专题12 余弦定理-北师大版《数学》拓展模块上册《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

专题12 余弦定理 一、知识梳理 （一）余弦定理核心公式 设内角对边分别为 1. 三边关系公式 文字表述：三角形任意一边的平方，等于另外两边平方和，减去这两边与它们夹角余弦乘积的 2 倍. 2. 余弦定理边角互化（求角公式） （二）余弦定理适用场景 1. 已知两边及夹角，求第三边； 2. 已知三边，求三个内角； 3. 判断三角形形状：通过最大角余弦值判断 (1) ，最大角为锐角，锐角三角形； (2) ，最大角为直角，直角三角形； (3) ，最大角为钝角，钝角三角形. 4. 结合二次函数、实际航行测量问题求解距离最值. 2、 题型精练 题型1 已知两边及夹角，直接求第三边 【典例1】在中，，，，求. 答案： 分析：本题考查余弦定理解三角形知识点. 详解：由余弦定理， 代入 ， ，. 题型 2 已知三边，求角余弦值 【典例1】三边长，求最大角的余弦值. 答案： 分析：本题考查余弦定理解三角形、三角形大边对大角知识点. 详解：,为最大角. 由余弦定理：. 【典例2】在中，满足，求角. 答案： 分析：本题考查余弦定理边角互化的应用知识点. 详解：整理式子得， 由余弦定理， ，. 题型 3 利用余弦定理判定三角形形状 【典例1】在中，，判断三角形形状. 答案：钝角三角形 分析：本题考查正、余弦定理判定三角形形状知识点. 详解：,为最大角. ， ，故为钝角，为钝角三角形. 题型4已知三边求三角形三个内角 【典例1】中，，求三个内角. 答案： 分析：本题考查特殊角的三角函数值、余弦定理解三角形知识点. 详解：最长边，，； ，； . 三、知识检测 一、单选题 1．在中，，，，则（    ） A． B．7 C． D．5 答案：C 分析：本题考查余弦定理解三角形知识点.由余弦定理解三角形即可. 详解：在中，，，， 根据余弦定理可得，， 则. 故选：C. 2．若的内角所对边，满足，且，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 答案：A 分析：本题考查余弦定理解三角形知识点.根据余弦定理求解即可. 详解：由，得， 根据余弦定理，且， 则，即， . 故选：A. 3．在中，若，则最大角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 答案：C 分析：本题考查余弦定理解三角形知识点.根据余弦定理求出，再求最大角余弦值即可. 详解：在中，若， 由余弦定理，得， 所以，故最大， 所以最大角的余弦值为． 故选：C. 4．在中，，，，则（    ） A．49 B．7 C．13 D． 答案：B 分析：本题考查余弦定理解三角形知识点.已知三角形两边及夹角，用余弦定理即可求出另一边. 详解：在中，由余弦定理可得， ，得. 故选：B. 5．甲船在岛的正南方A处，千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时乙船自出发以每小时6千米的速度向北偏东的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是（    ） A．分钟 B．分钟 C．21.5分钟 D．2.15分钟 答案：A 分析：本题考查余弦定理解三角形、求二次（型）函数的最值知识点.根据题意，可设经过小时距离最小，分别表示出甲乙距离B岛的距离，再由余弦定理表示出两船的距离，最后根据二次函数求最值的方法，即可求解. 详解： 由题意，假设经过小时两船相距最近，甲乙分别行至如图示 可知， 所以 ， 所以当小时，即分钟时，距离最小. 故选：A. 6．在中，，，，则c为（    ） A．5 B．7 C． D． 答案：C 分析：本题考查余弦定理解三角形知识点.由余弦定理结合题干条件求解即可. 详解：在中，， 根据余弦定理，，解得. 故选：C. 7．在中，已知，则（   ） A．1 B． C．2 D．4 答案：C 分析：本题考查余弦定理解三角形、余弦定理边角互化的应用知识点.根据余弦定理的变形公式求解即可. 详解：根据余弦定理，， 所以． 故选：C. 8．在中，，，，则（    ） A． B． C．6 D．5 答案：B 分析：本题考查余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用知识点.利用正弦定理以及余弦定理，即可求解. 详解：在中，因为，由正弦定理可得， 又，所以， 因为，由余弦定理可得， 即，解得． 故选：B. 9．在中，，，，则（    ） A．28 B．76 C． D． 答案：C 分析：本题考查余弦定理解三角形知识点.代余弦定理计算即可. 详解：由余弦定理可得，， 所以. 故选：C. 10．在中，角的对边分别为，若，则（   ） A． B． C． D． 答案：C 分析：本题考查余弦定理解三角形知识点.根据余弦定理求解即可. 详解：由可得，即． 根据余弦定理得. 因为为的内角，所以． 故选：C. 11．在中，的对边分别为，若，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 答案：A 分析：本题考查余弦定理解三角形知识点.根据余弦定理的变形公式求解即可. 详解：因为， 由余弦定理得，且， 所以． 故选：A. 12．在中，已知，则等于（   ） A． B． C． D． 答案：C 分析：本题考查余弦定理解三角形知识点.根据余弦定理求值即可. 详解：已知， 由余弦定理得，， 因为在中，， 所以. 故选：C. 13．在△中，三边长分别为a，b，，则△中最大的角为（    ） A．90° B．60° C．120° D．150° 答案：C 分析：本题考查弦定理解三角形知识点.结合余弦定理求出最大角的余弦值即可求出角的大小. 详解：由题意得△ABC最大的边为，设其对应的角为， 则由余弦定理得. ， △ABC中最大的角为. 故选：C. 14．在中，已知，，，则的形状为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 答案：C 分析：本题考查正、余弦定理判定三角形形状知识点.运用余弦定理求出最大的角的余弦值，即可进行判定. 详解：， 三角形△ABC最大的角为， 由余弦定理得，. ，为钝角， △ABC的形状为钝角三角形. 故选：C. 二、填空题 15．在中，，则最大角的度数为_______. 答案： 分析：本题考查正弦定理解三角形、余弦定理解三角形知识点.根据正弦定理以及余弦定理求解即可. 详解：角C最大． 由余弦定理，得，即， ． 的最大内角为． 故答案为：. 16．已知三角形的两边及其夹角，求第三边和其他两角，可运用________.（填“余弦定理”或“正弦定理”） 答案：余弦定理 分析：本题考查余弦定理解三角形知识点.根据余弦定理的公式分析. 详解：余弦定理为， 已知三角形的两边及其夹角C，可通过余弦定理求得， 再根据余弦定理，求得. 同理，求得B. 故答案为：余弦定理. 17．在中，，则______. 答案： 分析：本题考查余弦定理解三角形知识点.根据余弦定理即可求解. 详解：因为. 所以. 所以. 因为. 所以. 故答案为：. 18．填空题： （1）在中，若，，，则______________； （2）在中，若，则______________； （3）在中，若，则______________； （4）在中，若，则______________，______________； 答案： 分析：本题考查正弦定理解三角形、正弦定理及辨析、余弦定理及辨析、余弦定理解三角形知识点.（1）由已知得，利用正弦定理可求解； （2）利用正弦定理得，根据边角关系及特殊角的三角函数值，可求得或，据此可求解； （3）用余弦定理可求解； （4）用余弦定理求解即可. 详解：（1）在中，由，得， 由正弦定理可得 ； （2）在中， ，由正弦定理可得 ， 因为，所以， 故或. 当时，； 当时，. 故或； （3）在中，因为，由余弦定理可得 ， 所以或（舍去）； （4）在中，因为，由余弦定理可得 ， 又因为， 所以； ， 又因为， 所以 故， 故答案为：（1）；（2）；（3）；（4）， 三、解答题 19．已知在中，，，求b的值． 答案： 分析：本题考查余弦定理解三角形知识点.根据余弦定理求值即可. 详解：已知在中，， 由余弦定理可得 =100-48=52，所以． 20．在中，已知，求三角形的三个角． 答案： 分析：本题考查特殊角的三角函数值、余弦定理解三角形知识点.根据余弦定理可求解. 详解：在中，因为，根据余弦定理可得 所以， 又因为A是的内角，所以， 同理，， 所以，从而. 所以. 21．在中，已知，，，判定的形状. 答案：钝角三角形. 分析：本题考查正、余弦定理判定三角形形状知识点.根据题意可知为最大的角，再结合余弦定理可得，即可判断三角形的形状. 详解：解:在中，由,可知b为最大的边，则为最大的角. ， 为钝角， 为钝角三角形. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 余弦定理 一、知识梳理 （一）余弦定理核心公式 设内角对边分别为 1. 三边关系公式 文字表述：三角形任意一边的平方，等于另外两边平方和，减去这两边与它们夹角余弦乘积的 2 倍. 2. 余弦定理边角互化（求角公式） （二）余弦定理适用场景 1. 已知两边及夹角，求第三边； 2. 已知三边，求三个内角； 3. 判断三角形形状：通过最大角余弦值判断 (1) ，最大角为锐角，锐角三角形； (2) ，最大角为直角，直角三角形； (3) ，最大角为钝角，钝角三角形. 4. 结合二次函数、实际航行测量问题求解距离最值. 2、 题型精练 题型1 已知两边及夹角，直接求第三边 【典例1】在中，，，，求. 题型 2 已知三边，求角余弦值 【典例1】三边长，求最大角的余弦值. 【典例2】在中，满足，求角. 题型 3 利用余弦定理判定三角形形状 【典例1】在中，，判断三角形形状. 题型4已知三边求三角形三个内角 【典例1】中，，求三个内角. 三、知识检测 一、单选题 1．在中，，，，则（    ） A． B．7 C． D．5 2．若的内角所对边，满足，且，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 3．在中，若，则最大角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 4．在中，，，，则（    ） A．49 B．7 C．13 D． 5．甲船在岛的正南方A处，千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时乙船自出发以每小时6千米的速度向北偏东的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是（    ） A．分钟 B．分钟 C．21.5分钟 D．2.15分钟 6．在中，，，，则c为（    ） A．5 B．7 C． D． 7．在中，已知，则（   ） A．1 B． C．2 D．4 8．在中，，，，则（    ） A． B． C．6 D．5 9．在中，，，，则（    ） A．28 B．76 C． D． 10．在中，角的对边分别为，若，则（   ） A． B． C． D． 11．在中，的对边分别为，若，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 12．在中，已知，则等于（   ） A． B． C． D． 13．在△中，三边长分别为a，b，，则△中最大的角为（    ） A．90° B．60° C．120° D．150° 14．在中，已知，，，则的形状为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 二、填空题 15．在中，，则最大角的度数为_______. 16．已知三角形的两边及其夹角，求第三边和其他两角，可运用________.（填“余弦定理”或“正弦定理”） 17．在中，，则______. 18．填空题： （1）在中，若，，，则______________； （2）在中，若，则______________； （3）在中，若，则______________； （4）在中，若，则______________，______________； 三、解答题 19．已知在中，，，求b的值． 20．在中，已知，求三角形的三个角． 21．在中，已知，，，判定的形状. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $