专题3.2 对数及对数函数（讲义）-2027年湖南省（对口招生考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年湖南省对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年湖南省对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题3.2 ·对数及对数函数 【复习目标】 1.理解对数函数的概念，掌握对数函数的图象和性质，并会解简单的对数方程． 2.了解对数函数在实际问题中的简单应用． 【考点1 对数】 一、对数的概念 1.对数的定义：如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作 ，其中 叫做对数的底数， 叫做真数． 2.几种常见对数 对数形式 特点 记法 一般对数 底数为a(a>0，且a≠1) 常用对数 底数为 自然对数 底数为 2、 对数的性质与运算法则 1.对数的性质 （1）loga1＝ ； （2）logaa＝ (其中a>0且a≠1)； （3）logaab＝ (a>0，a≠1，b∈R)． 2.对数恒等式 alogaN＝ (其中a>0且a≠1，N>0)． 3.对数的换底公式 logbN＝ (a，b均大于零且不等于1，N>0)． 4.对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝ ； ②loga＝ ； ③logaMn＝ (n∈R)． 【即时训练】 1．将指数式写成对数式是（    ） A． B． C． D． 2．计算：（   ）. A． B． C． D．2 3．计算的结果是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．已知，，则=（     ） A． B． C． D．mn 5．对数式中实数x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 6．计算：________________. 7．计算：__________. 8．计算：______． 9．计算：__________； 10．若，则________． 【考点2 对数函数】 对数函数的概念、图像和性质 定义 函数 y＝logax(a＞0，且a≠1)　叫做对数函数 图象 a＞1 0＜a＜1 性质 定义域： 值域： 当x＝1时，y＝0，即过定点 当0＜x＜1时，y<0； 当x＞1时， 当0＜x＜1时，y＞0； 当x＞1时， 在(0，＋∞)上为 在(0，＋∞)上为 【即时训练】 一、单选题 1．对数函数（且）的图像经过，则底（    ） A．2 B． C． D． 2．对数函数且的图像经过，则底数（    ） A．2 B． C． D． 3．比较与的大小，正确的是（     ） A．B． C． D．无法比较 4．函数的定义域是（     ） A． B． C． D． 5．函数的单调递增区间是（     ） A． B． C． D． 6．已知函数，若，则（    ）． A． B．0 C．1 D．2 二、填空题 7．已知，则实数的取值范围是 ________. 8．函数（且）的图像必经过点________. 9．对数函数（且）的图象经过点，则此函数的解析式_____． 10．已知，，，则a、b、c的大小关系：________． 三、解答题 11．已知直线经过点． (1)求实数的值； (2)解关于的不等式． 12．已知对数函数（且）的图像过点． (1)求实数的值； (2)求不等式的解集． 1．（2020湖南对口升学考试第6题）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（2021湖南对口升学考试第2题）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（2022湖南对口升学考试第16题）已知函数，. (1)求实数的值，并写出的定义域； (2)若，求的取值范围. 4．（2023湖南对口升学考试第9题）已知函数，若，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5．（2023湖南对口升学考试第16题）已知函数，． (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)求方程的解． 6．（2024湖南对口升学考试第5题）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 7.（2024湖南对口升学考试第5题）已知函数，若，且，则 8.（2025湖南对口升学考试第7题）函数和在同一坐标系中图像之间的关系是（   ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称 9.（2026湖南对口升学考试第8题）若，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年湖南省对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年湖南省对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题3.2 ·对数及对数函数 【复习目标】 1.理解对数函数的概念，掌握对数函数的图象和性质，并会解简单的对数方程． 2.了解对数函数在实际问题中的简单应用． 【考点1 对数】 一、对数的概念 1.对数的定义：如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作 x＝logaN　，其中 a　叫做对数的底数， N　叫做真数． 2.几种常见对数 对数形式 特点 记法 一般对数 底数为a(a>0，且a≠1) logaN　 常用对数 底数为 10　 lg N　 自然对数 底数为 e　 ln N　 2、 对数的性质与运算法则 1.对数的性质 （1）loga1＝ 0　； （2）logaa＝ 1　(其中a>0且a≠1)； （3）logaab＝ b　(a>0，a≠1，b∈R)． 2.对数恒等式 alogaN＝ N　(其中a>0且a≠1，N>0)． 3.对数的换底公式 logbN＝ 　(a，b均大于零且不等于1，N>0)． 4.对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝ logaM＋logaN　； ②loga＝ logaM－logaN　； ③logaMn＝ nlogaM　(n∈R)． 【即时训练】 1．将指数式写成对数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数式与对数式的转换即可求解. 【详解】指数式写成对数式为. 故选：D. 2．计算：（   ）. A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据对数的运算法则即可得解. 【详解】， 故选：. 3．计算的结果是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据对数的运算法则求解即可. 【详解】. 故选：B. 4．已知，，则=（     ） A． B． C． D．mn 【答案】B 【分析】根据换底公式即可得解. 【详解】，， 则， 故选：. 5．对数式中实数x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意利用对数的底数大于零且不等于，真数大于零列出不等式组即可得解. 【详解】对数式， 则，解得且， 所以实数x的取值范围是， 故选：. 6．计算：________________. 【答案】 【分析】利用指数幂及对数的运算法则计算. 【详解】 故答案为：. 7．计算：__________. 【答案】1 【分析】根据对数的运算性质计算. 【详解】原式 . 故答案为：1. 8．计算：______． 【答案】 【分析】根据对数的运算法则计算即可. 【详解】， 故答案为：. 9．计算：__________； 【答案】 【分析】根据指数幂和对数的运算求解即可. 【详解】 . 故答案为：. 10．若，则________． 【答案】16 【分析】根据对数与指数式的转化求解即可. 【详解】. 故答案为：16. 【考点2 对数函数】 对数函数的概念、图像和性质 定义 函数 y＝logax(a＞0，且a≠1)　叫做对数函数 图象 a＞1 0＜a＜1 性质 定义域： (0，＋∞)　 值域： (－∞，＋∞)　 当x＝1时，y＝0，即过定点 (1,0)　 当0＜x＜1时，y<0； 当x＞1时， y＞0　 当0＜x＜1时，y＞0； 当x＞1时， y＜0　 在(0，＋∞)上为 增函数　 在(0，＋∞)上为 减函数　 【即时训练】 一、单选题 1．对数函数（且）的图像经过，则底（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】将已知点代入函数解析式，求得的值，即可求解. 【详解】因为对数函数（且）的图像经过， 代入为，即，解得. 故选：A. 2．对数函数且的图像经过，则底数（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，将已知点的坐标代入函数解析式，结合指数式与对数式的转化，即可求解. 【详解】由题意，将点代入对数函数，得到， 将其转化为指数式为，即是，解得． 又因为对数函数的底数且，所以． 故选：C. 3．比较与的大小，正确的是（     ） A．B． C． D．无法比较 【答案】B 【分析】根据题意利用对数函数的单调性即可得解. 【详解】因为函数，底数， 所以函数在上为减函数，则， 故选：. 4．函数的定义域是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数型函数的定义域求解即可. 【详解】为了使函数有意义，则，解得. 因此定义域为. 故选：C. 5．函数的单调递增区间是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出函数的定义域，然后利用复合函数单调性的判断方法“同增异减”求解即可． 【详解】令，则原函数可表示为， 由，解得或， 所以函数的定义域为， 因为函数在上单调递减； 又函数的图像开口向上，对称轴为， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 根据“同增异减”，复合函数的单调递增区间是内外层单调性相反的区间， 所以函数的单调递增区间是. 故选：C. 6．已知函数，若，则（    ）． A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】由函数解析式求得，再将代入解析式中即可求解. 【详解】因为函数， 所以， 又，所以， 所以. 故选：C. 二、填空题 7．已知，则实数的取值范围是 ________. 【答案】 【分析】根据对数的运算性质及对数函数的单调性解不等式即可. 【详解】由题意可知 当时，函数在上单调递增， 则有，又因为，所以此时； 当时，函数在上单调递减， 则有，又因为，所以此时， 综上，实数的取值范围是. 故答案为：. 8．函数（且）的图像必经过点________. 【答案】 【分析】根据题意令真数为即可得解. 【详解】函数（且）， 令，即，则， 所以图像必经过点， 故答案为：. 9．对数函数（且）的图象经过点，则此函数的解析式_____． 【答案】 【分析】将点代入对数函数的解析式中即可得解. 【详解】对数函数（且）的图象经过点， 则，可得，因为且，所以， 因此，所求函数解析式为， 故答案为：. 10．已知，，，则a、b、c的大小关系：________． 【答案】 【分析】由指数的运算和对数函数单调性比大小即可得解. 【详解】因为，所以， ，所以， 因为，且，所以， ， 所以. 故答案为：. 三、解答题 11．已知直线经过点． (1)求实数的值； (2)解关于的不等式． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）将已知点坐标代入直线方程求解的值. （2）根据求得的判断对数函数单调性，结合对数真数大于0的定义域要求列不等式组求解解集. 【详解】（1）已知直线经过点，所以，解得. （2）由(1)可知，则原不等式化为. 因为对数函数的定义域为，且在定义域上单调递增， 所以，解得，即原不等式的解集为. 12．已知对数函数（且）的图像过点． (1)求实数的值； (2)求不等式的解集． 【答案】(1)2(2) 【分析】（1）将已知点代入，根据指数式与对数式的互化可求解； （2）根据对数函数的性质可求解. 【详解】（1）因为函数图像过， 所以， 故实数的值为2； （2）由（1）知， 所以不等式可化为， 因为对数函数在上单调递增， 所以原不等式可化为， 所以不等式的解集为. 1．（2020湖南对口升学考试第6题）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求对数函数的定义域 【分析】根据对数函数定义域求解即可. 【详解】因为函数. 所以即. 所以函数的定义域为. 故选：D. 2．（2021湖南对口升学考试第2题）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数函数的真数大于即可求解. 【详解】由题意可得，， 解得. 所以函数的定义域为. 故选：B. 3．（2022湖南对口升学考试第16题）已知函数，. (1)求实数的值，并写出的定义域； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）将代入函数表达式即可求出m的值，其定义域可由对数函数真数大于0即可得解. （2）解不等式，再结合函数定义域即可求出x取值范围. 【详解】（1）由，则，解得. 要使函数有意义，则 ，解得， 函数定义域为. （2）若，即，整理得， 所以，解得， 结合函数的定义域，可得x的取值范围是. 4．（2023湖南对口升学考试第9题）已知函数，若，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数的性质，先将函数化简，再代入运算比较。 【详解】∵的底数为10 ∴是增函数，且时，，时，. 可知， 故选：C. 5．（2023湖南对口升学考试第16题）已知函数，． (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)求方程的解． 【答案】(1)奇函数 (2) 【分析】（1）由题目条件及函数奇偶性的定义直接判断即可. （2）把代入后，按对数的运算法则求解即可. 【详解】（1）函数为奇函数， 理由：因为的定义域为， 的定义域为， 所以的定义域为， 即的定义域关于原点对称， 又， ， 所以函数为奇函数. （2）由， 即，， ，所以，解得. 所以方程的解为. 6．（2024湖南对口升学考试第5题）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数幂的运算性质，以及指数函数和对数单调性即可求解 【详解】， 因为在R上为增函数， 因为，所以， 因为在上为减函数， 因为，所以， 所以. 故选：D. 7.（2024湖南对口升学考试第5题）已知函数，若，且，则 【答案】1 【分析】根据对数函数的性质即可求解. 【详解】由得， 所以， 又， 则在其定义域上单调递增， 所以， 则， 即，则. 故答案为：. 8.（2025湖南对口升学考试第7题）函数和在同一坐标系中图像之间的关系是（   ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称 【答案】A 【分析】根据对数函数的性质结合函数的对称性即可求解. 【详解】因为函数和在的定义域都为，且， 即函数上的点关于x轴的对称点都在函数的图像上， 所以与的图像关于轴对称． 故选：A. 9.（2026湖南对口升学考试第8题）若，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数函数的单调性即可得解. 【详解】因为在上单调递增，又， 所以，即. 故选：D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $