专题14 正弦定理余弦定理的简单应用-北师大版《数学》拓展模块上册《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 专题14正弦定理、余弦定理的简单应用 一、知识梳理 (一)核心定理 1.正弦定理 在任意△ABC中，角A,B,C对应三边a,b,c,有： a b sin A sin B sinC 2.余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA b2=a2+c2-2accosB c2=a2+b2-2abcos C 3.三角形面积公式 acsin B 二、题型精练 题型1余弦定理基础求值 【典例1】在△ABC中，三边a=3,b=4,c=5,求最大角的余弦值. 【奥例2】在AABC中，b=2,C=3A=号求a 11 ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 题型2正弦定理基础求值 【典例1】在△ABC中，a=2,A=30°，B=60°，求b 【典例2】在△ABC中，a=V3,b=V2,A=60°，求B 题型3三角形面积公式应用‘ 【典例1】在△ABC中，a=4,b=3,C=60°，求三角形面积 题型4利用正余弦定理判断三角形形状 【典例1】在△ABC中，sinA=sinB,判断三角形形状， 22 ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 三、知识检测 一、单选题 1.在△ABC中，若a=3,b=2,C=60°，则c等于() A.V2 B.2V2 D.2V 2.已知△ABC的三边a=2,b=3,c=4,则最大角的余弦值为() A B D 、1 3.在A4BC中，AB=4,AC=5,cosA=4 =5,则SABc=（） A.4 B.5 C.6 D.7 4.在△ABC中，Q=20,b=20N2,∠B=45°，则∠A等于() A.30° B.60° C.150° D.30°或150° 5.在AABC中，若a=2,b=V2,A- 4,则B=() A胃 B. π2π D.3或3 6.在△ABC中，若sin2A=sin2B,则该三角形是() A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 7.在△ABC中，∠C=15°，∠B=45°，a=5,则b=() 5v6 5V2 √2+6 √6-√2 A.3 B.3 C.4 D 4 &.在△ABC ，已知A=45B=5,BC=2,则∠C=（) 33 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com A.30° B.60° C.120° D.30°或150° 9.在△ABC中，若b=12,∠A=30°，∠B=90°，则a=() A.2 B.2V5 C.4 D.6 10.在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是() A.b=10,∠A=45°，∠C=709 B.a=30,b=25,∠A=150° C.a=7,b=8,∠A=98° D.a=14,b=16,∠A=45° 11.如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C,使C在塔底B的正东方向 上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10m到位置D,测得 ∠BDC=45°，则塔AB的高是() A.10m B.10v2m C.10V3m D 10√6m 12.如图所示为超重机装置示意图，支杆BC=10m,吊杆AC=15m,吊索 AB=5v19m 那么起吊的货物与岸的距离AD为() 44 ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 15v3 A.30m B.2-m C.15v3m D.45m 二、填空题 13.已知△ABC的三边长a:b:c=2:3:4,则cosB= 14.三角形的面积公式 S= l5.在△ABC中，若bsin B=csinC,则△ABC的形状是 _三角形.（填“等腰” “直角”或“钝角”) 16.在aABC中，t-=ca-d,则∠B= 三、解答题 17.在△1BC中A=45”,b=6,c=9,求3的值 18.已知在△ABC中，∠B=60°，a=6,c=8,求b的值. 55 ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 19.如图所示，在△ABC中，已知 C=15,AB:AC-7:8.simB= 7,求BC边上的高 AD的长 D 66 ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 20.在△ABC中，已知∠A=135°，∠B=15°，c=12,求这个三角形的最大边的长 77 ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 专题14 正弦定理、余弦定理的简单应用 一、知识梳理 （一）核心定理 1.正弦定理 在任意中，角对应三边，有： 2.余弦定理 3.三角形面积公式 2、 题型精练 题型1 余弦定理基础求值 【典例 1】在中，三边，求最大角的余弦值. 答案： 分析：本题考查余弦定理解三角形知识点 详解：因为，所以最大角为. 由余弦定理： 【典例 2】在中，，求. 答案： 分析：本题考查余弦定理解三角形知识点 详解：两边夹一角，直接用余弦定理： 故 题型 2 正弦定理基础求值 【典例 1】在中，，求. 答案： 分析：本题考查正弦定理解三角形知识点 详解：由正弦定理，可得： ，所以 【典例 2】在中，，求. 答案： 分析：本题考查正弦定理解三角形、三角形内角范围判断知识点 详解：由正弦定理，可得： 所以 ，，为锐角，. 题型 3 三角形面积公式应用 【典例 1】在中，，求三角形面积. 答案： 分析：本题考查三角形面积公式及应用知识点 详解： 题型 4 利用正余弦定理判断三角形形状 【典例 1】在中，，判断三角形形状. 