专题16 等差数列的概念与通项公式-北师大版《数学》拓展模块上册《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

专题16 等差数列的概念与通项公式 一、知识梳理 等差数列定义 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，记作. 数学表达式：（为常数，） 1. 公差：数列递增；：数列递减；：常数列，常数列是特殊等差数列. 2. 判断数列是否为等差数列：只需验证相邻两项的差是否恒为定值. 2、 题型精练 题型1 等差数列判定（定义应用） [典例 1]判断下列数列是否为等差数列：①；②；③；④ 题型2 通项基础量计算（知三求一） [典例 1]等差数列中，，，求 [典例 2]等差数列，问是数列第几项？ [典例 3]等差数列，求公差 题型 3 三项成等差综合计算 [典例 1]三个数成等差数列，和为 24，平方和为 200，求这三个数 题型4插入数构造等差数列 [典例 1]在和之间插入 3 个数，使 5 个数成等差数列，求插入的三个数 3、 知识检测 一、单选题 1．下列数列中,公差为正数的等差数列是（    ） A． B． C． D． 2．设数列是公差为的等差数列，若，则等于（   ） A． B． C． D． 3．下列数列不是等差数列的是（   ） A．，，，， B．，，，， C． D．，，，， 4．2000是等差数列，…的（    ）； A．第998项 B．第999项 C．第1001项 D．第1000项 5．已知1，a，5成等差数列，则实数a的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D． 6．下列数列是等差数列的是（    ） A．1，，，，… B．2，，，，… C．0，，0，，… D．2，2，2，2，… 7．等差数列中第一个负数项是（   ） A．第7项 B．第8项 C．第9项 D．第项 8．200是等差数列2，5，8，…的（    ） A．第66项 B．第67项 C．第68项 D．第69项 9．下列不是等差数列的是（    ） A．6，6，6，6，… B．1，4，7，10，… C．4，1，，，… D．10，8，6，3，… 10．等差数列，它的项数为（   ） A．92 B．47 C．46 D．45 二、填空题 11．已知数列是等差数列，如果，，则_______. 12．一般地，当一个数列从第二项起，每一项与它的_______的差都等于_______时，就称这样的数列为等差数列，称这个常数为等差数列的_______，通常用字母_______表示． 13．已知，且两个数列与各自都成等差数列，则______． 14．在等差数列中，若，则_________. 15．在等差数列中，，则______. 三、解答题 16．如图所示，用火柴棒搭建一组三角形，搭1个三角形需要3根火柴棒，搭2个三角形需要5根火柴棒，搭3个三角形需要7根火柴棒，照这样的规律搭建下去.求：    (1)搭8个三角形需要多少根火柴棒? (2)按照这样的规律，用81根火柴棒可以搭建多少个三角形? 17．已知三个数成等差数列，它们的和为18，平方和为116，求这三个数. 18．在同一根轴上安装5个滑轮，它们的直径成等差数列，最小与最大的滑轮直径分别为与，求中间三个滑轮的直径. 19．解答题： (1)在等差数列中， ①已知，求； ②已知，求n； ③已知，求d； ④已知，求. (2)在等差数列中，，求. (3)在和13之间插入3个数，使这5个数成等差数列，求插入的这3个数. 20．等差数列的第4项比第2项大6，第1项与第5项的积为，求此数列的前三项. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题16 等差数列的概念与通项公式 一、知识梳理 等差数列定义 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，记作. 数学表达式：（为常数，） 1. 公差：数列递增；：数列递减；：常数列，常数列是特殊等差数列. 2. 判断数列是否为等差数列：只需验证相邻两项的差是否恒为定值. 2、 题型精练 题型1 等差数列判定（定义应用） [典例 1]判断下列数列是否为等差数列：①；②；③；④ 答案：①是，②是，③不是，④是 分析：本题考查等差数列的定义及判定知识点 详解：根据定义，验证后项减前一项是否为定值 ①，差恒为 4，是等差数列； ②，差恒为 - 2，是等差数列； ③，差值不相等，不是等差数列； ④，公差常数列，是等差数列. 题型2 通项基础量计算（知三求一） [典例 1]等差数列中，，，求 答案： 分析：本题考查等差数列通项公式的基本量计算知识点 详解：通项公式，代入： . [典例 2]等差数列，问是数列第几项？ 答案：第 21 项 分析：本题考查求等差数列的通项公式、利用通项求项数知识点 详解：， 令，，，即第 21 项. [典例 3]等差数列，求公差 答案： 分析：本题考查等差数列通项公式的基本量计算知识点 详解：，，，. 题型 3 三项成等差综合计算 [典例 1]三个数成等差数列，和为 24，平方和为 200，求这三个数 答案： 或 分析：本题考查等差数列的定义、设元与方程组求解知识点 详解：设三个数，和： 平方和： ：；：. 题型4插入数构造等差数列 [典例 1]在和之间插入 3 个数，使 5 个数成等差数列，求插入的三个数 答案： 分析：本题考查等差数列通项公式的基本量计算、构造数列知识点 详解：5 项数列， ，插入数为. 三、知识检测 一、单选题 1．下列数列中,公差为正数的等差数列是（    ） A． B． C． D． 答案：A 分析：本题考查等差数列的定义及判定知识点.由等差数列的定义即可得解. 详解：A选项,数列从第二项起,每一项与它前一项的差都等于,符合题意. B选项,数列从第二项起,每一项与它前一项的差不是同一个常数,不是等差数列,不符合题意. C选项,数列从第二项起,每一项与它前一项的差都等于,不符合题意. D选项,数列从第二项起,每一项与它前一项的差不是同一个常数,不是等差数列,不符合题意． 故选:A. 2．设数列是公差为的等差数列，若，则等于（   ） A． B． C． D． 答案：D 分析：本题考查等差数列通项公式的基本量计算知识点.由等差数列的通项公式即可求解. 详解：由，解得． 故选：D. 3．下列数列不是等差数列的是（   ） A．，，，， B．，，，， C． D．，，，， 答案：D 分析：本题考查等差数列的定义及判定知识点.根据等差数列的定义逐项验证即可. 详解：由等差数列的定义得，A项，，故是等差数列； B项，，故是等差数列；C项，，故是等差数列； D项，，故不是等差数列． 故选：D. 4．2000是等差数列，…的（    ）； A．第998项 B．第999项 C．第1001项 D．第1000项 答案：B 分析：本题考查求等差数列的通项公式、利用等差数列的通项公式求数列中的项知识点.可先求出等差数列的通项公式，即可计算2000是第几项. 详解：因为等差数列4,6,8，…， 所以首项为4，公差为6-4=2， 所以通项公式为， 所以令，解得， 所以2000是等差数列的第999项. 故选:B. 5．已知1，a，5成等差数列，则实数a的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D． 答案：B 分析：本题考查求等差中项知识点.由等差中项的计算即可求解. 详解：解：由题意得，解得. 故选：B. 6．下列数列是等差数列的是（    ） A．1，，，，… B．2，，，，… C．0，，0，，… D．2，2，2，2，… 答案：D 分析：本题考查等差数列的定义及判定知识点.利用等差数列的定义判断即可得解. 详解：对于A，，故该数列不是等差数列，则A错误； 对于B，，故该数列不是等差数列，则B错误； 对于C，，故该数列不是等差数列，则C错误； 对于D，该数列的所有项都是2，从第二项起，每一项与它前一项的差都等于0，是等差数列，故D正确. 故选：D. 7．等差数列中第一个负数项是（   ） A．第7项 B．第8项 C．第9项 D．第项 答案：B 分析：本题考查等差数列通项公式的基本量计算知识点.首先观察数列确定首项和公差，再由等差数列的通项公式列出通项公式，并使列不等式求解即可. 详解：已知等差数列20,17,14,11， 则，公差，所以， 令23-3n<0，解得， 又， 故数列中第一个负数项是第8项． 故选：B. 8．200是等差数列2，5，8，…的（    ） A．第66项 B．第67项 C．第68项 D．第69项 答案：B 分析：本题考查求等差数列的通项公式、利用等差数列的通项公式求数列中的项知识点.根据等差数列的首项和公差求通项公式，再代值得到项数即可. 详解：∵等差数列2，5，8，…的首项为2，公差为3， 所以等差数列的通项公式为， 所以由可得 n=67. 即200是等差数列2，5，8，…的第67项. 故选：B. 9．下列不是等差数列的是（    ） A．6，6，6，6，… B．1，4，7，10，… C．4，1，，，… D．10，8，6，3，… 答案：D 分析：本题考查等差数列的定义及判定知识点.根据等差数列的概念判断选项即可. 详解：等差数列从第二项起，每一项与它前一项的差是同一个常数， A：6，6，6，6，…从第二项起，每一项与它前一项的差是同一个常数0，是等差数列， B：1，4，7，10，…从第二项起，每一项与它前一项的差是同一个常数3，是等差数列， C：4，1，-2，-5，…从第二项起，每一项与它前一项的差是同一个常数-3，是等差数列， D：10，8，6，3，…数列从第二项起，每一项与它前一项的差不是同一个常数，不是等差数列. 故选:D. 10．等差数列，它的项数为（   ） A．92 B．47 C．46 D．45 答案：C 分析：本题考查等差数列通项公式的基本量计算知识点.利用等差数列的通项公式求解. 详解：由题意，首项，公差， ∴数列的通项公式为， 由，得n=46，即项数为46． 故选：C． 二、填空题 11．已知数列是等差数列，如果，，则_______. 答案：39 分析：本题考查等差数列通项公式的基本量计算知识点.由等差数列的通项公式即可得解. 详解：. 解得. . 故答案为：39. 12．一般地，当一个数列从第二项起，每一项与它的_______的差都等于_______时，就称这样的数列为等差数列，称这个常数为等差数列的_______，通常用字母_______表示． 答案： 前一项 同一个常数 公差 d 分析：本题考查等差数列的定义及判定知识点.根据等差数列的定义即可求解. 详解：一般地，当一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数时， 就称这样的数列为等差数列，称这个常数为等差数列的公差，通常用字母d表示． 故答案为：前一项；同一个常数；公差；d. 13．已知，且两个数列与各自都成等差数列，则______． 答案： 分析：本题考查利用等差数列的性质计算知识点.利用等差数列的性质求解即可； 详解：设这两个等差数列公差分别是，则． 第一个数列共项，； 第二个数列共项，， ． 故答案为： 14．在等差数列中，若，则_________. 答案：7 分析：本题考查利用等差数列的性质计算知识点.由等差数列的性质可知，根据已知条件求解即可. 详解：在等差数列中，. 故答案为：7. 15．在等差数列中，，则______. 答案：11 分析：本题考查利用等差数列的性质计算知识点.根据等差数列的性质可求解. 详解：解：根据等差数列的性质可知，. 故答案为：11. 三、解答题 16．如图所示，用火柴棒搭建一组三角形，搭1个三角形需要3根火柴棒，搭2个三角形需要5根火柴棒，搭3个三角形需要7根火柴棒，照这样的规律搭建下去.求：    (1)搭8个三角形需要多少根火柴棒? (2)按照这样的规律，用81根火柴棒可以搭建多少个三角形? 答案：(1)17根 (2)40个 分析：本题考查等差数列通项公式的基本量计算、等差数列的简单应用知识点.（1）观察题目知每增加一个三角形需增加2根火柴棒，发现可以构成等差数列，由通项公式即可求解； （2）利用等差数列通项公式即可求解. 详解：（1）根据题意可知，每多搭1个三角形需要多加2根火柴棒，构成首项为3，公差为2的等差数列， 则搭n个三角形需要根火柴棒， 所以搭8个三角形需要根火柴棒． （2）由（1），令，解得， 所以用81根火柴棒可以搭建40个三角形. 17．已知三个数成等差数列，它们的和为18，平方和为116，求这三个数. 答案：4,6,8或8,6,4 分析：本题考查等差数列的定义及判定知识点.根据题意设这三个数为，从而得到关于的方程，解之即可得解. 详解：依题意，设这三个数为， 因为它们的和为18，所以，得， 又它们的平方和为116，所以， 解得， 当时，这三个数依次为4,6,8； 当时，这三个数依次为8,6,4； 所以这三个数依次为4,6,8或8,6,4. 18．在同一根轴上安装5个滑轮，它们的直径成等差数列，最小与最大的滑轮直径分别为与，求中间三个滑轮的直径. 答案： 分析：本题考查等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的通项公式求数列中的项知识点.根据题意假设等差数列与公差，从而得到关于的方程，解之即可得解. 详解：依题意，设该等差数列为，公差为， 由题意可得，， 又，即，解得d=34， 所以， ， 所以中间三个滑轮的直径分别是. 19．解答题： (1)在等差数列中， ①已知，求； ②已知，求n； ③已知，求d； ④已知，求. (2)在等差数列中，，求. (3)在和13之间插入3个数，使这5个数成等差数列，求插入的这3个数. 答案：(1)①；②；③；④ (2) (3)-2,3,8 分析：本题考查等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的通项公式求数列中的项知识点.（1）利用等差数列的通项公式即可得解； （2）（3）根据题意利用等差数列的通项公式列式求得基本量，从而得解； 详解：（1）①等差数列中，， 所以； ②等差数列中，， 所以，解得； ③等差数列中，， 所以； ④等差数列中，， 所以，即，解得. （2）因为在等差数列中，，设公差为， 则，解得， 所以. （3）因为在-7和13之间插入3个数，使这5个数成等差数列，设公差为d， 则，解得， 所以， 所以插入的这3个数为-2,3,8. 20．等差数列的第4项比第2项大6，第1项与第5项的积为，求此数列的前三项. 答案：-4,-1,2或-8,-5,-2 分析：本题考查等差数列通项公式的基本量计算知识点.根据题意，得到关于首项与公差的方程组，解之即可得解. 详解：依题意，设等差数列的公差为d， 因为等差数列的第4项比第2项大6，第1项与第5项的积为-32， 所以且， 则，即，解得或， 当时，此数列的前三项-4,-1,2； 当时，此数列的前三项-8,-5,-2； 综上，此数列的前三项为-4,-1,2或-8,-5,-2. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $