综合测试卷（四）-《数学 基础模块下册》（高教版第三版） 单元过关卷（原卷版+解析版）

**基本信息** 本套综合训练紧扣教材章节，通过AB卷分层巩固与综合测试卷实战模拟，系统构建知识网络，提升数学思维与应用能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |章节AB卷|每章2卷|基础巩固卷聚焦核心考点，能力提升卷侧重知识整合|以教材章节为基准，由概念理解到综合应用，形成“知识点-知识链-知识网”逻辑| |综合测试卷|4份|模拟实战情境，覆盖函数、几何、统计等跨章节内容|融合代数运算与空间想象，通过实际问题考查数据意识与模型应用，体现知识内在联系|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 基础模块下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（四） 考试时间：120分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知，则等于（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，则（ ） A． B．0 C． D．2 3．下列直线方程，满足“与直线平行，且与圆相切”的是（   ） A． B． C． D． 4．已知直线和平行，则两平行线之间的距离为（    ） A． B．3 C． D．17 5．如图，在中，，，，当点、分别在、轴上运动，点到原点的最大距离是（ ） A． B． C． D．3 6．已知四棱锥的所有顶点都在球的球面上，且四边形是边长为的正方形，若四棱锥的体积的最大值为6，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 7．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 8．若两条平行线分别过点，当这两条平行线间的距离取最大值时，则过点的直线方程为（   ） A． B． C． D． 9．，求（   ） A．2 B． C． D． 10．下列函数中，值域为 的是（     ） A． B． C． D． 11．已知函数则下列结论中，正确的是（   ） A．在区间上是增函数 B．在区间上是增函数 C． D． 12．棱长为的正方体内接于球，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 13．在某校运动会的某项比赛中，7位裁判为一名参赛选手打出的分数如下：.去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（     ） A． B． C． D． 14．不等式的解集可以表示为（    ） A． B． C． D． 15．已知直线l将圆C：平分，且与直线平行，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 16．函数的图像关于（   ） A．x轴对称 B．y轴对称 C．原点对称 D．直线对称 17．长方体的高为2，底面面积为12，过不相邻两侧棱的截面（对角面）的面积为10，则该长方体的侧面积为（   ） A．12 B．24 C．28 D．32 18．若，则（    ） A． B． C． D． 19．下列关于圆：的说法中正确的个数为（    ） ①圆的圆心为，半径为 ②直线：与圆相交 ③圆与圆：相交 ④过点作圆的切线，切线方程为 A． B． C． D． 20．连接球面上两点的线段称为球的弦.半径为的球的两条弦的长度分别等于，，，分别为的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：①弦可能相交于点；②弦可能相交于点；③的最大值为；④的最小值为.其中真命题的个数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分). 21．从1，2，3三个数字中无放回地抽取两次，每次取到一个，用表示“第一次取到的数字x，第二次取到数字y”这一事件，在此次随机实验中取到数字3的概率是_______取到数字3的样本空间是________. 22．一个四分之一球形状的玩具储物盒，球半径为R，若放入一个玩具小球，合上盒盖，可放小球的最大半径为 ____.    23．直线过定点_________，倾斜角的最小值是_________. 24．直线的倾斜角________． 25．若，则_____. 26．直线被圆所截得的弦长为_____. 27．在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图： 估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）_______； 28．将方程化为直线的一般式方程为___________，该直线在y轴上的截距为__________. 29．正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为4，则体积为_________. 30．函数的最小值为__________. 三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 31．已知函数（且）的图像过点. (1)求函数的解析式； (2)判断函数的奇偶性，并说明理由. 32．