答案：等腰三角形 分析：本题考查正弦定理边角互化、判定三角形形状知识点 详解：由正弦定理，，两边相等，故为等腰三角形. 三、知识检测 一、单选题 1．在中，若，则等于（    ） A． B． C． D． 答案：C 分析：本题考查余弦定理解三角形知识点.根据余弦定理，结合题意代入即可求解． 详解：因为在中，， 由余弦定理得， 所以．　 故选：C． 2．已知的三边，则最大角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 答案：D 分析：本题考查余弦定理解三角形知识点.先根据边的大小关系判断出最大角，再利用余弦定理计算即可求解. 详解：因为，所以， 所以，所以是最大角， 所以. 故选：D. 3．在中，，则（   ） A． B． C． D． 答案：C 分析：本题考查已知正（余）弦求余（正）弦、三角形面积公式及应用知识点.由三角形的面积公式即可求解. 详解：在中，，所以， 则． 故选：C. 4．在中，，，，则等于（    ） A．30° B．60° C．150° D．30°或150° 答案：A 分析：本题考查正弦定理解三角形知识点.根据正弦定理即可求解. 详解：根据正弦定理，得. 因为.所以. 所以. 故选：A. 5．在中，若，则（   ） A． B． C．或 D．或 答案：B 分析：本题考查正弦定理解三角形知识点.利用正弦定理和三角形的性质即可求解. 详解：由正弦定理得， 所以， 因为，所以， 又为的内角，所以. 故选：B 6．在中，若，则该三角形是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 答案：D 分析：本题考查正、余弦定理判定三角形形状知识点.将正弦值相等转化为角度相等或互补，即可求解三角形形状. 详解：，且和为三角形的内角， 或， 即或， 则是等腰三角形或直角三角形. 故选:D. 7．在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 答案：A 分析：本题考查正弦定理解三角形知识点.根据正弦定理求值即可. 详解：因为在中，，， 所以， 由正弦定理得. 故选：A. 8．在中，已知，，则（   ） A． B． C． D．或 答案：A 分析：本题考查正弦定理解三角形、正弦定理及辨析知识点.根据正弦定理求解即可. 详解：， 根据正弦定理，可得，从而． 又，且，. 故选：A. 9．在中，若，则（   ） A．2 B． C．4 D．6 答案：D 分析：本题考查正弦定理解三角形、正弦定理及辨析知识点.根据正弦定理求解即可. 详解：因为， 根据正弦定理得，所以． 故选：D. 10．在中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（   ） A． B． C． D． 答案：D 分析：本题考查正弦定理判定三角形解的个数知识点.由正弦定理逐项判断即可求解. 详解：对于A，根据三角形内角和关系可得，故只有一解；   对于B，利用正弦定理可知，且，故B只有一解；   对于C，利用正弦定理可知，无解；   对于D，，且，所以有两解． 故选：D. 11．如图，为测得河对岸塔的高，先在河岸上选一点，使在塔底的正东方向上，测得点的仰角为，再由点沿北偏东方向走到位置，测得，则塔的高是（   ） A． B． C． D． 答案：D 分析：本题考查高度测量问题知识点.由题意，应用正弦定理求值即可. 详解：由点沿北偏东方向走10m到位置D， 所以在中，， 且，， 由在塔底B的正东方向上， 测得点A的仰角为，则， 由正弦定理，得， . 在中，， ． 故选：D. 12．如图所示为超重机装置示意图，支杆，吊杆，吊索，那么起吊的货物与岸的距离为（    ）    A．30m B． C． D．45m 答案：B 分析：本题考查距离测量问题知识点.在中，利用余弦定理求得，从而在中，由即可得解. 详解：因为， 则在中，由余弦定理得，， 因为是三角形的内角，所以， 则，所以. 故选：B. 二、填空题 13．已知的三边长，则_______. 答案： 分析：本题考查余弦定理解三角形知识点.根据比例设出三边值，代余弦定理计算即可. 详解：依题意，设， 则由余弦定理得：. 故答案为：.. 14．三角形的面积公式 ________________=________________=________________． 答案： 分析：本题考查三角形面积公式及应用知识点.根据三角形的面积公式求解即可. 详解：. 15．在中，若，则的形状是_______三角形.（填“等腰”“直角”或“钝角”） 答案：等腰 分析：本题考查正弦定理边角互化的应用知识点.根据正弦定理分析判断. 详解：∵，由正弦定理可知，， 故得到， ， 的形状是等腰三角形. 故答案为：等腰 16．在中，，则______. 答案： 分析：本题考查余弦定理解三角形知识点.根据余弦定理即可求解. 详解：因为. 所以. 所以. 因为. 所以. 故答案为：. 三、解答题 17．在中，，，，求的值． 答案：． 分析：本题考查三角形面积公式及应用知识点.由三角形的面积公式即可求解. 详解：根据三角形的面积公式可得 ． 18．已知在中，，，求b的值． 答案： 分析：本题考查余弦定理解三角形知识点.根据余弦定理求值即可. 详解：已知在中，，， 由余弦定理可得 ，所以． 19．如图所示，在中，已知，求边上的高的长． 答案：或． 分析：本题考查正弦定理解三角形、余弦定理解三角形知识点.根据余弦定理以及正弦定理求解AB，再结合三角形ABD求解即可. 详解：在中，由已知设， 由正弦定理得． ． （舍去，否则由，知B也为钝角，不合要求）． 由余弦定理得， ，解得或． 或． 在中，． 或． 20．在中，已知，，，求这个三角形的最大边的长. 答案： 分析：本题考查正弦定理解三角形知识点.先利用三角形内角和判断得为这个三角形的最大边，再利用正弦定理即可得解. 详解：因为， 则， 故，所以，即为这个三角形的最大边， 根据正弦定理，得， 则. 所以这个三角形的最大边的长为. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $