专题15 数列的概念-北师大版《数学》拓展模块上册《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

专题11 数列的概念 一、知识梳理 (一)数列的定义 按照一定次序排成的一列数称为数列.数列中的每一个数都叫做这个数列的项，排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项，……，排在第n位的数称为这个数列的第n项. 数列的一般形式可以写成a₁，a₂，a₃，…，aₙ，…，简记为{aₙ}. 注意：数列中的项与顺序有关，顺序不同就是不同的数列；数列中的项可以重复出现. (二)数列的分类 有穷数列：项数有限的数列称为有穷数列. 无穷数列：项数无限的数列称为无穷数列. 常数列：所有项均为同一个数的数列称为常数列. 递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列. 递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列. (三)数列的通项公式 如果数列{aₙ}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式. 通项公式的作用： ①已知通项公式，代入n的值可求出数列中的任意一项； ②判断一个数是否是数列中的项，即令aₙ等于该数，解方程看n是否为正整数. 注意：不是所有的数列都有通项公式，有的数列的通项公式在形式上不一定唯一. 二、题型精练 题型1 数列的概念与分类辨析 【典例1】下列说法正确的是（ ） A．数列1，2，3与数列3，2，1是同一数列 B．数列2，4，6，8，…是有穷数列 C．数列的第n项就是序号为n的数 D．常数列的项数一定是有限的 题型2 观察法求数列通项公式 【典例1】数列2，5，10，17，…的一个通项公式为（ ） A．aₙ = 2n B．aₙ = n² + 1 C．aₙ = n + 1 D．aₙ = 2ⁿ 题型3 由通项公式求数列中的项 【典例1】已知数列{aₙ}的通项公式为aₙ = 3n - 1，求a₅的值，并判断26是不是这个数列中的项. 题型4 由递推公式求数列中的项 【典例1】已知数列{aₙ}中，a₁ = 1，aₙ₊₁ = 2aₙ + 1，求数列的前4项. 三、知识检测 一、单选题 1．观察下列图形及相应点的个数，找出规律，可知在第5个图形中点的个数是（    ） A．5 B．16 C．25 D．50 2．下列说法正确的是（    ） A．同一数列的任意两项均不可能相同 B．数列的项数一定是有限的 C．数列的第项是 D．数列中的每一项都与它的项数有关 3．已知数列的通项公式是，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 4．数列，1，4，7，…的一个通项公式为（   ） A． B． C． D． 5．在数列中，若，则的值为（    ） A．17 B．23 C．25 D．41 6．已知数列的通项公式为，则等于（   ） A．70 B．28 C．20 D．8 7．已知数列的通项公式为，则12是该数列的第（    ）项． A．2 B．3 C．4 D．5 8．下列说法错误的是（    ） A．数列4，7，3，4的首项是4 B．△，○，△，○，…是数列 C．数列的第n项是 D．数列中的项不能是代数式 9．已知数列的前项和，，则（   ） A． B． C． D． 10．以下说法正确的是（   ） A．同一数列的任意两项均不可能相同 B．数列中的项与顺序无关 C．数列0，2，4，6，…可记为， D．数列0，1，2，3，4，5，6，7，…的第8项为7 11．已知数列的通项公式为，则该数列的前4项依次为（   ） A． B． C． D． 12．已知数列中，，，则（   ） A． B． C． D．2 13．数列1，3，6，10，…的一个通项公式是（   ） A． B． C． D． 14．下列说法正确的是（    ） A．数列1，2，3，4，5与数列5，4，3，2，1表示同一数列 B．1，2，3，4，5，…，100表示的是无穷数列 C．数列4，3，2，1的首项是4 D．小于12的正整数构成的数列是无穷数列 15．若数列的通项公式，则它的第4项是（   ） A．12 B．20 C．21 D．30 二、填空题 16．已知，，则______ 17．数列的第__________项是30. 18．数列的分类：项数有限的数列称为________，项数无限的数列称为________.所有项均为同一个数的数列称为_________. 19．（1）数列1，，1，，…的一个通项公式是_________. （2）数列1，2，，，…的一个通项公式是_________. 20．项数_____数列，称为有穷数列；项数_____数列称为无穷数列；所以项均为同一个数的数列称为_____. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 数列的概念 一、知识梳理 (一)数列的定义 按照一定次序排成的一列数称为数列.数列中的每一个数都叫做这个数列的项，排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项，……，排在第n位的数称为这个数列的第n项. 数列的一般形式可以写成a₁，a₂，a₃，…，aₙ，…，简记为{aₙ}. 注意：数列中的项与顺序有关，顺序不同就是不同的数列；数列中的项可以重复出现. (二)数列的分类 有穷数列：项数有限的数列称为有穷数列. 无穷数列：项数无限的数列称为无穷数列. 常数列：所有项均为同一个数的数列称为常数列. 递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列. 递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列. (三)数列的通项公式 如果数列{aₙ}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式. 通项公式的作用： ①已知通项公式，代入n的值可求出数列中的任意一项； ②判断一个数是否是数列中的项，即令aₙ等于该数，解方程看n是否为正整数. 注意：不是所有的数列都有通项公式，有的数列的通项公式在形式上不一定唯一. 二、题型精练 题型1 数列的概念与分类辨析 【典例1】下列说法正确的是（ ） A．数列1，2，3与数列3，2，1是同一数列 B．数列2，4，6，8，…是有穷数列 C．数列的第n项就是序号为n的数 D．常数列的项数一定是有限的 答案：C 分析：本题考查数列的概念及辨析、有穷数列和无穷数列知识点. 详解：对于A，数列中的项与顺序有关，顺序不同就是不同的数列，故A错误； 对于B，数列2，4，6，8，…的项数是无限的，是无穷数列，故B错误； 对于C，数列的第n项就是排在第n位的数，即序号为n的数，故C正确； 对于D，常数列可以是无穷数列，如3，3，3，…，故D错误. 故选：C. 题型2 观察法求数列通项公式 【典例1】数列2，5，10，17，…的一个通项公式为（ ） A．aₙ = 2n B．aₙ = n² + 1 C．aₙ = n + 1 D．aₙ = 2ⁿ 答案：B 分析：本题考查观察法求数列通项知识点. 详解：观察数列2，5，10，17，… 第1项：2 = 1² + 1 第2项：5 = 2² + 1 第3项：10 = 3² + 1 第4项：17 = 4² + 1 …… 第n项：aₙ = n² + 1 故选：B. 题型3 由通项公式求数列中的项 【典例1】已知数列{aₙ}的通项公式为aₙ = 3n - 1，求a₅的值，并判断26是不是这个数列中的项. 答案：a₅ = 14；26是数列中的第9项 分析：本题考查判断或写出数列中的项知识点. 详解：（1）将n = 5代入通项公式aₙ = 3n - 1， 得a₅ = 3×5 - 1 = 15 - 1 = 14. （2）令aₙ = 26，即3n - 1 = 26， 解得3n = 27，n = 9. 因为n = 9是正整数，所以26是数列中的第9项. 题型4 由递推公式求数列中的项 【典例1】已知数列{aₙ}中，a₁ = 1，aₙ₊₁ = 2aₙ + 1，求数列的前4项. 答案：a₁ = 1，a₂ = 3，a₃ = 7，a₄ = 15 分析：本题考查根据数列递推公式写出数列的项知识点. 详解：已知a₁ = 1，递推公式为aₙ₊₁ = 2aₙ + 1. 当n = 1时，a₂ = 2a₁ + 1 = 2×1 + 1 = 3； 当n = 2时，a₃ = 2a₂ + 1 = 2×3 + 1 = 7； 当n = 3时，a₄ = 2a₃ + 1 = 2×7 + 1 = 15. 所以数列的前4项为1，3，7，15. 三、知识检测 一、单选题 1．观察下列图形及相应点的个数，找出规律，可知在第5个图形中点的个数是（    ） A．5 B．16 C．25 D．50 答案：C 分析：本题考查观察法求数列通项、根据规律填写数列中的某项知识点.通过观察，得出规律，写出通项公式即可求解. 详解：通过观察可得，点的个数与图形的位置构成的数列通项公式为. 则. 故选：C 2．下列说法正确的是（    ） A．同一数列的任意两项均不可能相同 B．数列的项数一定是有限的 C．数列的第项是 D．数列中的每一项都与它的项数有关 答案：D 分析：本题考查数列的概念及辨析知识点.由数列的相关概念即可得解. 详解：常数列中的任意两项均相同，故A选项错误. 数列的项数可以是有限的,也可以是无限的，故B选项错误. 数列1,2,3,4,5,6的第4项是4,故C选项错误. 数列中的每一项都与它的项数有关,故D选项正确. 故选:D. 3．已知数列的通项公式是，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 答案：B 分析：本题考查判断或写出数列中的项知识点.根据数列的通项公式即可求解. 详解：因为通项公式为. 所以. 故选：B. 4．数列，1，4，7，…的一个通项公式为（   ） A． B． C． D． 答案：B 分析：本题考查观察法求数列通项、判断或写出数列中的项知识点.根据数列前4项的变化规律写出通项公式即可. 详解：对于A，，故A错误； 对于B， …， ∴数列的一个通项公式为，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误， 故选：B. 5．在数列中，若，则的值为（    ） A．17 B．23 C．25 D．41 答案：A 分析：本题考查判断或写出数列中的项知识点.根据项数的奇偶，代入对应数列的通项公式即可求解. 详解：∵5是奇数，∴，∵4是偶数，∴， ∴. 故选：A. 6．已知数列的通项公式为，则等于（   ） A．70 B．28 C．20 D．8 答案：C 分析：本题考查判断或写出数列中的项知识点.利用数列的通项求出数列中的项，然后相乘即可. 详解：由题可知，， 则； 故选：C. 7．已知数列的通项公式为，则12是该数列的第（    ）项． A．2 B．3 C．4 D．5 答案：B 分析：本题考查判断或写出数列中的项知识点.令求解一元二次方程，即可求出的值. 详解：因为数列 {aₙ} 的通项公式为aₙ = n² + n， 令aₙ = 12，则12 = n² + n，即 n² + n - 12 = 0， 解得 n = 3 或 n = -4（舍去） 故选：B. 8．下列说法错误的是（    ） A．数列4，7，3，4的首项是4 B．△，○，△，○，…是数列 C．数列的第n项是 D．数列中的项不能是代数式 答案：B 分析：本题考查数列的概念及辨析知识点.由数列及其有关概念即可求解. 详解：由数列及其有关概念可判断ACD项正确. B项,按照一定次序排成的一列数称为数列,△,○,△,○,…不是数列. 故选: B 9．已知数列的前项和，，则（   ） A． B． C． D． 答案：D 分析：本题利用 aₙ与 Sₙ关系求通项或项知识点.根据与的关系求解即可. 详解：当 n = 1 时，a₁ = S₁ = 2， 当 n ≥ 2 时，aₙ = Sₙ - Sₙ₋₁ = n² + n - (n-1)² - (n-1) = n² + n - n² + 2n - 1 - n + 1 = 2n， 又因为 a₁ = 2 符合 aₙ = 2n， 所以 aₙ = 2n (n ∈ N₊)． 故选：D. 10．以下说法正确的是（   ） A．同一数列的任意两项均不可能相同 B．数列中的项与顺序无关 C．数列0，2，4，6，…可记为， D．数列0，1，2，3，4，5，6，7，…的第8项为7 答案：D 分析：本题考查观察法求数列通项、数列的概念及辨析、判断或写出数列中的项知识点.根据数列的概念及数列中的项的表示，即可判断. 详解：对A：如无穷个3构成的常数列3，3，…，故A项错误； 对B：数列中的项与顺序有关，故B项错误； 对 C：数列 0，2，4，6，… 的首项为 0，数列 {2n}，n ∈ N₊ 的首项为 2，故 C 项错误； 对 D：由数列 0，1，2，3，4，5，6，7，… 可知，第 8 项为 7，故 D 项正确. 故选：D. 11．已知数列的通项公式为，则该数列的前4项依次为（   ） A． B． C． D． 答案：B 分析：本题考查判断或写出数列中的项知识点.将分别代入中求值即可. 详解：把分别代入中， 则， ， 依次为0,1,0,1. 故选：B. 12．已知数列中，，，则（   ） A． B． C． D．2 答案：A 分析：本题考查根据数列递推公式写出数列的项知识点.首先将 a₁ = 2，a₂ = 5 代入递推公式中，求出 a₃, a₄, a₅, a₆ 即可. 详解：已知 aₙ₊₁ = aₙ₊₂ + aₙ，则 aₙ₊₂ = aₙ₊₁ - aₙ a₁ = 2，a₂ = 5，得 a₃ = 5 - 2 = 3， a₄ = 3 - 5 = -2，a₅ = -2 - 3 = -5，a₆ = -5 - (-2) = -3， 故选：A. 13．数列1，3，6，10，…的一个通项公式是（   ） A． B． C． D． 答案：C 分析：本题考查观察法求数列通项知识点.分析数列的特点即可得解. 详解：设该数列为， 第一项：， 第二项：， 第三项：， 第四项：， .......， 第n项：， 故选：C. 14．下列说法正确的是（    ） A．数列1，2，3，4，5与数列5，4，3，2，1表示同一数列 B．1，2，3，4，5，…，100表示的是无穷数列 C．数列4，3，2，1的首项是4 D．小于12的正整数构成的数列是无穷数列 答案：C 分析：本题考查数列的概念及辨析、有穷数列和无穷数列知识点.根据数列的概念分析即可. 详解：对于A，根据数列的概念，数列1，2，3，4，5与数列5，4，3，2，1不表示同一数列，A项错误， 对于B，l，2，3，4，5，…，100的项数是有限的，数列为有穷数列，B项错误， 对于C，数列4，3，2，1的首项是4，C项正确， 对于D，小于12的正整数构成的数列的项数是有限的，数列为有穷数列，D项错误． 故选：C. 15．若数列的通项公式，则它的第4项是（   ） A．12 B．20 C．21 D．30 答案：B 分析：本题考查判断或写出数列中的项知识点.数列通项公式中，令即可得解. 详解：∵aₙ = n(n+1)，∴第 4 项 a₄ = 4×(4+1) = 4×5 = 20. 故选：B. 二、填空题 16．已知，，则______ 答案： 分析：本题考查根据数列递推公式写出数列的项知识点.根据数列的递推关系即可求解. 详解：由已知可得. 故答案为：. 17．数列的第__________项是30. 答案：6 分析：本题考查判断或写出数列中的项知识点.由数列的通项公式求解即可. 详解：aₙ = n(n - 1)， 令 aₙ = n(n - 1) = 30，解得 n = 6 或 n = -5， n ∈ N*，∴ n = 6， 故数列的第6项是30. 故答案为：6. 18．数列的分类：项数有限的数列称为________，项数无限的数列称为________.所有项均为同一个数的数列称为_________. 答案：有穷数列 无穷数列 常数列 分析：本题考查数列的概念及辨析知识点.由有穷数列,无穷数列,常数列的定义即可求解. 详解：项数有限的数列称为有穷数列, 项数无限的数列称为无穷数列, 所有项均为同一个数的数列称为常数列. 故答案为:有穷数列，无穷数列，常数列. 19．（1）数列1，，1，，…的一个通项公式是_________. （2）数列1，2，，，…的一个通项公式是_________. 答案： 分析：本题考查观察法求数列通项知识点.根据数列的规律即可解得结果. 详解：（1）数列1，-1，1，-1，…的奇数项为1，偶数项为-1， 则它的一个通项公式是. 因为， 所以它的一个通项公式是. 故答案为： 20．项数_____数列，称为有穷数列；项数_____数列称为无穷数列；所以项均为同一个数的数列称为_____. 答案：有限的 无限的 常数列 分析：本题考查有穷数列和无穷数列知识点.由有穷数列、无穷数列和常数列的定义可得. 详解：项数有限的数列，称为有穷数列；项数无限的数列称为无穷数列； 所以项均为同一个数的数列称为常数列. 故答案为：有限的；无限的；常数列. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $