2 第3节 简谐运动的回复力和能量-【重难点手册】2026-2027学年高中物理选择性必修第一册（人教版）

第二章机械振动通 第3节 简谐运动的回复力和能量 重点和难点 课标要求 重点：1.通过对做简谐运动物体受力的分析掌握回 1.理解回复力的概念，知道F=一kx中k、x 复力的特点 的含义，能正确分析、求解回复力. 2.通过对回复力的分析掌握振子的加速度、速 2.掌握简谐运动的动力学特征，能正确分析简 度、位移等物理量出现周期性变化的规律， 谐运动中位移、速度、回复力和加速度的变化规律. 难点：掌握简谐运动过程中能量的相互转化，进一步 3.掌握简谐运动的能量变化特征，能正确分析 掌握功和能的有关知识. 水平弹簧振子中动能、势能及总能量的变化规律 BIBAIIIIIIIIIII10B1111110110111101111011111111111011018110111100111 必备知识梳理 AIINIIIBI1B101BL111B011110110010B1111111101111010103101 基础梳理 知识点1 简谐运动的回复力 敲黑板 1.定义 ◆敲黑板 1.回复力是根据力的作用 效果命名的，振动物体的回复力 振动物体在振动方向上所受的总是指向平衡位置的力，称为 可能由某一个力或某几个力的 回复力 合力或某一个力的分力来提供 2.表达式：F=一x,了“”表示回复力方向总是与位移方向相反 2.回复力不能在受力分析 3.理解 中单独分析. (1)如图甲所示，水平方向的弹簧振子，弹力充当回复力；如图 乙所示，竖直方向的弹簧振子，弹力和重力的合力充当回复力；如 图丙所示，m随M一起振动，m的回复力是静摩擦力. EEEEEEE6666 行9h 0000000 M 甲 丙 (2)k为回复力大小跟位移大小之间的比例系数，对于水平弹 簧振子，当回复力由弹簧弹力提供时，k即为弹簧的劲度系数，它 由弹簧本身的性质决定，在其他情况下，k不一定等于弹簧的劲度 系数 知识点(2简谐运动的能量 1.简谐运动中的能量 振动系统在振动过程中，系统内的动能和势能（含重力势能和 弹性势能)在相互转化， (1)在最大位移处，势能最大，动能为0. (2)在平衡位置处，动能最大，势能为0. 57 重难点手册高中物理选择性必修第一册RJ (3)简谐运动是一个能量转化的过程，如果没有外界阻力存 敲黑板⊙ 在，在动能与势能转化的过程中，机械能守恒，即总机械能一任意 1.在振动的一个周期内，动 位置的动能十势能=平衡位置的动能=最大位移处的势能， 能和势能完成两次周期性变化. 2.决定能量大小的因素 ◆敲黑板。 2.振子运动经过平衡位置 振动系统的机械能跟振幅有关，对一个给定的振动系统，振幅 两侧的对称，点时，具有相等的动 能和相等的势能. 越大，振动越强，振动的机械能越大；振幅越小，振动越弱，振动的 机械能越小 重难拓展 拓视野⊙ 重难点（①简谐运动中各物理量的变化规律 1.如图甲为物体做简谐运 动时的Ekt、E。t及E-t图像. 如图所示，振子以O点为平衡位置在M、N两点之间做简谐 机械能E 运动.描述简谐运动的物理量中，位移、回复力、加速度、速度都是 势能E。 矢量，既有大小又有方向.只要记住位移的起始位置始终在平衡位 动能E 置O点，根据振子的运动就好判断位移的大小和方向的变化规律 甲 了.加速度与回复力始终有相同的方向与大小变化规律，而且其方 2.如图乙为物体做简谐运 向始终与位移方向相反，大小与位移大小的变化规律相同.振子向 动时的Ekx、E,x及E-x图像 平衡位置运动，速度增大，动能增大，势能减小，总机械能守恒！ 机械能E ◆拓视野为 M 各物理量的变化规律如下表所示， ◆划重点角 划重点 振子的运动 M-→O O-→N N-→O O-→M (1)位移、回复力、加速度三 位移 渐小向左 渐大向右 渐小向右 渐大向左 者的大小同步变化，与速度的大 小变化特点相反 回复力 渐小向右 渐大向左 渐小向左 渐大向右 (2)两个转折点： 加速度 渐小向右 渐大向左 渐小向左 渐大向右 ①平衡位置O,点是位移方 速度 渐大向右 渐小向右 渐大向左 渐小向左 向、加速度方向和回复力方向变 动能 渐大 渐小 渐大 渐小 化的转折点； 势能 渐小 渐大 渐小 渐大 ②最大位移处的M,点和N 点是速度方向变化的转折点， 例①如图，某轻质弹簧劲度系数为k,弹簧下端 ○m (3)两个过程 固定在地面，上端固定连接一个轻质的小托架.质量为 ①向平衡位置O靠近的过 m的小球从离托架一定高度处由静止开始自由下落， 程(M→O及N→O)速度、动能 小球恰好落到托架中心位置，然后经过一段时间又回 变大； ②远离O点时位移、加速 到初始下落位置.弹簧始终在弹性范围内，不计空气阻力 度、回复力和势能变大 (1)若小球运动到O点时速度最大，分析说明O点在何处， (2)以(1)中O点为位移起点（小球在任意位置P的位移为 58 第二章机械振动 OP),设竖直向下为正方向，作出小球上述运动过程中的加速度随 位移变化的图像（特殊点需要标出坐标）. (3)若小球在上述运动过程中的最大加速度为2g,利用(2)的 图像，求小球初始下落位置距小托架的高度！ 解析(I)经分析知小球加速度为0时速度最大，则有mg=x0,即O 点在托架原来静止位置下方工。=坚处 k (2)设竖直向下为正方向，作出小球上述运动过程中的加速度随位移变 化的图像如图甲所示 乙 (3)若小球在上述运动过程中的最大加速度为2g,图像如图乙所示，图 1 1 像上方的面积等于图像下方的面积，有gh十2g0=2X2g×2x0,解得 h=1.5mg 11B1111B1101111011000111010111311111111110113110101011111011030111111011 关键能力提升 B11011011111311011010110111011101113010011101101101111110101101010010010111 题型（① 对简谐运动回复力及加速度 指向平衡位置.通过给定两点加速度的大小和方 的理解 向，要求学生反推平衡位置，强化了加速度大小与 例1[教材P45T3]做简谐运动的物体经 形变量（即到平衡位置距离）的正比关系这一关键 过A点时，加速度的大小是2m/s2,方向指向 规律的理解.此类问题能有效训练学生的逆向思维 B点；当它经过B点时，加速度的大小是3m/s2, 和数理结合能力，是高考中考查振动图像或加速度 方向指向A点.若A、B之间的距离是10cm, 分析的常见基础模型 请确定它的平衡位置。 变式①如图所示，物体A置于物体B 解析两点加速度方向相反，故二者位于平衡位 上，一轻质弹簧一端固定，另一端与B相连，在 置的两侧；根据a=一虹，即加速度大小与弹簧的形 m 弹性限度范围内，A和B一起在光滑水平面上 变量成正比，由题可知1= a2 3,则24=2 ,又xA十 做往复运动（不计空气阻力），两者保持相对静 止.下列说法正确的是( xB=10cm,联立得xA=4cm 深挖教材 本题作为一道典型的简谐运动分析题，在高考 W B 复习中具有重要基础地位.它直接考查了简谐运动 A.A和B均做简谐运动 的核心特征—一加速度与位移成正比且方向始终 B.作用在A上的静摩擦力大小与弹簧的 59 铺重难点手册高中物理选择性必修第一册RJ 形变量成反比 力FN,其合外力为F=FN一mBg, C.B对A的静摩擦力对A做功，而A对 根据牛顿第二定律得FN一mBg=msQm, B的静摩擦力对B不做功 解得FN=mBg十mBam=mB(g十am） D.B对A的静摩擦力始终对A做正功， =0.1×(10+5)N=1.5N. 而A对B的静摩擦力始终对B做负功 根据牛顿第三定律，B对A的最大压力为 题型2简谐运动的能量与力学的综合 FN=FN=1.5 N. (3)取B为研究对象，当B振动到最高，点时受重 例2如图所示，将质量m4=100g的平 力mBg和A对B的支持力FN1,其合力为B的回复 台A连接在劲度系数k=200N/m的弹簧上 力，即F回=mBg一FN1 端，形成竖直方向的弹簧振子，在A的上方放 根据牛顿第二定律得mBg一FN1=mBa, 置mB=mA的物块B,使A、B一起上下振动. 当FN1=0时，B振动的加速度达到最大值，其最 若弹簧原长为5cm,求： 大值为am=g=10m/s2 取A、B整体为研究对象，其受到的最大回复力 为F回m=kA'=(mA十B)am: 则振动系统的振幅为 A'-m4+ma)a_0.1+0.1)x10 200 m=0.01m =1cm, (1)当系统进行小振幅振动时，平衡位置 当振幅A'>1cm时，B与A将分离，为使B在 离地面C的高度 振动中始终与A接触，振动系统的振幅A'≤1cm. (2)当振幅为0.5cm时，B对A的最大 变式2一轻质弹簧竖直立在地面上，其 压力 劲度系数为k=400N/m,弹簧的上端与盒子 (3)为使B在振动中始终与A接触，振幅 不得超过多少？ A连接在一起，盒子内装物体B,B的上下表 解析(1)将A、B整体作为振子，当A、B处于平 面恰与盒子接触，如图所示.A和B的质量m4= 衡位置时，根据平衡条件得 mg=1kg,g取10m/s2,不计阻力.先将A向 kxo=(mA+mB)g, 上抬高使弹簧相对原长伸长5cm后从静止释 解得弹簧形变量 放，A和B一起做上下方向的简谐运动.已知 x,=m4+mB)g=0.1+0.1DX10 m=0.01m= 弹簧的弹性势能取决于弹簧的形变大小，求： 200 AB 1 cm, 平衡位置距地面的高度 h=lo-xo=5 cm-1 cm=4 cm. 777777 (2)已知A、B一起振动的振幅A=0.5cm,当A、B (1)盒子A的振幅。 振动到最低，点位置时，加速度最大，其值为am= (2)物体B的最大速率 A200X0.005 mA十mB Q1十0.1m/s=5m/s2,方向竖直向上.取 (3)当A、B的位移为正的最大和负的最 B物块为研究对象，B受重力mBg和A对B的支持：大时，A对B的作用力的大小分别是多少？ 60的位置在负向位移最大处，故选B. [变式3]BC【解析】t1与t3两时刻振子经同一位 置向相反方向运动，速度不相同，A错误；t3与t4 两时刻振子经过关于平衡位置的对称点，速度大小 相等，方向相同，B正确；t4与t6两时刻振子的位移 都是一2cm,C正确；t2和ts两时刻振子的加速度 大小相等，方向相反，D错误 第2节简谐运动的描述 [变式1]AD【解析】由题图知甲、乙两振子的振幅 分别为2cm、1cm,故A正确；甲、乙两个振子的振 动周期分别为4s、8s,故B错误；前2s内甲振子的 加速度为负值，乙的加速度为正值，故C错误：第2s 末甲处于平衡位置，速度最大，乙偏离平衡位置距 离最大，加速度最大，故D正确. [变式2]C【解析】根据图像可得周期T=8s,故 圆频率a牙=牙，简谐运动方程为x=Asn, 故A错误；由振动图像可知，质点在位置b与位置 d时速度大小相同，方向相同，故B错误；质点从位 置a到c和从位置b到d所用的时间相等，均为2s, 故C正确；质点从位置a到b和从b到c的过程中 时间相同但位移大小不同，故平均速度不同，故D 错误 [变式3]BC【解析】假设A点在O点右侧，小球 先从O点向右侧运动，根据题意，第一次经过A点 用时3$，则第一次经过A点后继续运动到最大位 移处然后返回，再次回到A点时用时2s,则根据对 称性可知，小球从A点运动至右侧位移最大处所用 时间为1s,因此可知该小球做简谐运动的周期为 16S,则可知当小球第二次经过A点后到第三次经 过A点还需要时间t1=8s十6s=14s;假设A点 在O点左侧，小球先从O点运动至右侧最大位移 处，然后返回至O点，向左运动第一次到达A点， 历时3$，后继续运动到左侧最大位移处然后返回， 再次回到A点时用时2S,则根据对称性可知，小球 从A点运动至左侧最大位移处所用时间为1s,则 有3s+1s=T,解得T-9,可知小球第三次 10 经过A点所用的时间为2一T-2s一3s,故选B.C 变式题参考答案 方法总结 计算简谐运动的周期，往往要利用简谐运动的 对称性，先计算出平衡位置到最大位移处（或从最 大位移处到平衡位置)的时间，即，再计算周期T 的大小 第3节简谐运动的回复力和能量 [变式1]A【解析】物体A和B一起在光滑的水 平面上做往复运动，回复力F=一kx,都做简谐运 动，故A正确；设弹簧形变量为x,弹簧的劲度系数 为k,物体A、B的质量分别为M、m,对A、B整体， 根据牛顿第二定律有F=kx=(M+m)a,对A物 体，根据牛顿第二定律有f=Ma三M十kx,可知 作用在A物体上的静摩擦力大小与弹簧的形变量 成正比，故B错误；在简谐运动中，B对A的静摩擦 力方向与位移方向相同或相反，B对A的静摩擦力 对A做功，同理，A对B的静摩擦力也对B做功， 故C错误；当物体A、B离开平衡位置时，B对A的 静摩擦力对A做负功，A对B的静摩擦力对B做 正功，故D错误. [变式2](1)10cm(2)W2m/s(3)10N;30N 【解析】(1)振子在平衡位置时，所受合力为0，设此 时弹簧被压缩△x,则k△x=(mA十mB)g,△x g=5cm.开始释放时振子处在最大位移 mA十mB 处，故振幅A=5cm十5cm=10cm. (2)由于开始时弹簧的伸长量恰好等于振子在平衡 位置时弹簧的压缩量，故弹性势能相等.设振子的 最大速率为，振子从开始运动到到达平衡位置，应 用机械能守恒定律，得(mA十mg)gA=?(m,十 mB)v2,v=√2gA=√2m/s. (3)在最高点，振子受到的重力和弹力方向相同，由 牛顿第二定律得(mA十mB)a1=x伸长十(mA十 mB)g,a1=20m/s2,方向向下.A对B的作用力方 向向下，且F1十msg=mBa1,得F1=ms(a1-g)= 10N;在最低点，由简谐运动的对称性得a2=20m/s2, 方向向上，A对B的作用力方向向上，且F2一mg =mBa2,得F2=mB(g十a2)=30N. 139