某城市户居民的月平均用电量(单位：度)，以分组的频率分布直方图如图. (1)求直方图中的值； (2)求月平均用电量的众数和中位数； (3)在月平均用电量为的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在的用户中应抽取多少户？ 33．设，求的值. 34．在一片农业大棚区域，设置了四个环境监测点、、、，单位为米. (1)计算四边形的周长. (2)为全面监测大棚环境，需在四边形两条对角线、中点、之间安装数据传输线，求、点坐标，以及、之间的距离. 35．已知函数． (1)若，求的值域； (2)若时，的最小值为，求函数的解析式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 基础模块下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（四） 考试时间：120分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数式和对数式的相互转化结合指数运算法则即可求解. 【详解】由，可得， 所以. 故选：C. 2．已知函数，则（ ） A． B．0 C． D．2 【答案】B 【详解】因为，所以，所以. 3．下列直线方程，满足“与直线平行，且与圆相切”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行直线判断斜率，再根据直线与圆的相切的关系求直线方程. 【详解】∵直线与直线平行， 故斜率， 故可设直线一般式为， 已知圆的圆心为， 半径， ∵直线与圆相切， ∴圆心到直线的距离等于半径, , 解得：或, 故该直线为或, 符合要求的只有A选项. 故选:A. 4．已知直线和平行，则两平行线之间的距离为（    ） A． B．3 C． D．17 【答案】C 【分析】先根据两直线平行计算出a的值，再代入两直线距离公式进行计算. 【详解】两直线平行需满足斜率相同，故，， 故两直线为（即），， 再代入两直线距离公式. 故选：C. 5．如图，在中，，，，当点、分别在、轴上运动，点到原点的最大距离是（ ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】取的中点，连接，，根据数形结合分析可知，根据，，的位置关系即可求解. 取的中点，连接，， ，， ， 由图可知，， 当，，三点共线时，等号成立， 所以点到原点的最大距离是. 故选：A 6．已知四棱锥的所有顶点都在球的球面上，且四边形是边长为的正方形，若四棱锥的体积的最大值为6，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设球心到平面的距离为，球的半径为，根据到平面的距离为时，四棱锥的体积最大，结合棱锥的体积公式列方程求出球的半径，再由球的表面积公式求值即可. 【详解】设球心到平面的距离为，球的半径为， 当到平面的距离为时，四棱锥的体积最大， 所以四棱锥的体积的最大值为， 解得， 又四棱锥的所有顶点都在球的球面上， 设所在的小圆圆心为， 则， 则，即， 解得，所以球的表面积为， 故选：C.    7．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由二次根式有意义可得，再由指数及对数函数的单调性即可得解. 【详解】若要使函数有意义， 则需满足，即， 所以，解得， 所以函数的定义域为. 故选：C. 8．若两条平行线分别过点，当这两条平行线间的距离取最大值时，则过点的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据当平行线与点的连线垂直时，这两条平行线间的距离最大，再由两条垂直的条件确定直线的斜率，最后由点斜式方程确定直线方程即可. 【详解】已知当平行线与点的连线垂直时， 这两条平行线间的距离最大， 则点的连线斜率为， 所以两条平行线的斜率为，即， 所以过点的直线方程为， 即， 故选：B. 9．，求（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数的单调性确定的范围，再将其代入合适的解析式中求值即可. 【详解】因为在上为增函数， 所以，即， 所以 ， 故选：C. 10．下列函数中，值域为 的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析各个函数的值域，进而得到答案. 【详解】A选项：值域为 . B选项：，当 ，，不满足. C选项：值域为 . D选项：值域为 . 故选：D. 11．已知函数则下列结论中，正确的是（   ） A．在区间上是增函数 B．在区间上是增函数 C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数的特点和函数的性质依次判断即可得解. 【详解】对于A选项，当时，为减函数，故错误； 对于B选项，当时，为增函数；当时，为增函数， 因此在上为增函数，故正确； 对于C选项，因为，所以，故错误； 对于D选项，因为，则，故错误； 故选：B. 12．棱长为的正方体内接于球，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据内接求出球的半径，进而求解球的体积. 【详解】因为棱长为的正方体内接于球，所以球的直径为，则半径. 则球的体积为. 故选：D. 13．在某校运动会的某项比赛中，7位裁判为一名参赛选手打出的分数如下：.去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平均数和方差的计算方法计算即可. 【详解】中， 去掉最高分和最低分后为， 平均数为， 解法一（对应高教版）： ， 解法二（对应人教版）： ， 所以所剩数据的平均值和方差分别为， 故选：B. 14．不等式的解集可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先由指数函数的单调性列不等式，再由含绝对值的不等式的解法求解即可. 【详解】已知不等式， 因为在上单调递增， 所以由，得， 即，解得， 所以原不等式的解集为， 故选：A. 15．已知直线l将圆C：平分，且与直线平行，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平分圆的直线必过圆心，结合两直线平行的性质设方程，代入圆心坐标求解参数即可. 【详解】已知圆C：中，圆心， 设与直线平行的直线方程为， 因为直线l将圆C平分，所以圆心在直线l上， 将圆心代入得， 解得，所以直线l的方程为， 故选：D. 16．函数的图像关于（   ） A．x轴对称 B．y轴对称 C．原点对称 D．直线对称 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性判断函数图像的对称性即可. 【详解】， 要使函数有意义，则， 即，得， 解得， 所以函数的定义域为，关于原点对称， 又， 故函数为奇函数，图像关于原点对称． 故选：C. 17．长方体的高为2，底面面积为12，过不相邻两侧棱的截面（对角面）的面积为10，则该长方体的侧面积为（   ） A．12 B．24 C．28 D．32 【答案】C 【分析】先根据已知条件求出长方体底面的长和宽，再计算侧面积. 【详解】设长方体的底面矩形的长和宽分别为， 因为长方体的底面面积为12，所以， 因为长方体的高为，过不相邻两侧棱的截面为矩形，且面积为10， 所以，即， 所以， 因为，所以， 所以长方体的侧面积为. 故选：C. 18．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数和对数的单调性比较大小即可. 【详解】A，已知在上为增函数， 且，所以，故A错误， B，已知，由在上为增函数， 因为，所以， 则，故B错误， C，已知在上为增函数， 且，所以，故C错误， D，已知在上为减函数， 且，所以，故D正确， 故选：D. 19．下列关于圆：的说法中正确的个数为（    ） ①圆的圆心为，半径为 ②直线：与圆相交 ③圆与圆：相交 ④过点作圆的切线，切线方程为 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于①，根据圆的标准方程求出圆心坐标和半径，可知①正确；对于②，根据圆心到直线的距离小于半径，可知②正确；对于③，根据圆心距与两圆半径之间的关系，可知③正确；对于④，点在圆，可知点在圆，求出切线的斜率，根据点斜式可求出切线方程，可知④不正确. 【详解】对于①，由可知，圆心为，半径为，故①正确； 对于②，圆心到直线的距离，所以直线：与圆相交，故②正确； 对于③，圆：的圆心，半径为， 因为圆心距，且， 所以圆与圆：相交，故③正确； 对于④，因为点在圆：上，所以点为切点， 所以切点与圆心的连线的斜率为， 所以切线的斜率为， 所以切线方程为：，即，故④不正确. 故选：C 20．连接球面上两点的线段称为球的弦.半径为的球的两条弦的长度分别等于，，，分别为的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：①弦可能相交于点；②弦可能相交于点；③的最大值为；④的最小值为.其中真命题的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用勾股定理，求出球心到弦的距离，类比圆的性质进行判断即可得解. 【详解】设球心为O，则， ， 则， 所以弦可能相交于点，不可能相交于. 因为， 所以， 当三点共线且在O的两侧时，有最大值5； 当三点共线且在O的同侧时，有最小值1， 故正确的是①③④. 故选：C. 二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分). 21．从1，2，3三个数字中无放回地抽取两次，每次取到一个，用表示“第一次取到的数字x，第二次取到数字y”这一事件，在此次随机实验中取到数字3的概率是_______取到数字3的样本空间是________. 【答案】 【分析】根据题意，先列出总的事本事件，再列出满足条件的基本事件，再利用古典概型的概率公式与样本空间的定义即可得解. 【详解】依题意，从1，2，3三个数字中无放回地抽取两次，每次取到一个， 则总的基本事件有，共6个， 其中取到数字3的基本事件有，共4个， 所以在此次随机实验中取到数字3的概率是， 取到数字3的样本空间是. 故答案为：；. 22．一个四分之一球形状的玩具储物盒，球半径为R，若放入一个玩具小球，合上盒盖，可放小球的最大半径为 ____.    【答案】 【分析】根据储物盒球的半径与小球半径的关系即可得解. 【详解】画出截面图，设储物盒球的半径为，小球最大半径，    从图中可得，， 小球最大半径与球半径关系，满足， 所以. 故答案为：. 23．直线过定点_________，倾斜角的最小值是_________. 【答案】 ； /. 【分析】根据直线含参数且恒过定点，让参数前面的系数为零即可，先求出斜率的取值范围，进而可求出直线的倾斜角的最小值. 【详解】直线可以化为恒定点，则. 直线可化为. . 则倾斜角的最小值是.     故答案为：；. 24．直线的倾斜角________． 【答案】 【分析】根据直线方程确定斜率，再由斜率的定义得出倾斜角即可. 【详解】已知直线的倾斜角为， 则，因为， 所以， 所以， 故答案为：. 25．若，则_____. 【答案】 【分析】根据，结合题意，即可得到，进而求解. 【详解】因为， 又，所以， 得到， 所以. 故答案为： 26．直线被圆所截得的弦长为_____. 【答案】 【分析】根据题意，结合圆的标准方程先求得圆心坐标和半径，继而求得圆心到直线的距离，结合直线被圆所截的弦长、弦心距、半径之间的关系，利用勾股定理即可求解. 【详解】因为圆， 所以圆心坐标为，半径， 所以圆心到直线l的距离， 所以弦长. 故答案为：. 27．在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图： 估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）_______； 【答案】岁 【分析】根据题意，结合频率分布直方图中均值的计算，即可求解. 【详解】由题意，平均年龄 （岁）． 故答案为：岁. 28．将方程化为直线的一般式方程为___________，该直线在y轴上的截距为__________. 【答案】 2.5/ 【分析】将原方程化为直线的一般式方程，进而求解直线在轴上的截距. 【详解】由，得到直线的一般式方程. 令，解得.故该直线在轴的截距为. 故答案为：  ；. 29．正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为4，则体积为_________. 【答案】 【分析】根据三棱锥的体积公式求解. 【详解】根据图像作图：    ∵如图为正三棱锥，为正三棱锥的高，在底面上， ∴点为三角形的中心， 为底面中边上的高，点为其三等分点， 则，且(为的中点) ∵正三棱锥的底面边长为， ∴底面正三角形的高=， 故底面中心到顶点的距离为， ∵正三棱锥侧棱长为4，即， ∴正三棱锥的高， ∵底面积， ∴三棱锥的体积. 故答案为:. 30．函数的最小值为__________. 【答案】 【分析】函数表达式变形为，可以看成轴上的一动点以及定点，的连线距离和：，于是将题目问题转化成了求的最小值，通过数形结合，运用将军饮马的知识即可求最值. 【详解】对被开方数均进行配方可得：， 可以看成轴上的一动点以及定点，的连线距离和：， 于是将题目问题转化成了求的最小值. 设点关于轴的对称点，于是， 所以，当，，三点共线时取等号. 由两点距离公式知， 所以函数的最小值为. 故答案为：. 三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 31．已知函数（且）的图像过点. (1)求函数的解析式； (2)判断函数的奇偶性，并说明理由. 【答案】(1) (2)奇函数，理由见解析 【分析】（1）将点代入到函数解析式，结合对数的运算，求解即可； （2）根据函数奇偶性的判定，分析判断即可. 【详解】（1）因为函数的图像过点， 所以， 所以，解得a＝5， 所以函数的解析式为. （2）函数为奇函数，理由如下：由题可知 解得，即函数的定义域为， 对于任意的，都有， ， 所以函数是奇函数. 32．某城市户居民的月平均用电量(单位：度)，以分组的频率分布直方图如图. (1)求直方图中的值； (2)求月平均用电量的众数和中位数； (3)在月平均用电量为的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在的用户中应抽取多少户？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据频率之和为计算的值；（2）根据众数的定义结合条形统计图进行计算.；（3）分别计算月平均用电量为的四组用户每组人数，根据分层抽样的抽样比相同，计算月平均用电量在的用户人数. 【详解】（1）由题可得， 解得. 故直方图中的值是. （2）月平均用电量的众数是. 因为， 所以月平均用电量的中位数在内， 设中位数为，由， 解得. 所以月平均用电量的中位数是224. （3）月平均用电量为的用户有户， 月平均用电量为的用户有户， 月平均用电量为的用户有户， 月平均用电量为的用户有户， 则抽取比例为， 所以月平均用电量在的用户中应抽取户. 33．设，求的值. 【答案】1. 【分析】根据对数的运算法则及换底公式即可得解. 【详解】由，得，， 由换底公式得，， ． 34．在一片农业大棚区域，设置了四个环境监测点、、、，单位为米. (1)计算四边形的周长. (2)为全面监测大棚环境，需在四边形两条对角线、中点、之间安装数据传输线，求、点坐标，以及、之间的距离. 【答案】(1)米. (2)点坐标为；点坐标为.米 【分析】（1）依次使用两点间距离公式求出四边形四条边的长度并求和得到周长. （2）根据中点坐标公式求出、点坐标，再用两点间距离公式计算、之间的距离. 【详解】（1）米； 米； 米； 米. 周长为米. （2）点坐标为； 点坐标为. 米. 35．已知函数． (1)若，求的值域； (2)若时，的最小值为，求函数的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据指数函数及二次函数的值域求解方法求解； （2）根据复合函数的单调性判断方法，结合二次函数在给定区间上的最小值求法，可求得函数的解析式. （1）若，则. 因为，所以， 所以，所以， 所以若，则的值域为. （2）. 令，. 当时，在上单调递增， 因为是增函数，所以在上单调递增. 所以. 当时，在上单调递减， 因为是增函数，所以在上单调递减. 所以. 当时，在上单调递减，在上单调递增. 因为是增函数， 所以当时，取得最小值，即. 综上，. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $