则（    ） A．函数在区间上单调递减 B．函数的图象关于直线对称 C．若，但，则 D．函数有且仅有两个零点 【答案】A 【分析】画出的图象，数形结合得到ABD选项，不妨设，从而得到，计算出. 【详解】， 画出的图象如下，      A选项，函数在区间上单调递减，A正确； B选项，函数的图象不关于直线对称，B错误； C选项，若，但，不妨设， 则，即， 由于在上单调递增， 故，即，C错误； D选项，由图象可知，函数有且仅有一个零点，D错误. 故选：A 8．已知函数是定义在上的偶函数，满足，当时，，则函数的图像与函数的图像的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据题意，结合函数的对称性和周期性，及对数函数的图像，在同一坐标系中可作出与的图像，即可求解. 【详解】函数为定义在上的偶函数，， 又，函数图像关于直线对称， 且，即， 的周期为2， 又当时，， 由此可作出函数图像，在同一坐标系中作出函数图像， 如图所示： 则两个函数的图像在上有3个交点， 两个函数都为偶函数， 两函数的图像共有6个交点. 故选：D. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分). 9．已知函数的定义域和值域都是，则__________. 【答案】或 【分析】因为函数，讨论和，根据函数的单调性，即可求得答案. ①当时，根据指数函数单调可知:是单调递增函数， 此时单调递增， 可得:，解得 ，即 解得:. ②当时，根据指数函数单调可知:是单调递减函数， 此时单调递减， 可得:，解得: ，即 解得:. 综上所述，或 故答案为:或. 【点睛】本题主要考查了根据函数定义域和值域相同求参数问题，解题关键是掌握指数函数的单调性和函数的基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 10．函数在区间内的最大值为______． 【答案】 【分析】利用对数型函数的单调性求解即可. 由，解得：或 所以的定义域为， 因为在区间内单调递增，所以函数在区间内单调递减， 函数在区间内的最大值为． 故答案为：. 11．已知函数则的解集是________． 【答案】 【分析】根据分段函数的解析式，分类讨论和时对应的解即可. 【详解】由题意知，当时，，解得， 当时，，解得， 综述，的解集是. 故答案为：. 12．对于任意实数，定义.已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【分析】根据题意，结合函数图像，先求出函数的最大值，结合二次不等式恒成立的问题，即可求解. 【详解】 由题意，令，则是此方程的一个根， 所以当时，， 由图可知，函数在处取得最大值， 因为恒成立， 所以，即， 所以，解得， 即实数的取值范围为. 故答案为：.    三、解答题(本大题共3小题，第13题12分，第14题14分，第15题14分，共40分). 13．已知函数满足，．求： (1)实数，的值； (2)函数在定义域上的最大值和最小值． 【答案】(1)， (2)最大值为1，最小值为 【分析】（1）根据分段函数的解析式代入求解即可. （2）根据指数函数以及二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）因为，解得． 又因为，解得． （2）由（1）知，， 当时，指数函数是增函数， 所以最大值为，最小值为， 当时，， 该二次函数的图像是开口向上的抛物线，其对称轴为， 所以最大值为，最小值为． 综上所述，函数在定义域上的最大值为1，最小值为． 14．已知函数是奇函数. (1)求函数的解析式； (2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由奇函数的概念及性质，利用列方程，求出的值并验证即可； （2）分离参数可得，令，，根据的单调性，可得， 进而转化为，解一元二次不等式可求解. 【详解】（1）因为函数为奇函数，其定义域为， 所以，解得， 当时，此时， 所以为奇函数，即为所求； （2）将代入，可得， 令，且， 由于， 因为，所以， 所以，，从而，， 所以，即， 所以在为增函数， 所以在上恒有， 故不等式对任意恒成立，只需， 解得， 所以实数的取值范围为. 15．已知直线经过点． (1)求实数a的值； (2)解关于x的不等式； (3)求函数在上的值域． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将点代入直线方程中求解方程即可. （2）根据对数函数的单调性解不等式即可. （3）根据指数函数的单调性求值域即可. 【详解】（1）已知直线经过点， 则，解得. （2）由（1）可得，， 且在上为减函数， 由， 得， 则，由①得， 解得或， 由②得， 由③得，即， 解得， 所以该不等式组的解集为， 所以原不等式的解集为. （3）由（1）可得，， 所以，因为为减函数， 且的图像开口向上， 对称轴为， 所以在上单调递减，单调递增， 在上单调递增，单调递减， 所以当时，， 且，， 所以当时，， 即函数在上的值域为. 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年江苏省（职教高考）《数学45分钟训练卷》，以江苏省职教高考数学科目最新考试大纲及历年真题为依据，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 江苏省（职教高考）《数学45分钟训练卷》 第4卷 指数函数与对数函数 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分). 1．已知且，则一次函数与指数函数在同一坐标系中的图像可能是（   ） A．   B．   C．   D．   2．下列运算中正确的是（ ） A． B． C． D． 3．已知，则（ ） A．8 B．6 C．4 D．2 4．已知，，，则a，b，c的大小关系正确的是（    ）． A． B． C． D． 5．函数的定义域是（     ） A． B． C． D． 6．函数的单调递增区间是（     ） A． B． C． D． 7．已知函数，则（    ） A．函数在区间上单调递减 B．函数的图象关于直线对称 C．若，但，则 D．函数有且仅有两个零点 8．已知函数是定义在上的偶函数，满足，当时，，则函数的图像与函数的图像的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分). 9．已知函数的定义域和值域都是，则__________. 10．函数在区间内的最大值为______． 11．已知函数则的解集是________． 12．对于任意实数，定义.已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为__________. 三、解答题(本大题共3小题，第13题12分，第14题14分，第15题14分，共40分). 13．已知函数满足，．求： (1)实数，的值； (2)函数在定义域上的最大值和最小值． 14．已知函数是奇函数. (1)求函数的解析式； (2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 15．已知直线经过点． (1)求实数a的值； (2)解关于x的不等式； (3)求函数在上的值域． 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $