第1卷 集合与充要条件 2027年河北省高职单招（面向中职毕业生）《数学45分钟训练卷》（原卷版+解析版）

**基本信息** 聚焦集合与充要条件核心考点，以“一考一讲”模式构建“检测-讲解-巩固”闭环，适配中职复习时效需求，强化抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |集合概念与表示|选择1/3/5、判断22/23/27|概念辨析、表示方法|从集合定义（确定性）到列举法/描述法，构建集合认知基础| |集合关系与运算|选择2/6/7/9-15、判断21/28-30|包含关系、交并补运算、子集计数|由元素与集合关系延伸至集合间关系，结合韦恩图实现运算可视化| |充要条件判断|选择16-20、判断24-26|条件类型辨析|基于集合包含关系理解充分/必要条件，形成逻辑推理链条|

编写说明：2027年河北省高职单招（面向中职毕业生）《数学45分钟训练卷》，以河北省高职单招（中职类）最新考试大纲及历年真题为依据，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 河北省高职单招（面向中职毕业生）《数学45分钟训练卷》 第1卷 集合与充要条件 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、单项选择题(本大题共20小题，每小题4分，共80分). 1. 下列不能组成集合的是（    ） A．世界七大洲 B．世界上人口众多的国家 C．中国的二十四节气 D．中国的四书五经 【答案】B 【分析】由集合定义知元素具有确定性，据此可判断. 【详解】由于选项B中的元素具有不确定性，故不能构成集合； 选项A、C、D中的元素具有确定性，故能构成集合.故选：B 2. 已知集合，若，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．无解 【答案】B 【分析】根据元素与集合的关系求解参数即可； 【详解】因为集合，且， 所以或，解得或. 当时，集合，故不满足； 当时，集合，成立；所以.故选：B 3. 集合用列举法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意利用列举法表示集合即可得解. 【详解】因为表示自然数，所以集合，故选： 4. 下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据元素与集合的关系即可得解. 【详解】，故错误；，故正确，错误；，故错误，故选： 5. 给出下列四个命题： ①是由4个元素组成的集合． ②集合表示不含有元素的集合． ③集合与是相同的集合． ④集合且是一个有限集．其中真命题的个数（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据题意，结合集合中元素的特性，及集合的表示方法、集合的分类，即可求解. 【详解】因为集合中的元素具有互异性，故表示错误，有3个元素，故①错误； 集合中含有1个元素，故②错误；集合与的元素不同，表示的是不同的集合，故③错误；集合且表示的是小于100的自然数构成的集合，是一个有限集，故④正确；故正确的命题个数是1个.故选：A 6. 已知集合，，则与的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据元素与集合、集合与集合之间关系的定义判断即可. 【详解】“”表示元素与集合的关系，而集合是一个集合，不是集合中的元素，所以不成立，故A错误，集合中的元素和都在集合中，且集合中的元素不在集合中， 所以成立，不成立，故B正确，C错误，集合和集合的元素不完全相同，所以不成立，故D错误，故选：B 7. 集合的真子集个数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】先用列举法表示集合，再由集合真子集个数的结论可得结果. 【详解】因为集合， 所以集合的真子集的个数为（个）.故选：C 8. 下列关系正确的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合与集合之间的关系逐项分析即可. 【详解】，故A错误，是任何集合的子集，则，故B正确，，故C错误，，故D错误，故选：B 9. 下列说法中正确的是（    ）. A．空集没有子集 B．空集是任何一个集合的真子集 C．任何一个集合必须有两个或两个以上的子集 D．如果集合，那么凡不属于A的元素必不属于B 【答案】D 【分析】根据空集的定义与集合间的关系求解即可. 【详解】空集是任何集合的子集，故空集有一个子集，就是它本身，A错误； 空集是任何非空集合的真子集，B错误；空集有且只有一个子集，C错误； 如果集合，那么集合中的元素都在集合中，那么凡不属于的元素必不属于，D正确.故选：D 10. 已知集合，，若，则实数的值是（   ）. A． B．0 C．1 D．0或1 【答案】B 【分析】根据集合的交集求解即可. 【详解】已知集合，，， 则，进而，解得.故选：B 11. 已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意利用并集的定义即可得解. 【详解】集合，，则 ，故选： 12. 设全集，，则（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合补集的概念和运算，即可求解. 【详解】因为全集，，所以 .故选：B 13. 用集合表示阴影部分（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用集合的交集含义即可得解. 【详解】由Venn图可知，图中阴影部分表示与的公共元素组成的集合，即与的交集，故A正确；表示与的并集，不满足题意，故B错误； 表示在全集中的补集，不满足题意，故C错误； 表示在全集中的补集，不满足题意，故D错误；故选：A 14. 设全集，且，则集合的真子集有（   ） A．8个 B．7个 C．6个 D．5个 【答案】B 【分析】根据集合的补集以及集合的真子集的个数求解即可. 【详解】因为全集，且，所以，则集合的真子集有个.故选：B 15. 已知全集，集合，集合，则（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合交集、补集的概念和运算，即可求解. 【详解】因为全集，集合，集合， 所以，所以.故选：B 16. “”是“”的什么条件（   ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分、必要条件的概念求解即可. 【详解】为整数，是自然数，，∴，所以p是q的必要条件.故选B 17. “”是“”（ ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断. 【详解】若，则或，不能推出，所以充分性不成立； 若，不一定有成立，所以必要性不成立. 故“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D 18. p：函数是上的增函数，q：，则p是q的什么条件（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据一次函数的性质及充分条件、必要条件的定义求解即可. 【详解】若是上的增函数，则，解得：，即充分性成立； 若，则，所以是上的增函数，即必要性成立， 所以是的充要条件.故选：C 19. 若 “的三条边相等”，“是等边三角形”，则p是q的什么条件（   ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据题意，结合充分条件和必要条件的概念，即可判断求解. 【详解】由题意，若的三条边相等，则一定是等边三角形，故充分性成立； 反之，若是等边三角形，则的三条边一定相等，故必要性成立； 故p是q的充要条件. 故选：C 20. 已知，，则是的什么条件（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分必要条件的定义结合含绝对值不等式的解法即可求解. 【详解】由解得或，则由可以推出，故充分性成立； 由不能推出，故必要性不成立；所以是的充分不必要条件.故选：A 二、判断题(本大题共10小题，每小题2分，共20分). 21. 若，则实数的值等于.( ) 【答案】正确 【分析】根据题意，结合元素与集合的关系，及集合中元素的特性，即可求解. 【详解】因为， 当时，，不满足集合中元素的互异性； 当时，即，解得或（舍）， 时，集合，符合题意.综上所述，.故答案为：正确. 22. 小于6的所有自然数构成的集合是无限集．( ) 【答案】错误 【分析】根据集合的分类即可判断. 【详解】小于6的所有自然数有，共个元素，所以小于6的所有自然数构成的集合是有限集，故答案为：错误. 23. 集合与是同一集合. ( ) 【答案】错误 【分析】找到两集合中的元素，即可判断两集合是否表示同一集合. 【详解】集合中的元素为，集合中的元素为， 元素不一样，故两集合不是同一集合.故答案为：错误. 24. “a是整数”是“a是自然数”的充分条件．( ) 【答案】错误 【分析】根据充分性及必要性的定义即可得解. 【详解】当a是整数时，不一定是自然数，例如当时，是整数，但不是自然数，故充分性不成立；当a是自然数时，a是整数成立，故必要性成立， 所以“a是整数”是“a是自然数”的必要不充分条件，故答案为：错误. 25.是的必要不充分条件( ) 【答案】错误 【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可判断. 【详解】若，当时，可推出，故不是必要条件； 若，当时，，故不是充分条件； 因此是的既不充分也不必要条件，该命题错误.故答案为：错误. 26. “”是“”的充要条件．( ) 【答案】正确 【分析】根据充要条件定义，结合指数函数的单调性判断即可. 【详解】由于指数函数为上的增函数，由，可得，充分性成立； 由于指数函数为上的增函数，由，可得，必要性成立， 综上所述，“”是“”的充要条件.故答案为：正确. 27. 空集是任何集合的真子集．( ) 【答案】错误 【分析】根据空集是任何非空集合的真子集可判断. 【详解】由空集是任何非空集合的真子集可知，空集是任何集合的真子集是假命题. 故答案为：错误 28. 若，，则．( ) 【答案】正确 【分析】根据集合中的元素特点可判断出是的子集，即可解答. 【详解】已知， ，则，所以，故答案为：正确. 29. 已知集合，则集合共有6个非空子集.( ) 【答案】错误 【分析】由子集个数公式即可得解. 【详解】由题求得集合中的元素为.则共有个非空子集.故答案为:错误. 30. 若，，则．( ) 【答案】正确 【分析】依据子集的定义进行推理判断. 【详解】已知，根据子集定义可知，对于任意的，都有， 又因为，根据子集定义可知，对于任意的，都有， 那么对于任意的，都有，所以.故答案为：正确. 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年河北省高职单招（面向中职毕业生）《数学45分钟训练卷》，以河北省高职单招（中职类）最新考试大纲及历年真题为依据，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 河北省高职单招（面向中职毕业生）《数学45分钟训练卷》 第1卷 集合与充要条件 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、单项选择题(本大题共20小题，每小题4分，共80分). 1. 下列不能组成集合的是（    ） A．世界七大洲 B．世界上人口众多的国家 C．中国的二十四节气 D．中国的四书五经 2. 已知集合，若，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．无解 3. 集合用列举法表示为（   ） A． B． C． D． 4. 下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 5. 给出下列四个命题： ①是由4个元素组成的集合． ②集合表示不含有元素的集合． ③集合与是相同的集合． ④集合且是一个有限集．其中真命题的个数（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6. 已知集合，，则与的关系是（   ） A． B． C． D． 7. 集合的真子集个数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 8. 下列关系正确的是（     ）． A． B． C． D． 9. 下列说法中正确的是（    ）. A．空集没有子集 B．空集是任何一个集合的真子集 C．任何一个集合必须有两个或两个以上的子集 D．如果集合，那么凡不属于A的元素必不属于B 10. 已知集合，，若，则实数的值是（   ）. A． B．0 C．1 D．0或1 11. 已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 12. 设全集，，则（   ）. A． B． C． D． 13. 用集合表示阴影部分（    ）    A． B． C． D． 14. 设全集，且，则集合的真子集有（   ） A．8个 B．7个 C．6个 D．5个 15. 已知全集，集合，集合，则（   ）. A． B． C． D． 16. “”是“”的什么条件（   ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 17. “”是“”（ ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 18. p：函数是上的增函数，q：，则p是q的什么条件（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 19. 若 “的三条边相等”，“是等边三角形”，则p是q的什么条件（   ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 20. 已知，，则是的什么条件（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、判断题(本大题共10小题，每小题2分，共20分). 21. 若，则实数的值等于.( ) 22. 小于6的所有自然数构成的集合是无限集．( ) 23. 集合与是同一集合. ( ) 24. “a是整数”是“a是自然数”的充分条件．( ) 25.是的必要不充分条件( ) 26. “”是“”的充要条件．( ) 27. 空集是任何集合的真子集．( ) 28. 若，，则．( ) 29. 已知集合，则集合共有6个非空子集.( ) 30. 若，，则．( ) 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $