专题10 正弦型函数-北师大版《数学》拓展模块上册《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

专题10 正弦型函数 一、知识梳理 (一)正弦型函数基本概念 形如 （）的函数称为正弦型函数，其中各参数含义： 1. 振幅：函数最大值与最小值差值的一半，最值：，； 2. 角频率：决定周期，最小正周期 ； 3. 初相： 称为相位， 时相位为初相； (二)图像三大变换规则 设基础函数 ，变换顺序分先伸缩后平移、先平移后伸缩两种，规则不同： 1. 相位平移（左右平移，针对） ： 向左平移个单位； 向右平移个单位； 注意：若先伸缩再平移，平移单位为 。 2. 周期伸缩（横坐标伸缩，纵坐标不变） ：，横坐标缩短为原来；，横坐标伸长为原来。 3. 振幅伸缩（纵坐标伸缩，横坐标不变） ：，纵坐标伸长为原来倍；，纵坐标缩短为原来倍。 (三)由图像求解析式 步骤 1. 求：最高点，最低点； 2. 求：通过图像相邻零点、最值点间距求周期，再用； 3. 求：代入图像已知点坐标，结合 求解初相。 (四)辅助角公式 ，其中 ，可将正余弦混合式统一为标准正弦型。 2、 题型精练 题型1 三角函数图像平移变换 【典例1】要得到 的图像，只需将 图像如何变换？ 答案：向左平行移动 2 个单位 分析：本题考查正弦函数相位平移变换知识点 详解：根据平移规则 ，，将 图像所有点向左平移 2 个单位，得到。 题型2 由图像求正弦型函数解析式 【典例1】正弦型函数一个周期图像，最低点，最高点，求解析式 答案： 分析：本题考查由图像求解析式知识点 详解：由题可知，， 故，； 设解析式为，代入最高点，得： 故，取，. 故该解析式为. 题型3 求正弦型函数最小正周期 【典例1】求 的最小正周期 答案： 分析：本题考查正弦型函数最小正周期计算知识点 详解：正弦型周期公式 ，本题6，。 题型4 辅助角公式 【典例1】将函数化为形式. 答案： 分析：本题考查辅助角公式化简正弦型函数知识点 详解：，； . 三、知识检测 一、单选题 1．要得到函数的图像，只需将函数的图像上所有的点（   ） A．向左平行移动1个单位 B．向右平行移动1个单位 C．向左平行移动个单位 D．向右平行移动个单位 答案：A 分析：本题考查相位变换及解析式特征知识点.根据三角函数图像的平移规律求解即可. 详解：选项A中，把函数的图像上所有的点向左平行移动1个单位，便得函数的图像，正确， 选项B中，把函数的图像上所有的点向右平行移动1个单位，便得函数的图像，错误， 选项C中，把函数的图像上所有的点向左平行移动个单位，便得函数的图像，错误， 选项D中，把函数的图像上所有的点向右平行移动个单位，便得函数的图像，错误， 故选：A. 2．函数的部分图像如图所示，则（   ）    A． B． C． D． 答案：A 分析：本题考查由函数y=Asin(ωx+φ)的图象求解析式知识点.根据正弦型函数的性质即可求解. 详解：由图可知，， 所以． 由五点作图法可知，所以， 因为，所以 所以函数的解析式为． 故选：A 3．三角函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 答案：C 分析：本题考查求正弦（型）函数的最小正周期知识点.根据正弦型函数的最小正周期公式求解即可. 详解：的最小正周期. 故选：C. 4．下列直线中，是函数图像的一条对称轴的是（    ） A． B． C． D． 答案：A 分析：本题考查辅助角公式、正弦函数的对称性知识点.将函数化为，令，，求出对称轴方程，再令可得解. 详解：由题意得，， 令，， 解得，. 当时，， 故函数图像的一条对称轴是. 故选：A 5．某港区全年全日船舶进出港不受航道及潮水的限制.如图是港区某个泊位一天中6时到18时的水深变化曲线，近似满足函数.据此可知，这段时间水深（单位:m）的最大值为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 答案：C 分析：本题考查三角函数在生活中的应用知识点.根据图形确定参数，再根据正弦型函数的最值确定即可. 详解：由题意可得，当取最小值-1时，函数取最小值，解得，故函数解析式为， 所以当取最大值l时，函数取最大值. 故选：C. 6．要得到函数的图像，只要将函数的图像（   ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 答案：A 分析：本题考查相位变换及解析式特征知识点.根据三角函数图像变换规律求解. 详解：将函数的图像上所有点向左平移个单位，就可得到函数的图像. 故选：A． 7．如图所示为某一正弦型函数在一个周期内的简图，则该函数的最小正周期为（    ）    A． B． C． D． 答案：B 分析：本题考查求正弦（型）函数的最小正周期知识点.根据图形可知相邻零点的距离为周期的一半，即可求解. 详解：设该函数的最小正周期为T，由图像可知. 解得. 故选：B. 8．下列周期函数中，最小正周期为的是（    ） A． B． C． D． 答案：B 分析：本题考查求正弦（型）函数的最小正周期、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、求余弦（型）函数的最小正周期知识点.利用二倍角公式与周期公式可求 详解：对于A，，，故错误； 对于B，，，，故正确； 对于C，，，，故错误； 对于D，，，，故错误； 故选：B. 9．将函数的纵坐标伸长为原来的2倍，再将纵坐标向上平移2个单位，得到的函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 答案：A 分析：本题考查求图象变化前（后）的解析式知识点.根据题意，结合正弦型函数的图像变换规律，即可求解. 详解：由题意，将函数的纵坐标伸长为原来的2倍得到函数解析式为， 再将纵坐标向上平移2个单位得到函数解析式为． 故选：A. 10．函数的最大值为（   ） A． B．4 C． D． 答案：B 分析：本题考查求含sinx(型)函数的值域或最值及对应x值知识点.根据正弦型函数的最值即可解答. 详解：因为函数中， 振幅， 所以的最大值为4. 故选：B. 11．将函数的图像向右平移个周期后，所得图像对应的函数为（   ） A． B． C． D． 答案：D 分析：本题考查求图象变化前（后）的解析式知识点.根据题意，结合正弦型函数的图像变换规律，即可求解. 详解：因为函数的最小正周期为， 所以将函数的图像向右平移个周期，即个单位后，得到函数，即的图像． 故选：D. 12．要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向上平移3个单位 B．向下平移3个单位 C．横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍 D．纵坐标不变，横坐标变为原来的3倍 答案：C 分析：本题考查描述正（余）弦型函数图象的变换过程知识点.根据三角函数图象变换规律求解. 详解：对于A，将函数的图象向上平移3个单位，可得的图象，故A错误； 对于B，将函数的图象向下平移3个单位，可得的图象，故B错误； 对于C，将函数的图象的所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，可得的图象，故C正确； 对于D，将函数的图象的所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的3倍，可得的图象，故D错误. 故选：C. 13．将函数的横坐标缩短为原来的倍，再将横坐标上所有点向左平移个单位，得到的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 答案：A 分析：本题考查求图象变化前（后）的解析式知识点.根据题意，结合正弦型函数的图像变换规律，即可求解. 详解：由题意，将函数的横坐标缩短为原来的倍得到函数解析式为； 再将横坐标上所有点向左平移个单位长度得到函数解析式为：， 即. 故选：A. 14．有下列四种变换方式，其中能将正弦函数的图像变为的图像的是（   ） A．向左平移个单位，再将横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位 C．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位 D．向左平移个单位，再将横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） 答案：A 分析：本题考查求图象变化前（后）的解析式知识点.根据三角函数图像变换规律求解. 详解：A中，将正弦函数的图像向左平移个单位，得到的图像， 再将横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到的图像，故A正确； B中，将正弦函数的图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图像， 再向左平移个单位，得到的图像，故B错误； C中，将正弦函数的图像上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到的图像， 再向左平移个单位，得到的图像，故C错误； D中，将正弦函数的图像向左平移个单位，得到的图像， 再将横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到的图像，故D错误. 故选：A. 15．函数的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．该函数为偶函数 B．该函数的最大值为1 C．该函数的最小正周期为 D．的值为 答案：C 分析：本题考查求正弦（型）函数的奇偶性、由函数y=Asin(ωx+φ)的图象求解析式知识点.根据正弦型函数的图像与性质分析即可. 详解：A选项，通过图像可以看出y=Asin(ωx+φ)为非奇非偶函数，A错误； B选项，通过图像可以看出y=Asin(ωx+φ)的最小值为-2，则其最大值为2，B错误； C选项，通过图像可知，得，故C正确； D选项，因为，则，故， 将代入y=Asin(ωx+φ)，得，即 所以，即， 又，所以，故D错误. 故选：C. 二、填空题 16．函数的值域为_________. 答案：[-1,1] 分析：本题考查求含sinx(型)函数的值域或最值及对应x值知识点.由正弦型函数的值域即可得解. 详解：由函数得A=1. 所以值域为[-1,1]. 故答案为：[-1,1]. 17．函数的频率是，则______. 答案： 分析：本题考查求正弦（型）函数的最小正周期知识点.根据三角函数的频率与角频率的关系即可求解. 详解：函数。 则频率，即. 故答案为：. 18．将函数图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍，可得到函数__________的图象． 答案： 分析：本题考查周期变换及解析式特征知识点.利用三角函数图象变换规律可得结果. 详解：将函数图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的5倍，可得到函数的图象. 故答案为：. 19．函数的最小正周期是__________. 答案： 分析：本题考查求正弦（型）函数的最小正周期知识点.由三角函数的最小正周期公式即可得解. 详解：因为函数. 最小正周期为. 故答案为:. 20．已知函数，则的最小正周期是_______，最大值是_______，最小值是_______。 答案： 1 -2 分析：本题考查用和、差角的正弦公式化简、求值、求含sinx(型)函数的值域或最值及对应x值、求正弦（型）函数的最小正周期、辅助角公式知识点.根据题意，结合辅助角公式和两角差的正弦公式，化函数解析式为正弦型函数，结合正弦型函数的图像和性质，即可求解. 详解：因为， 所以的最小正周期； 因为，所以， 故当，即时，， 当即时， 故答案为：；1；-2. 三、解答题 21．已知函数其中，，此函数的部分图象如图所示：求：    (1)函数的最小值和最小正周期 (2)函数的解析式． 答案：(1)最小值为-2，最小正周期 (2) 分析：本题考查求含sinx(型)函数的值域或最值及对应x值、求正弦（型）函数的最小正周期、由函数y=Asin(ωx+φ)的图象求解析式知识点.（1）根据图象可求解函数的最小值和最小正周期. （2）由最小值和最小正周期可求解A和的值，将图象上的点代入即可求解的值. 详解：（1）由图象可知，到为函数的半个周期， 所以，即， 所以可知的最小值为-2，最小正周期. （2）由（1）知，， 所以， 所以函数为， 因为由图象过得， 所以， 所以有， 解得， 因为，所以令时，， 所以函数解析式为. 22．已知一个周期内的正弦型曲线的最高点坐标为，最低点坐标为，写出正弦型函数的解析式． 答案： 分析：本题考查振幅变换及解析式特征、由正弦（型）函数的周期性求函数值或参数值、相位变换及解析式特征、由函数y=Asin(ωx+φ)的图象求解析式知识点.先设正弦型函数的解析式，根据最高点和最低点的坐标，确定振幅、周期以及初相，即可求解. 详解：设正弦型函数为y=Asin(ωx+φ)，设， 在同一周期内的最高点的坐标为，最低点坐标为，故. 并且，故求得. 由最高点的坐标为，可得，. 得到，取，则. 故正弦型函数的解析式为. 23．求出函数的最小值，并指出函数取最小值时自变量的集合. 答案：当的取值范围为时，函数最小值为为. 分析：本题考查求含sinx(型)函数的值域或最值及对应x值知识点.由正弦型函数的最值即可得解. 详解：因为函数. 当时. 解得. 此时函数的最小值为. 所以当的取值范围为时，函数最小值为为. 24．如何将函数化成正弦型函数的形式？ 答案：答案见解析 分析：本题考查已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦、由终边或终边上的点求三角函数值、辅助角公式 知识点.通过设定角终边上一点，结合三角函数定义、两角和差公式代入，即可得解. 详解：考虑点，设以轴正半轴为始边，为终边的角为（O为坐标原点），则． 所以， ． 角的值可以由确定（角所在的象限与点P所在的象限相同）． 25．一个周期的正弦型曲线如图所示，求函数的解析式. 答案： 分析：本题考查由函数y=Asin(ωx+φ)的图象求解析式知识点.结合图象，依次利用函数曲线的最值、周期与曲线上的点求得，从而得解. 详解：依题意，设该正弦型曲线为， 观察曲线可知， 由，，知，故， 因为点在曲线上，所以，即， 所以，即， 又，所以， 因此所求的正弦型函数的解析式为. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 正弦型函数 一、知识梳理 (一)正弦型函数基本概念 形如 （）的函数称为正弦型函数，其中各参数含义： 1. 振幅：函数最大值与最小值差值的一半，最值：，； 2. 角频率：决定周期，最小正周期 ； 3. 初相： 称为相位， 时相位为初相； (二)图像三大变换规则 设基础函数 ，变换顺序分先伸缩后平移、先平移后伸缩两种，规则不同： 1. 相位平移（左右平移，针对） ： 向左平移个单位； 向右平移个单位； 注意：若先伸缩再平移，平移单位为 。 2. 周期伸缩（横坐标伸缩，纵坐标不变） ：，横坐标缩短为原来；，横坐标伸长为原来。 3. 振幅伸缩（纵坐标伸缩，横坐标不变） ：，纵坐标伸长为原来倍；，纵坐标缩短为原来倍。 (三)由图像求解析式 步骤 1. 求：最高点，最低点； 2. 求：通过图像相邻零点、最值点间距求周期，再用； 3. 求：代入图像已知点坐标，结合 求解初相。 (四)辅助角公式 ，其中 ，可将正余弦混合式统一为标准正弦型。 2、 题型精练 题型1 三角函数图像平移变换 【典例1】要得到 的图像，只需将 图像如何变换？ 题型2 由图像求正弦型函数解析式 【典例1】正弦型函数一个周期图像，最低点，最高点，求解析式 题型3 求正弦型函数最小正周期 【典例1】求 的最小正周期 题型4 辅助角公式 【典例1】将函数化为形式. 三、知识检测 一、单选题 1．要得到函数的图像，只需将函数的图像上所有的点（   ） A．向左平行移动1个单位 B．向右平行移动1个单位 C．向左平行移动个单位 D．向右平行移动个单位 2．函数的部分图像如图所示，则（   ）    A． B． C． D． 3．三角函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 4．下列直线中，是函数图像的一条对称轴的是（    ） A． B． C． D． 5．某港区全年全日船舶进出港不受航道及潮水的限制.如图是港区某个泊位一天中6时到18时的水深变化曲线，近似满足函数.据此可知，这段时间水深（单位:m）的最大值为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 6．要得到函数的图像，只要将函数的图像（   ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 7．如图所示为某一正弦型函数在一个周期内的简图，则该函数的最小正周期为（    ）    A． B． C． D． 8．下列周期函数中，最小正周期为的是（    ） A． B． C． D． 9．将函数的纵坐标伸长为原来的2倍，再将纵坐标向上平移2个单位，得到的函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 10．函数的最大值为（   ） A． B．4 C． D． 11．将函数的图像向右平移个周期后，所得图像对应的函数为（   ） A． B． C． D． 12．要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向上平移3个单位 B．向下平移3个单位 C．横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍 D．纵坐标不变，横坐标变为原来的3倍 13．将函数的横坐标缩短为原来的倍，再将横坐标上所有点向左平移个单位，得到的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 14．有下列四种变换方式，其中能将正弦函数的图像变为的图像的是（   ） A．向左平移个单位，再将横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位 C．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位 D．向左平移个单位，再将横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） 15．函数的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．该函数为偶函数 B．该函数的最大值为1 C．该函数的最小正周期为 D．的值为 二、填空题 16．函数的值域为_________. 17．函数的频率是，则______. 18．将函数图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍，可得到函数__________的图象． 19．函数的最小正周期是__________. 20．已知函数，则的最小正周期是_______，最大值是_______，最小值是_______。 三、解答题 21．已知函数其中，，此函数的部分图象如图所示：求：    (1)函数的最小值和最小正周期 (2)函数的解析式． 22．已知一个周期内的正弦型曲线的最高点坐标为，最低点坐标为，写出正弦型函数的解析式． 23．求出函数的最小值，并指出函数取最小值时自变量的集合. 24．如何将函数化成正弦型函数的形式？ 25．一个周期的正弦型曲线如图所示，求函数的解析式. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $