专题3.2 对数及对数函数（练习）-2027年湖南省（对口招生考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

**基本信息** 聚焦对数及对数函数，以概念-性质-应用逻辑链构建训练体系，结合历年真题实现基础巩固与能力进阶，培养抽象能力、运算能力及模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |对数概念与运算|10题|单选/填空，含定义辨析、指数对数互化、运算求值|从对数定义生成运算性质，构建概念到运算的推理链条| |对数函数性质与应用|20题|单选/填空/解答，覆盖定义域、单调性、奇偶性、图像变换|以函数定义为起点，递进探究性质及综合应用，发展几何直观| |真题实战|9题|精选2020-2026年湖南对口考题，聚焦定义域、大小比较等高频考点|紧扣考情，强化知识迁移与问题解决能力，体现应用意识|

编写说明：2027年湖南省对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年湖南省对口招生考试 《数学一轮讲练测》练习 专题3.2 对数及对数函数 【考点1 对数】 一、单选题 1．若，，则（     ）. A． B． C． D． 2．设，则底数的值为（    ）. A． B． C． D． 3．将指数式写成对数式是（    ） A． B． C． D． 4．的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 5．计算 的结果是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．已知，，则 =（     ） A． B． C． D． 二、填空题 7．计算_______. 8．计算：_____. 9．_______. 10．若，，则________． 【考点2 对数函数】 11．若（且），则实数a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 12．已知，，，则a，b，c的大小关系正确的是（    ）． A． B． C． D． 13．函数的定义域为（    ）． A． B． C． D． 14．若函数是对数函数，且，则（     ）． A． B． C． D． 15．下列函数图像是关于轴对称的是（   ）. A． B． C． D． 16．若对数函数在其定义域内是减函数，则（   ）. A． B． C． D． 17．函数的定义域是（   ）. A． B． C． D． 18．若，下列结论正确的是（   ）. A． B． C． D． 19．函数过定点（    ） A． B． C． D． 20．函数的定义域是_________； 21．已知在上的最大值与最小值之和为，则__________. 22．已知，则______． 23．已知函数则的解集是________． 【考点 对数函数】 24．已知函数在区间上是减函数． (1)求实数的取值范围； (2)在（1）的条件下，解关于的不等式． 25．求函数的定义域． 26．已知函数，其中且. (1)求函数的定义域； (2)设，判断函数的单调性. 27．已知函数=． (1)判断的奇偶性； (2)求在的值域． 28．已知函数（，且）． (1)若在上的最大值与最小值之差为3，求的值； (2)若，求不等式的解集． 29．已知点在函数的图像上． (1)求实数的值； (2)解关于的不等式． 30．已知． (1)当时，求不等式的解集； (2)已知函数的定义域为，求实数 的取值范围． 1．（2020湖南对口升学考试第6题）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（2021湖南对口升学考试第2题）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（2022湖南对口升学考试第16题）已知函数，. (1)求实数的值，并写出的定义域； (2)若，求的取值范围. 4．（2023湖南对口升学考试第9题）已知函数，若，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5．（2023湖南对口升学考试第16题）已知函数，． (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)求方程的解． 6．（2024湖南对口升学考试第5题）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 7.（2024湖南对口升学考试第5题）已知函数，若，且，则 8.（2025湖南对口升学考试第7题）函数和在同一坐标系中图像之间的关系是（   ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称 9.（2026湖南对口升学考试第8题）若，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年湖南省对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年湖南省对口招生考试 《数学一轮讲练测》练习 专题3.2 对数及对数函数 【考点1 对数】 一、单选题 1．若，，则（     ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数的运算法则计算即可. 【详解】因为，， 所以， 即=10. 故选：C. 2．设，则底数的值为（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由指数与对数的互化公式求解． 【详解】由题可知，由指数与对数的互化公式可得，， 又因为且，所以． 故选：D． 3．将指数式写成对数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的定义求解即可. 【详解】根据对数的定义，指数式写成对数式为．因此，指数式写成对数式为． 故选:D. 4．的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合对数的性质，即可求解. 【详解】因为1的对数为0，故. 故选：B. 5．计算 的结果是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据对数的定义即可得解. 【详解】 ， 故选：. 6．已知，，则 =（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数的运算法则求解即可. 【详解】. 故选：A. 二、填空题 7．计算_______. 【答案】/ 【分析】根据指数幂的运算及对数的运算求解即可. 【详解】 . 故答案为：. 8．计算：_____. 【答案】 【分析】根据对数的运算，即可解得. 【详解】 . 故答案为：. 9．_______. 【答案】1 【分析】根据对数的运算法则计算即可. 【详解】 ， 故答案为： 10．若，，则________． 【答案】 【分析】利用指数运算的性质，将已知的两个指数式相除，消去底数后得到一个新的指数式，再根据指数与对数的关系求出结果. 由，， 则，即， 则． 故答案为：. 【考点2 对数函数】 11．若（且），则实数a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数的单调性解不等式即可. 【详解】不等式可化为， 当时，对数函数在上单调递增， 不等式等价于，结合，得； 当时，对数函数在上单调递减， 不等式等价于，结合，得. 综上，a的取值范围是. 故选：C. 12．已知，，，则a，b，c的大小关系正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数函数和指数函数的单调性并结合中间值0和1比大小即可. 【详解】因为在上为减函数，所以； 又在上为增函数，所以； 又在上为减函数，所以. 所以． 故选：B 13．函数的定义域为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数中真数大于0列不等式求解即可. 【详解】要使函数有意义， 则必须有，即，解得或， 所以函数的定义域为， 故选：B. 14．若函数是对数函数，且，则（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据对数函数的定义设出函数表达式，再利用已知条件求出函数的底数，最后利用对数的运算性质进行计算. 【详解】因为函数是对数函数，所以设（且）， 已知，可得，即，解得，所以， 所以， 故选：B. 15．下列函数图像是关于轴对称的是（   ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意利用偶函数的定义逐项判断即可得解. 【详解】，定义域为，定义域不关于原点对称，不符合偶函数的定义，图像不关于轴对称，故错误； ，定义域为，定义域不关于原点对称，不符合偶函数的定义，图像不关于轴对称，故错误； ，则，解得， 所以定义域为，， 符合偶函数的定义，则图像关于轴对称，故正确； ，则，解得， 所以定义域为，定义域不关于原点对称， 不符合偶函数的定义，图像不关于轴对称，故错误； 故选：. 16．若对数函数在其定义域内是减函数，则（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数函数的单调性即可得解. 【详解】对数函数在其定义域内是减函数，则， 故选：. 17．函数的定义域是（   ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数的真数大于零、分式的分母不为零列式即可求解. 【详解】由解得， 所以函数的定义域为. 故选：C. 18．若，下列结论正确的是（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意利用对数函数，指数函数，幂函数的单调性即可得解. 【详解】因为， 函数，底数，在定义域上为增函数，则，故正确； 函数，底数，在定义域上为减函数，则，故错误； 函数，因为，所以在上为减函数，则，故错误； 函数，底数，在定义域上为减函数，，故错误， 故选：. 19．函数过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对数函数的性质来确定函数所过的定点. 【详解】在函数中，令，即， 此时， 这表明函数过定点. 故选：C. 20．函数的定义域是_________； 【答案】 【分析】根据题意，结合对数函数的定义域，即可求解. 【详解】因为函数， 所以，即，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 21．已知在上的最大值与最小值之和为，则__________. 【答案】/ 【分析】根据指数函数与对数函数的单调性分两种情况讨论的取值. 【详解】当时，在上单调递增，在上也单调递增， 所以函数在上单调递增， 所以函数的最大值为，最小值为， 则，即，解得，与矛盾，舍去. 当时，在上单调递减，在上也单调递减， 所以函数在上单调递减， 所以函数的最大值为，最小值为， 则，即，解得，符合. 综上所述，. 故答案为：. 22．已知，则______． 【答案】/0.5 【分析】根据自变量的取值范围，选择对应的函数表达式进行计算. 【详解】已知， 因为，所以， 因为，所以 ， 故答案为：. 23．已知函数则的解集是________． 【答案】 【分析】根据分段函数的解析式，分类讨论和时对应的解即可. 【详解】由题意知，当时，，解得， 当时，，解得， 综述，的解集是. 故答案为：. 【考点 对数函数】 24．已知函数在区间上是减函数． (1)求实数的取值范围； (2)在（1）的条件下，解关于的不等式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次函数的单调性列不等式，即可求出实数的取值范围. （2）根据对数函数的单调性列不等式组求解即可. 【详解】（1）由题可知：的对称轴为，且开口向上， 因为在区间上是减函数，所以，解之得， 所以实数的取值范围为； （2）由（1）知，所以原不等式等价于，解得， 即或，所以不等式的解集为． 25．求函数的定义域． 【答案】 【分析】根据二次根式根号下的式子大于等于零，对数的真数大于零以及分式的分母不为零列式即可求解. 【详解】根据题意得， 解不等式①得，解不等式②得，解不等式③得， 所以不等式组的解集是， 即函数的定义域是． 26．已知函数，其中且. (1)求函数的定义域； (2)设，判断函数的单调性. 【答案】(1) (2)函数在区间上单调递减，在区间上单调递增. 【分析】（）根据题意利用真数大于零列出不等式组即可得解. （）先化简函数，利用对数型复合函数的单调性即可得解. 【详解】（1）函数，其中且， 要使函数有意义，必须满足， 解得， 所以函数的定义域为. （2）由题得， 由可得：，故函数定义域为， 设，它的对称轴为，二次函数的抛物线开口向下， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减. 又因为，所以在区间上单调递减，且在区间上单调递增. 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增. 27．已知函数=． (1)判断的奇偶性； (2)求在的值域． 【答案】(1)奇函数 (2) 【分析】（1）根据函数奇偶性的定义即可求解. （2）根据内置函数中的反比例型函数在上是减函数即可求解. 【详解】（1）因为，则，所以的定义域为， 又，故是奇函数. （2）由题意得，，反比例型函数在上是减函数， 所以当时，， 则，即在的值域为. 28．已知函数（，且）． (1)若在上的最大值与最小值之差为3，求的值； (2)若，求不等式的解集． 【答案】(1)2或 (2) 【分析】（1）分别讨论与两种情况，再由对数函数的单调性列方程求解即可. （2）根据对数函数的单调性列不等式求解即可. 【详解】（1）要使函数有意义， 则，解得， 当时，函数在上单调递增， 当时，，， 于是，因此， 当时，函数在上单调递减， 当时，，， 于是，因此，所以的值为2或. （2）当时，函数在上单调递增， 而，不等式， 解得，所以原不等式的解集为. 29．已知点在函数的图像上． (1)求实数的值； (2)解关于的不等式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点代入对数函数解析式中求值即可. （2）根据指数函数的单调性求解不等式即可. 【详解】（1）将点代入函数中， 得，所以， 即． （2）因为， 所以，因为在定义域内为增函数， 即，解得， 所以不等式的解集为. 30．已知． (1)当时，求不等式的解集； (2)已知函数的定义域为，求实数 的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入函数化简不等式，求解一元二次不等式的解集即可. （2）将问题转化为对任意恒成立，分二次项系数为0和不为0两种情况讨论，结合二次函数性质求参数范围 【详解】（1）当时，， 因为，所以， 即，得， 解得或， 所以不等式的解集为. （2）已知函数定义域为， 即的解集为，则的解集为， 当时，恒成立，符合题意， 当时，， 即，解得， 综上所述，实数 的取值范围. 1．（2020湖南对口升学考试第6题）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求对数函数的定义域 【分析】根据对数函数定义域求解即可. 【详解】因为函数. 所以即. 所以函数的定义域为. 故选：D. 2．（2021湖南对口升学考试第2题）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数函数的真数大于即可求解. 【详解】由题意可得，， 解得. 所以函数的定义域为. 故选：B. 3．（2022湖南对口升学考试第16题）已知函数，. (1)求实数的值，并写出的定义域； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）将代入函数表达式即可求出m的值，其定义域可由对数函数真数大于0即可得解. （2）解不等式，再结合函数定义域即可求出x取值范围. 【详解】（1）由，则，解得. 要使函数有意义，则 ，解得， 函数定义域为. （2）若，即，整理得， 所以，解得， 结合函数的定义域，可得x的取值范围是. 4．（2023湖南对口升学考试第9题）已知函数，若，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数的性质，先将函数化简，再代入运算比较。 【详解】∵的底数为10 ∴是增函数，且时，，时，. 可知， 故选：C. 5．（2023湖南对口升学考试第16题）已知函数，． (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)求方程的解． 【答案】(1)奇函数 (2) 【分析】（1）由题目条件及函数奇偶性的定义直接判断即可. （2）把代入后，按对数的运算法则求解即可. 【详解】（1）函数为奇函数， 理由：因为的定义域为， 的定义域为， 所以的定义域为， 即的定义域关于原点对称， 又， ， 所以函数为奇函数. （2）由， 即，， ，所以，解得. 所以方程的解为. 6．（2024湖南对口升学考试第5题）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数幂的运算性质，以及指数函数和对数单调性即可求解 【详解】， 因为在R上为增函数， 因为，所以， 因为在上为减函数， 因为，所以， 所以. 故选：D. 7.（2024湖南对口升学考试第5题）已知函数，若，且，则 【答案】1 【分析】根据对数函数的性质即可求解. 【详解】由得， 所以， 又， 则在其定义域上单调递增， 所以， 则， 即，则. 故答案为：. 8.（2025湖南对口升学考试第7题）函数和在同一坐标系中图像之间的关系是（   ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称 【答案】A 【分析】根据对数函数的性质结合函数的对称性即可求解. 【详解】因为函数和在的定义域都为，且， 即函数上的点关于x轴的对称点都在函数的图像上， 所以与的图像关于轴对称． 故选：A. 9.（2026湖南对口升学考试第8题）若，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数函数的单调性即可得解. 【详解】因为在上单调递增，又， 所以，即. 故选：D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $