专题04 曲线运动（知识清单）（全国通用）2027年高考物理一轮复习讲练测

该高中物理高考复习知识清单系统整理了曲线运动专题，通过知识脑图搭建核心脉络，以考点分层突破涵盖曲线运动基本概念、运动合成与分解、平抛及类平抛运动等内容，构建从基础到应用的知识体系。 清单采用基础梳理与重难突破分级设计，如“小船渡河模型”明确最短时间与位移条件，“关联速度模型”强调沿绳分速度相等规律，培养运动与相互作用观念和模型建构思维。特设易错剖析标注分解误区，技法提炼融入逆向思维解决平抛临界问题，配套跟踪训练助学生深化理解，教师可据此实施分层教学提升效率。

专题04 曲线运动 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 ▶基础梳理·自主夯基 ▶重难突破·考向精练 考点一 曲线运动的基本概念与处理思想►考向一 曲线运动 考向二 运动的合成与分解 考向三 小船渡河模型 考向四 关联速度模型 考点二 抛体运动的规律及其应用►考向一 平抛运动 考向二 平抛运动的规律和应用 考向三 类平抛运动的分析与处理 考向四 斜抛运动 核心考点 平抛运动的相关规律和推论 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 ▶攻坚指南·重难突破 【重难突破01】平抛运动的临界问题 【重难突破02】平抛运动与斜面的结合分析 【重难突破03】平抛运动与曲面的结合分析 ▶易错剖析·避坑攻略 【易混易错01】关联速度的分析——运动分解的核心思想 【易混易错02】斜抛运动的物理量求解——多过程问题 ▶技法提炼·审题点拨 【方法技巧01】运动的特殊分解的情景创新的问题处理 【方法技巧02】逆向、对称、极限等物理思维考查 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 基础梳理・自主夯基——核心概念 ▶知识点一 曲线运动 1.概念：物体运动轨迹是曲线的运动。 2.条件：物体所受合外力（Fₐ）的方向与其瞬时速度（v）的方向不在一条直线上（即存在夹角）。（物体的加速度方向跟它的速度方向不在一条直线上）。 ▶知识点二 运动的合成与分解 1.基本概念：如果物体同时参与了几个运动，那么物体实际发生的运动就是合运动，参与的几个运动就是分运动。 2.合成与分解法则：平行四边形法则 ▶知识点三 平抛运动 1. 基本概念：物体以一定初速度v0 水平抛出，仅受重力作用的曲线运动，轨迹为抛物线。 2. 运动性质：匀变速曲线运动运动，加速度恒为重力加速度g（大小方向不变）。 ▶知识点四 直线运动的位移 （1）水平方向：匀速直线运动，速度：vx＝v0，位移：x＝v0t （2）竖直方向：自由落体运动，速度：vy=gt，位移：y＝gt2 重难突破・考向深研——要点提炼 考点一 曲线运动的基本概念与处理思想 ⏩考试重点提炼⏪ 考向 考试重点 一、曲线运动的条件与特征 1.速度方向：做曲线运动的质点，速度方向沿轨迹在该点的切线方向，时刻变化，因此曲线运动是变速运动； 2.运动条件：合外力方向与速度方向不在同一直线上（有夹角），合外力指向轨迹的凹侧； 3.合外力对速度的影响：合外力可分解为沿切向分量（改变速度大小）和沿法向分量（改变速度方向）； 4.运动性质：曲线运动不一定是变速运动——一定变速（速度方向时刻变化），但不一定是匀变速（加速度可能变化）； 5.合外力与轨迹的关系：合外力指向轨迹凹侧，轨迹在速度与合外力之间（速度沿切线方向，合外力指向凹侧）。 二、运动的合成与分解 1.合运动与分运动：物体实际发生的运动为合运动；分运动是沿某个方向上的等效运动； 2.三个基本特征：等时性（各分运动时间相同）、独立性（各分运动互不影响）、等效性（合运动效果等于分运动效果之和）； 3.运算法则：运动的合成与分解遵循平行四边形定则（或三角形定则），包括位移、速度、加速度的合成与分解； 4.分解原则：按实际效果分解，使分运动尽可能简单（通常沿水平、竖直方向或沿绳、垂直绳方向分解）； 5.合运动轨迹判断：两个匀速直线运动的合运动仍为匀速直线运动；一个匀速直线运动与一个匀变速直线运动（互成角度）的合运动为匀变速曲线运动；两个匀变速直线运动的合运动可能是直线运动（两分加速度方向与速度方向在同一直线上）或曲线运动（两分加速度方向与速度方向不在同一直线上）。 三、小船渡河模型 1.最短时间过河：船头垂直河岸航行，渡河时间t=d/v船（d为河宽，v船为静水中的船速），与水流速度无关； 2.最短位移过河： （1）当v船>v水时，船头斜向上游，合速度垂直河岸，最短位移xmin=d； （2）当v船<v水时，船无法垂直过河，最短位移xmin=v船/v水d（合速度与河岸夹角最大时位移最短）； 3.船头方向与合速度方向：船头方向为船在静水中的速度方向（即动力方向），合速度方向为船实际航行方向； 四、关联速度模型 1. 核心规律：用不可伸长的绳或轻杆连接的两个物体，沿绳（杆）方向的分速度大小相等； 2. 解题步骤：确定研究对象 → 画出各自的速度矢量 → 将速度沿绳（杆）方向和垂直绳（杆）方向分解 → 令沿绳方向分速度相等建立方程； 3. 常见误区：误将分速度当成合速度（物体实际速度是合速度）；随意选取分解方向（必须沿绳方向和垂直绳方向分解）； 4. 典型模型：小车拉物体（车水平拉绳带动物体上升）、人拉船（岸上人拉绳使船靠岸）、杆两端连接滑块（沿杆方向速度相等）； 5. 瞬时速度关系与加速度关系：速度关系直接由绳长不变得到，加速度关系通常涉及向心加速度分量（当绳有转动时需考虑）。 ⏩高频考向深研⏪ 考向一 曲线运动 1. 概念：物体运动轨迹是曲线的运动。 2. 条件：物体所受合外力（Fₐ）的方向与其瞬时速度（v）的方向不在同一直线上（即存在夹角）。（物体的加速度方向跟它的速度方向不在同一条直线上）。 3. 处理思想：运动的合成与分解。将复杂的曲线运动分解为两个（或多个）较简单的直线运动（通常是正交分解），再运用直线运动规律求解。 4.运动特征： （1）变速运动： 速度方向时刻改变（必然），速度大小可能改变（如平抛）也可能不变（如匀速圆周）。 【注意】曲线运动一定是变速运动，但变速运动不一定是曲线运动。 （2）加速度存在： 曲线运动一定是变速运动，一定存在加速度，但加速度不一定变化。加速度方向总指向轨迹曲线的“凹侧”（或理解为与合外力方向一致）。 （3）瞬时性： 某点的速度方向沿该点的切线方向；加速度方向由该点所受合外力决定。 注意：速度大小的增减判断 ①当合外力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率增大； ②当合外力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率减小； ③当合外力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变。 注意：由于做曲线运动的物体的速度时刻变化,说明物体具有加速度,根据牛顿第二定律可知,物体所受合外力一定不为零且和速度方向始终不在一条直线上(曲线运动条件).合外力在垂直于速度方向上的分力改变物体速度的方向,合外力在沿速度方向上的分力改变物体速度的大小。 5.轨迹：曲线运动的轨迹始终夹在合力方向与速度方向之间,而且向合力的一侧弯曲,或者说合力的方向总指向曲线的凹侧.轨迹只能平滑变化,不会出现折线.若已知物体的运动轨迹，可判断出物体所受合外力的大致方向，如平抛运动的轨迹向下弯曲，圆周运动的轨迹总向圆心弯曲等. 注意：运动类型的判断： F(a)与v的方向 轨迹特点 加速度特点 运动性质 F(a)＝0 直线 a＝0 匀速直线运动 共线 a恒定 匀变速直线运动 a不恒定 非匀变速直线运动 不共线 曲线 a恒定 匀变速曲线运动 a不恒定 非匀变速曲线运动 【跟踪训练】（高三上·山东青岛·开学考试）（多选）关于曲线运动，下列说法正确的是（　　） A．恒力作用下物体可以做曲线运动 B．物体的加速度减小，物体的速度一定减小 C．物体做圆周运动，所受合力一定指向圆心 D．曲线运动速度的方向不断发生变化，速度的大小不一定发生变化 【答案】AD 【详解】A．恒力作用下物体可以做曲线运动，例如平抛运动，物体仅受重力作用，故A正确； B．物体的加速度减小，当加速度方向有速度方向夹角为锐角时，物体的速度在增大，即物体的加速度减小，物体的速度不一定减小，故B错误； C．当物体做匀速圆周运动，所受合力一定指向圆心，当物体做变速圆周运动时，由于切线方向加速度不等于0，可知，合力一定不指向圆心，故C错误； D．曲线运动速度的方向不断发生变化，速度的大小不一定发生变化，例如匀速圆周运动，速度大小不变，速度方向在变化，故D正确。 故选AD。 考向二 运动的合成与分解 1.基本概念：如果物体同时参与了几个运动，那么物体实际发生的运动就是合运动，参与的几个运动就是分运动。 2.合成与分解法则：平行四边形法则 3.合运动与分运动的关系：等时性（时间相同）；等效性（效果相同）；同体性（同一物体）；独立性（分运动之间互不影响）。 注意：两个互成角度的直线运动的合运动性质的判断 两个互成角度的分运动 合运动 两个匀速直线运动 匀速直线运动 两个初速度为零的匀加速直线运动 匀加速直线运动 两个初速度不为零的匀变速直线运动 如果与共线，为匀变速直线运动 如果与不共线，为匀变速曲线运动 一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动 如果与共线，为匀变速直线运动 如果与不共线，为匀变速曲线运动 【跟踪训练】（2026·河北·三模）某次无人机表演时，某架无人机竖直向上做匀速直线运动的同时，水平方向上运动的速度—时间（）图像如图所示，水平向右为正方向。以水平向右为轴正方向、竖直向上为轴正方向，无人机的运动轨迹可能正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得无人机的加速度方向水平向右，因为无人机做曲线运动，所以加速度方向指向凹侧，D选项图像满足分析。 故选D。 考向三 小船渡河模型 1. 核心思想:运动分解 合运动：船的运动方向也就是船的实际运动方向，一般情况下与船头指向不一致. 分运动1：船在静水中的划行运动（方向由船头指向决定，速度 v船）。 分运动2：随水流漂移的运动（方向沿河岸，速度 v水） 2. 运动分解的基本方法:按实际效果分解，一般用平行四边形定则沿水流方向和船头指向进行分解。 模型解读 分运动1 分运动2 合运动 运动 船相对于静水的划行运动 船随水漂流的运动 船的实际运动 速度本质 发动机给船的速度 水流给船的速度 船相对于岸的速度 速度方向 沿船头指向 沿水流方向 合速度方向,轨迹(切线)方向 渡河时间 ①渡河时间只与船垂直于河岸方向的分速度有关,与水流速度无关 ②渡河时间最短:船头正对河岸时,渡河时间最短 (d为河宽) 渡河位移 若v船>v水，当船头方向与上游河岸夹角θ满足v船cos θ＝v水时，合速度垂直河岸，渡河位移最短，且xmin＝d 若v船<v水，合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河．当船头方向(即v船方向)与合速度方向垂直时，渡河位移最短，且 【跟踪训练】（2026·湖南湘潭·二模）湘江水碧湘山绿，一艘船在横渡湘江，它在静水中的速度大小为，水流速度大小为，该船经时间航行到正对岸，则此处湘江两岸的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】船要到达正对岸，需调整航向使合速度方向垂直于河岸，即合速度的水平分量为零。设船在静水中的速度大小为，水流速度大小为，船头方向与垂直方向夹角为。船相对于水的速度水平分量（与水流反向）。水流速度（沿河岸方向）。合速度水平分量需为零 解得， 合速度垂直分量（即渡河速度） 渡河距离 故选 A。 考向四 关联速度模型 1.关联体：指两个或多个通过不可伸长的绳（或杆） 或 直接接触 等方式连接在一起的物体。 关键特征：连接体之间存在运动约束关系（如绳长不变、接触点速度协调），导致它们的运动相互关联、相互制约。 2.核心处理思想：运动的合成与分解 + 约束条件： 注意：分解依据： 将物体的实际运动（合运动）分解为两个分运动： 沿约束方向（沿绳/杆方向或接触面法线方向）的分运动： 体现约束（绳不可伸长 → 沿绳速度分量相等；接触面无相对法向运动 → 法向速度分量相等）。 垂直约束方向的分运动： 通常是允许相对运动的方向。 3.常见的速度分解模型 情景图示 定量结论 v＝v物cos θ v物′＝v∥＝v物cos θ v∥＝v∥′ 即v物cos θ＝v物′cos α v∥＝v∥′ 即v物cos α＝v物′cos β 【跟踪训练】（2026·河北秦皇岛·一模）如图所示，物体（和动滑轮）通过跨过位于固定平台上的两个定滑轮的轻绳与物体连接，物体与动滑轮连接，绳的水平部分平行于地面，当绳的倾斜部分与水平方向夹角为时，物体的速度大小为，此时的速度大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】物体B向下移动的位移由两部分引起：一是细绳水平部分的缩短；二是细绳倾斜部分长度的缩短，根据总绳长不变，可得物体B下降位移满足，解得 故选C。 考点二 抛体运动的规律及其应用 ⏩考试重点提炼⏪ 考向 考试重点 一、平抛运动的规律和应用 1. 运动的分解：水平方向：匀速直线运动，vx=v0，x=v0t； 竖直方向：自由落体运动，vy=gt，y=gt2/2。 2. 合速度：即，v与水平方向夹角为 3. 合位移：即，S与水平方向夹角为 4. 飞行时间：t＝（仅由高度h决定，与初速度无关） 5. 水平射程：x＝v0t＝v0（由初速度v0和下落高度h共同决定） 6.轨迹方程：y=（gx2）/（2v02）（抛物线） 二、类平抛运动 1. 特征：合外力恒定且与初速度垂直，加速度恒定（如带电粒子在匀强电场中的偏转、物体在斜面上的类平抛）； 2. 处理方法：将类平抛运动分解为初速度方向的匀速直线运动和沿合外力方向的匀加速直线运动，a=F合/m； 3. 解题公式：x=v0t，y=1/2at2，vy=at，偏转角tanθ=at/v0； 4. 与平抛的区别：加速度不一定是g，由合外力决定；轨迹仍为抛物线； 5. 典型模型：带电粒子垂直进入匀强电场、物体在光滑斜面上的运动（沿斜面初速度垂直斜面方向？注意：沿斜面方向的加速度为gsinθ，垂直斜面方向无加速度）。 ⏩高频考向深研⏪ 考向一 平抛运动 1. 基本概念：物体以一定初速度v0水平抛出，仅受重力作用的曲线运动，轨迹为抛物线。 2. 运动性质：匀变速曲线运动，加速度恒为重力加速度 g（大小方向不变）。 独立性：水平方向匀速直线运动，竖直方向自由落体运动，两分运动互不影响。 3. 产生条件 （1）初速度 v0=0，方向水平； （2）只受重力（忽略空气阻力）。 4. 核心处理思想：运动的合成与分解： 水平方向：匀速直线运动，vx=v0，x=v0t； 竖直方向：自由落体运动，vy=gt，y=gt2/2。 【跟踪训练】（2026·安徽合肥·模拟预测）周末一对父子在一片水平空地上投沙包。父子两人先后站在地面上同一位置从不同高度分别将沙包甲、乙沿同一水平方向抛出，沙包落地前的运动轨迹如图所示。已知沙包甲出手高度是沙包乙出手高度的倍，沙包甲出手速度是沙包乙出手速度的倍。两沙包落地点的距离为。忽略空气阻力，重力加速度为，根据以上条件不能求出（     ） A．沙包甲的水平位移大小 B．沙包乙的出手速度大小 C．两沙包运动的时间之比 D．两沙包的水平位移之比 【答案】B 【详解】AD．沙包做平抛运动，竖直方向自由落体运动满足 水平方向匀速直线运动 联立解得 沙包甲、乙的水平位移之比为 由图可知 联立解得 所以沙包甲的水平位移大小以及两沙包的水平位移之比可以求出，故AD错误； B．题目仅给出沙包甲、乙出手高度和出手速度的比值，没有给出沙包乙的出手高度​的具体数值，因此无法求出沙包乙的出手速度大小，故B正确； C．沙包竖直方向自由落体，则 解得 两沙包运动的时间之比为 所以两沙包运动的时间之比可以求出，故C错误。 故选B。 考向二 平抛运动的规律和应用 1. 核心思想：运动分解： （1）水平方向：匀速直线运动，速度：vx＝v0，位移：x＝v0t （2）竖直方向：自由落体运动，速度：vy=gt，位移：y＝gt2 （3）合运动规律： 合速度：即，v与水平方向夹角为 合位移：即，S与水平方向夹角为 （4）角度关系：速度偏角 α与位移偏角 θ：tanα=2tanθ=2y/x （5）轨迹方程：y=（gx2）/（2v02）（抛物线） （6）时间与高度：飞行时间t＝（仅由高度h决定） （7）水平射程：x＝v0t＝v0（由初速度v0和下落高度h共同决定） 【跟踪训练】（2026·安徽合肥·模拟预测）如图所示，先将小球甲水平抛出，甲抛出后1.5秒将小球乙水平抛出，小球甲、乙将会在空中的点相遇，已知小球甲、乙的抛出点水平距离为，小球甲、乙抛出时的速度大小均为。取重力加速度大小，不计空气阻力，小球可看成质点，则下列说法正确的是（     ） A．小球乙在相遇前运动的时间为 B．小球甲、乙在相遇时速度偏转角相同 C．甲、乙相遇时两小球的速度方向相互垂直 D．小球甲、乙抛出点的高度差 【答案】C 【详解】A．设小球乙在相遇前运动的时间为，则小球甲运动的时间为，其中，两小球在水平方向均做匀速直线运动，根据位移公式有 代入数据解得 可知小球乙在相遇前运动的时间为，故A错误； B．相遇时小球甲、乙的竖直分速度大小分别有， 代入数据解得， 设小球甲、乙在相遇时的速度偏转角分别为和，分别有， 代入数据解得， 由于两小球速度偏转角正切值不同，故相遇时速度偏转角不相同，故B错误； C．根据B选项中求出的速度偏转角正切值有 甲、乙两球水平速度方向相反，若两速度方向垂直，则速度矢量与水平方向夹角之和应为，即要求两速度偏转角的正切值乘积为，由上述等式成立可知两小球的速度方向相互垂直，故C正确； D．相遇时小球甲、乙下落的高度分别有， 小球甲、乙抛出点的高度差为 联立解得 可知高度差不是，故D错误。 故选C。 考向三 类平抛运动的分析与处理 1. 定义： 物体受恒定的合外力作用，且初速度方向与合外力方向垂直的运动。 2. 本质：匀变速曲线运动，加速度恒定（大小方向不变）。 3. 与平抛的区别： 平抛：加速度为重力加速度g，方向竖直向下； 类平抛：加速度a为任意恒力（如电场力、斜面重力分量等）产生的加速度，方向不一定是竖直。 注意：类平抛运动关键分析方法 （1）识别条件： 初速度 v0=0 且与合外力方向垂直； 合外力恒定（加速度 a恒定）。 （2）建立坐标系： 以v0方向为x轴，合外力方向为y轴（确保加速度仅在y 方向）。 （3）分解加速度： 若加速度方向与初速度不严格垂直（如斜面上的类平抛），需将加速度正交分解： ax（影响x 方向速度变化）；ay（主导类抛体特征） 【跟踪训练】（2026·湖北襄阳·模拟预测）（多选）如图所示，倾角均为的两个光滑斜面体固定放置，两个斜面、均是正方形，的边长为，的边长未知，是的中点，是的中心，、、在同一条直线上。质量为的小球（视为质点）用长为的轻质细线系于点，在点给小球一个沿方向、大小为的初速度，绕点在斜面内做圆周运动，当小球再次运动到点时，突然剪断细线（不影响小球的速度），此后小球沿斜面运动并从c点离开，重力加速度为，不计空气阻力。下列说法正确的是（     ） A．剪断细线前，小球在点时细线的拉力大小为 B．小球在点的速度大小为 C．的边长为 D．剪断细线后，小球从到的运动时间为 【答案】BD 【详解】A．在a点对小球进行受力分析，把重力分别沿着斜面和垂直斜面分解，则有 其中 可得剪断细线前，小球在a点时细线的拉力大小为，故A错误； B．设小球在c点速度的反向延长线与bc的夹角为θ，小球从a到c做类平抛运动，匀速直线分运动与匀加速直线分运动的位移大小相等，类平抛运动速度的反向延长线经过水平位移的中点，设abcd的边长为d，则有 将小球经过c点的速度分解为沿dc方向的分速度va和沿bc方向的分速度vy，由 解得 小球在c点的速度大小 解得，故B正确； CD．小球在斜面abcd上的加速度 由类平抛运动的规律可得， 结合 可得abcd的边长 剪断细线后，小球从a到c的运动时间为，故C错误，故D正确。 故选BD。 考向四 斜抛运动 1.基本概念 物体以初速度 v0斜向上方（与水平成θ角）抛出，仅受重力作用的曲线运动，轨迹为抛物线。 2. 运动分解（核心思想） 水平方向：匀速直线运动，速度：vx=v0cosθ，位移：x=v0cosθt 竖直方向：竖直上抛运动，速度：vy=v0sinθ−gt，位移：y=v0sinθt−gt2/2 3. 关键物理量 物理量 公式 飞行时间 T=2v0sinθ/g（落回同一水平面） 最大高度 H=(v0sinθ)2/2g 水平射程 X=v02sin2θ/g（对称抛射） 注意：重要结论 射程最大条件：当 θ=45∘时，Xmax=v02/g。 对称性： 上升时间=下降时间=v0sinθ/g； 同一高度速度大小相等，方向对称（水平速度相同，竖直速度等大反向）。 5. 应用场景 抛体问题：投掷铅球、投篮、炮弹轨迹； 斜面斜抛：分解为沿斜面和垂直斜面方向（需调整坐标系）； 非对称抛体：落点高于/低于抛出点时，利用竖直位移方程 y=v0sinθ t−gt2/2求时间。 核心要点： 水平匀速+竖直匀变速（加速度−g）； 抓对称性、最值条件（θ=45∘θ=45∘ 射程最大）； 斜面问题通过旋转坐标系转化为类平抛处理。 【跟踪训练】（2026·宁夏吴忠·三模）（多选）某游客摄像记录打铁花表演中两个质量相同的铁花a、b（均视为质点）在同一竖直面内运动的轨迹图，如图2所示。若a、b从水平地面上B点的正上方A处以相同速率v同时水平和向右上方飞出，恰好落在地面上同一处C点（铁花飞行过程中所受阻力不计），则下列说法正确的是（     ） A．两个铁花落地时间相同 B．两铁花落地时速度相同 C．b铁花在最高点时的速度不为0 D．a铁花落地时重力的瞬时功率较小 【答案】CD 【详解】设抛出点高度为，两铁花初速度大小均为，水平抛出，斜向上抛出（初速度与水平方向夹角为），且最终落到同一地点 A．竖直初速度为，竖直初速度为，所以先上升再下落，飞行时间更长，落地时间不同，故A错误； B．由于小球运动机械能守恒，二者初速度大小相同，落地高度相同，则落地时速度大小相同。 然而，二小球的方向不相同：的速度水平分量为，的速度水平分量为，故落地时速度矢量不同，故B错误； C．小球运动到最高点时，竖直分速度为，水平分速度为，则其速度不为，故C正确； D．落地时速率相同，设落地速率为 的竖直分速度，的竖直分速度 因为 所以 重力瞬时功率，则的瞬时功率较小，故D正确。 故选CD。 核心考点 平抛运动的相关规律和推论 1.水平射程：x＝v0t＝v0（由初速度v0和下落高度h共同决定） 2.飞行时间:由知,飞行时间取决于下落高度h,与初速度v0无关. 3.落地速度: ,以θ表示落地速度与x轴正方向间的夹角,有,所以落地速度只与初速度v0和下落高度h有关. 4.速度改变量:物体在任意相等时间内的速度改变量相同,方向恒为竖直向下. 5.平抛运动的两个重要结论 ①做平抛运动的物体在任意时刻(任意位置)处，有. 推导： ②做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过水平位移的中点， 如图所示，即. 推导： 【跟踪训练】（25-26高一下·河南新乡·阶段检测）物理兴趣小组在封闭隔离的专用实验高台上开展平抛探究实验，自同一高度处，沿同一水平方向，先后以大小不同的初速度抛出两个完全相同的小球A、B，它们在空中运动的轨迹分别如图中曲线a、b所示。不计空气阻力，关于两小球的平抛运动，下列说法正确的是（     ） A．小球A、B的初速度大小之比为 B．小球B的速度变化量大于小球A的速度变化量 C．两小球落地时重力的瞬时功率相同 D．两小球落地瞬间，A速度与水平方向的夹角是B速度与水平方向的夹角的2倍 【答案】C 【详解】A．两小球在空中做平抛运动，下落高度相同，根据 可知两小球在空中下落时间相等，水平方向有， 可得小球A、B的初速度大小之比为，故A错误； B．根据，由于两小球在空中下落时间相等，所以小球B的速度变化量等于小球A的速度变化量，故B错误； C．根据 由于两小球在空中下落时间相等，两小球质量相等，所以两小球落地时重力的瞬时功率相同，故C正确； D．两小球落地瞬间，由， 可得，故D错误。 故选C。 素养进阶·答题技法突破 攻坚指南・重难突破——解题思路 【重难突破01】平抛运动的临界问题 1. 最小初速度问题 障碍物临界：轨迹抛物线恰好与障碍物相切。 条件：切点处竖直分速度 vy2=2gh（h为障碍物高度），水平位移 x=v0t。 落入坑洞：轨迹端点与坑洞边界相切，利用位移方程联立几何约束求解 v0范围。 2. 斜面碰撞临界 垂直落至斜面：末速度方向垂直斜面 → vx与 vy满足 tanβ=gt/v0（β为斜面倾角）。 最远撞击点：位移方向与斜面平行 → tanβ=y/x=gt2/v0。 关键： 几何约束：画轨迹图，找切点或边界条件； 瞬时状态分析：利用速度/位移方向与临界线（斜面、障碍）的关系列方程。 【跟踪训练】（2026·云南昆明·模拟预测）智能网球发球机可将网球从发球口沿水平面内任意方向以不同大小的速度击出，供运动员进行训练。如图所示，发球机置于网球场左侧底线AB的中点M处，发球口在M点正上方高度为的O点。球网两侧球场ABCF与FCDE为边长相同的正方形，球网高度为。不计空气阻力。则网球（视为质点）直接落在右侧球场中所有可能落点构成图形的形状为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设正方形球场边长为 。如果所示，以 点为原点 ，垂直AB边向右为 轴，平行AB边为 轴。 网球直接落在右侧球场中落点离球网最近的点均恰好过球网，如图所示： 网球做平抛运动，刚过球网时，竖直方向上 水平方向上 网球下落到球场，竖直方向 水平方向上 则 由几何关系可得，网球直接落在右侧球场中落点在轴的坐标有 则网球直接落在右侧球场中落点在轴的坐标 即各方向射出的网球，擦网而过后在球场的落地在轴的坐标为为。 故选 A。 【重难突破02】 平抛运动与斜面的结合分析 平抛运动与斜面的结合：核心思想 模型 思想 内容 斜面 核心关系 垂直打在斜面上 分解速度 速度关系： vx＝v0 vy＝gt v＝ 位移关系： x＝v0t y＝gt2 s＝ tan θ＝＝ → t＝ 平抛再次落在斜面上（位移偏转角） 分解位移 tan θ＝＝ → t＝ 平抛再次落在斜面上（速度偏转角） 角度关系 tan φ＝ ＝ ＝＝2tan θ ，α＝φ－θ 切向落入斜面 分解速度 tan θ＝＝ → t＝ 离斜面最远 角度关系 tan θ＝＝→t＝ 【跟踪训练】（2026·河南信阳·模拟预测）如图所示，一个平台静止在水平面上，现给水平面上点处的小球一个斜向上的初速度，使小球从平台上表面左端的点沿水平方向滑上平台，已知、连线与水平方向的夹角为，则小球抛出的初速度与水平方向的夹角应满足的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将物体的运动看做是逆向的平抛运动，则，， 解得， 故选C。 【重难突破03】 平抛运动与曲面的结合分析 平抛运动与曲面的结合：核心思想 模型 方法 内容 斜面 与曲面内切 分解速度 水平：vx＝v0 竖直：vy＝gt tan θ＝＝ → t＝ 从斜面一端射入 由半径和几何关系 h＝gt2，R＋＝v0t 与曲面外切 分解速度 水平：vx＝v0 竖直：vy＝gt tan θ＝＝ → t＝ 【跟踪训练】（2026·河北邢台·二模）如图所示，半圆形凹槽半径为R，圆心为O，MN为水平直径。A点与O等高，B点在O点正下方，P点位于槽面上，P到O的水平距离为。现从A、B点分别以水平速度vA、vB抛出小球，恰好都垂直槽面击中P点，所用时间分别为tA、tB。不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A． B． C． D．A、B、P三点不共线 【答案】C 【详解】AC．由于两小球均垂直槽面击中P点，所以速度的反向延长线必过水平位移中点，即经过圆心O，如图所示 根据几何关系可得 解得 根据平抛运动的规律可得，，， 联立解得，，故A错误，C正确； B．由于， 所以，故B错误； D．根据平抛运动的推论可知，由于两小球的速度偏转角相等，即速度方向与水平方向的夹角相等，所以位移与水平方向的夹角相等，则A、B、P三点共线，故D错误。 故选C。 易错剖析・避坑攻略——易错归纳 【易混易错01】关联速度的分析——运动分解的核心思想 关联速度中常见的速度分解模型 情景图示 定量结论 v＝v物cos θ v物′＝v∥＝v物cos θ v∥＝v∥′ 即v物cos θ＝v物′cos α v∥＝v∥′ 即v物cos α＝v物′cos β 【跟踪训练】（2026·江西·三模）某种窗户支架如图甲所示，其工作原理简化图如图乙所示。ad杆的a点通过铰链固定在滑槽导轨中，d点通过铰链固定在窗户底面，滑块可在滑槽导轨中自由滑动，bc杆的c点通过铰链固定在滑块上，b点通过铰链固定在ad杆上。某次关闭窗户的过程中，ad杆绕a点匀速转动，则下列说法正确的是（　　） A．点和点的速度大小可能相等 B．点的速度大小始终小于点的速度大小 C．点和点的加速度大小可能相等 D．点的加速度大小始终大于点的加速度大小 【答案】A 【详解】AB．b在ad杆上，速度方向垂直于ad杆；c在滑块上，速度沿水平滑槽方向。对杆bc，两端点沿杆方向的分速度大小相等。设ad与水平方向夹角为，bc与水平方向夹角为，由沿杆分速度相等，可得 关闭窗户过程中，、逐渐减小，当时，即时，有 说明b、c两点速度大小可能相等，不是点的速度大小始终小于点的速度大小。故A正确，B错误； CD．ad杆绕a点匀速转动，b、d都在ad杆上，二者角速度相同。匀速圆周运动的加速度为向心加速度，满足 转动半径的关系满足 因此恒成立，即点的加速度大小始终小于点的加速度大小，故CD错误。 故选A。 【易混易错02】斜抛运动的物理量求解——多过程问题 斜抛运动多过程物理量求解核心思想：对称性： 上升时间=下降时间=v0sinθ/g； 同一高度速度大小相等，方向对称（水平速度相同，竖直速度等大反向）。 【跟踪训练】（2026·广东广州·二模）（多选）如图所示，某同学将离地1.25m的网球以13m/s的速度斜向上击出，击球点到竖直墙壁的距离4.8m。当网球竖直分速度为零时，击中墙壁上离地高度为8.45m的P点。网球与墙壁碰撞后，垂直墙面速度分量大小变为碰前的0.75倍，平行墙面的速度分量不变。重力加速度g取10m/s2，空气阻力不计，则（     ） A．网球与墙壁碰撞前在空中的飞行时间为1.2s B．网球与墙壁碰撞前瞬间的速度大小为12m/s C．网球与墙壁碰撞前瞬间的速度方向与墙壁的夹角正弦值为0.8 D．网球与墙壁碰撞后瞬间的速度大小为 【答案】ACD 【详解】A．由题意可知网球与墙壁碰撞前瞬间竖直分速度为0，根据逆向思维，竖直方向有 可得网球与墙壁碰撞前在空中的飞行时间为，故A正确； B．根据题意可知，网球斜向上飞出，设竖直方向上分速度为，水平分速度为，如图所示 竖直分速度大小为 则有 可知网球与墙壁碰撞前瞬间的速度大小为，故B错误； CD．设网球水平分速度垂直墙面速度分量大小为，平行墙面的速度分量为，如图所示 则有 其中垂直墙面速度分量大小为 可得 网球与墙壁碰撞前瞬间的速度方向与墙壁的夹角正弦值为 由于网球与墙壁碰撞后，垂直墙面速度分量大小变为碰前的0.75倍，平行墙面的速度分量不变，则碰后垂直墙面速度分量大小为 网球与墙壁碰撞后瞬间的速度大小为，故CD正确。 故选ACD。 技法提炼・审题点拨——技巧总结 【技法点拨01】运动的特殊分解的情景创新的问题处理 1. 按实际作用效果分解。最典型的是将速度分解为： 沿绳（杆）方向：此分速度改变速度大小（提供拉力或支撑）。 垂直绳（杆）方向：此分速度改变速度方向（使物体绕固定点转动）。 注意：核心原则：根据运动产生的实际效果（如重力方向、接触面约束）选择分解方向，而非机械正交分解。例如斜面问题常分解为沿斜面和垂直斜面方向，使牛顿定律更易应用。掌握此方法能快速解决连接体、圆周运动临界等问题，大大提高解题效率。 2. 按运动独立性建立坐标系： 沿初速度方向：分解为匀速直线运动（水平方向速度不变）。 沿重力方向：分解为匀变速直线运动（竖直方向加速度恒为g）。 注意：关键技巧： 斜抛可进一步分解为水平匀速（vx=v0cosθ）和竖直上抛（vy=v0sinθ−gt）。 最高点：竖直分速为零，水平速度保留。 优势：利用两个直线运动的规律合成复杂曲线，简化计算 【跟踪训练】（2026·福建·三模）投喂海鸟是很多游客最喜爱的活动。一只海鸟在距离游客高处以水平速度匀速飞行，游客面向海鸟飞来的方向，以与水平面成角斜向上抛出食物，海鸟恰好在食物运动到轨迹最高点时接住食物。飞鸟与食物轨迹在同一竖直面内，不计空气阻力，，，。求： (1)食物从抛出到升至最高点的时间； (2)食物抛出时的初速度大小； (3)游客抛出食物时，海鸟到游客的水平距离。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）食物竖直方向做竖直上抛运动，上升到最高点时竖直位移 最高点竖直速度为0，则食物从抛出到升至最高点的时间满足                              解得 （2）食物抛出时在竖直方向的初速度满足 解得 又食物抛出瞬间，速度与水平面成角，可知 解得 （3）食物的水平分速度 时间内食物的水平位移 海鸟位移 二者相向运动，故海鸟到游客的水平距离 【技法点拨02】逆向、对称、极限等物理思维考查 在高中物理曲线运动中，逆向、对称、极限三大物理思维是破解复杂问题的关键： 1. 逆向思维 将末状态视为初状态反向推理。 应用：竖直上抛运动可视为自由落体的逆过程（时间、速度对称），平抛运动中从落点反推初速度。 例：物体从斜面抛回原点问题，逆转为平抛计算时间。 2. 对称性分析 利用轨迹或过程的几何/时间对称性简化问题。 斜抛运动：轨迹关于最高点轴对称，上升与下降时间相等，水平位移对称。 圆周运动：匀速圆周中速度、加速度大小周期性对称；非匀速圆周中常找特殊对称点（如最高点、最低点）分析受力。 3. 极限思想 通过极端假设（如速度极大/小、角度趋近0°或90°）分析临界状态。 斜面抛体：倾角θ→90°时射程趋近于0，验证结论 R=（2v02tanθ）/g​。 考查核心： 逆向：转换视角，化难为易； 对称：减少计算，直击本质； 极限：界定范围，突破临界。 掌握三者可高效解决轨迹分析、临界条件、极值求解等难题 【跟踪训练】 （2026·湖北·模拟预测）（多选）如图，在地面上有一可左右移动的发射装置，能使小球乙以与地面成30°的速度抛出，现地面上方某处固定另一发射装置可将小球甲以水平向右抛出，AI智能控制发射装置同时发射。若当两个发射装置在同一条竖直线上时发射小球，恰好乙球运动到最高点处两球相遇，重力加速度取。（　　） A．乙球抛出的速度为 B．甲球抛出时在地面上方处 C．将发射装置乙向右平移，并将乙的发射速度改为，两小球可在空中相遇 D．将发射装置乙向左平移，无论乙的发射速度为多少，两小球不可能在空中相遇 【答案】AD 【详解】A．两球同时发射，相遇时水平位移相等、运动时间相同，水平方向均做匀速直线运动，故 代入数据解得，A正确； B．乙运动到最高点的时间 竖直方向甲做自由下落、乙做竖直上抛，相遇时高度相同，故甲的抛出高度，B错误； C．乙向右平移、发射速度改为，水平方向相遇需满足 代入数据解得 而乙的总飞行时间 时乙已落地，无法在空中相遇，C错误； D．乙向左平移，水平方向相遇需满足 竖直方向相遇需满足 代入得 联立水平方向方程解得，仅发射瞬间相遇，无空中相遇时间正值，故无论乙发射速度为多少，都不可能在空中相遇，D正确。 故选 AD。 $专题04 曲线运动 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 ▶基础梳理·自主夯基 ▶重难突破·考向精练 考点一 曲线运动的基本概念与处理思想►考向一 曲线运动 考向二 运动的合成与分解 考向三 小船渡河模型 考向四 关联速度模型 考点二 抛体运动的规律及其应用►考向一 平抛运动 考向二 平抛运动的规律和应用 考向三 类平抛运动的分析与处理 考向四 斜抛运动 核心考点 平抛运动的相关规律和推论 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 ▶攻坚指南·重难突破 【重难突破01】平抛运动的临界问题 【重难突破02】平抛运动与斜面的结合分析 【重难突破03】平抛运动与曲面的结合分析 ▶易错剖析·避坑攻略 【易混易错01】关联速度的分析——运动分解的核心思想 【易混易错02】斜抛运动的物理量求解——多过程问题 ▶技法提炼·审题点拨 【方法技巧01】运动的特殊分解的情景创新的问题处理 【方法技巧02】逆向、对称、极限等物理思维考查 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 基础梳理・自主夯基——核心概念 ▶知识点一 曲线运动 1.概念：物体运动 的运动。 2.条件：物体所受合外力（Fₐ）的方向与其瞬时速度（v）的方向 （即存在夹角）。（物体的加速度方向跟它的速度方向 ）。 ▶知识点二 运动的合成与分解 1.基本概念：如果物体同时参与了几个运动，那么物体实际发生的运动就是 ，参与的几个运动就是 。 2.合成与分解法则： ▶知识点三 平抛运动 1. 基本概念：物体以一定初速度v0 ，仅受 的曲线运动，轨迹为 。 2. 运动性质： 运动，加速度恒为重力加速度g（大小方向不变）。 ▶知识点四 直线运动的位移 （1）水平方向：匀速直线运动，速度： ，位移： （2）竖直方向：自由落体运动，速度： ，位移： 重难突破・考向深研——要点提炼 考点一 曲线运动的基本概念与处理思想 ⏩考试重点提炼⏪ 考向 考试重点 一、曲线运动的条件与特征 1.速度方向：做曲线运动的质点，速度方向沿轨迹在该点的切线方向，时刻变化，因此曲线运动是变速运动； 2.运动条件：合外力方向与速度方向不在同一直线上（有夹角），合外力指向轨迹的凹侧； 3.合外力对速度的影响：合外力可分解为沿切向分量（改变速度大小）和沿法向分量（改变速度方向）； 4.运动性质：曲线运动不一定是变速运动——一定变速（速度方向时刻变化），但不一定是匀变速（加速度可能变化）； 5.合外力与轨迹的关系：合外力指向轨迹凹侧，轨迹在速度与合外力之间（速度沿切线方向，合外力指向凹侧）。 二、运动的合成与分解 1.合运动与分运动：物体实际发生的运动为合运动；分运动是沿某个方向上的等效运动； 2.三个基本特征：等时性（各分运动时间相同）、独立性（各分运动互不影响）、等效性（合运动效果等于分运动效果之和）； 3.运算法则：运动的合成与分解遵循平行四边形定则（或三角形定则），包括位移、速度、加速度的合成与分解； 4.分解原则：按实际效果分解，使分运动尽可能简单（通常沿水平、竖直方向或沿绳、垂直绳方向分解）； 5.合运动轨迹判断：两个匀速直线运动的合运动仍为匀速直线运动；一个匀速直线运动与一个匀变速直线运动（互成角度）的合运动为匀变速曲线运动；两个匀变速直线运动的合运动可能是直线运动（两分加速度方向与速度方向在同一直线上）或曲线运动（两分加速度方向与速度方向不在同一直线上）。 三、小船渡河模型 1.最短时间过河：船头垂直河岸航行，渡河时间t=d/v船（d为河宽，v船为静水中的船速），与水流速度无关； 2.最短位移过河： （1）当v船>v水时，船头斜向上游，合速度垂直河岸，最短位移xmin=d； （2）当v船<v水时，船无法垂直过河，最短位移xmin=v船/v水d（合速度与河岸夹角最大时位移最短）； 3.船头方向与合速度方向：船头方向为船在静水中的速度方向（即动力方向），合速度方向为船实际航行方向； 四、关联速度模型 1. 核心规律：用不可伸长的绳或轻杆连接的两个物体，沿绳（杆）方向的分速度大小相等； 2. 解题步骤：确定研究对象 → 画出各自的速度矢量 → 将速度沿绳（杆）方向和垂直绳（杆）方向分解 → 令沿绳方向分速度相等建立方程； 3. 常见误区：误将分速度当成合速度（物体实际速度是合速度）；随意选取分解方向（必须沿绳方向和垂直绳方向分解）； 4. 典型模型：小车拉物体（车水平拉绳带动物体上升）、人拉船（岸上人拉绳使船靠岸）、杆两端连接滑块（沿杆方向速度相等）； 5. 瞬时速度关系与加速度关系：速度关系直接由绳长不变得到，加速度关系通常涉及向心加速度分量（当绳有转动时需考虑）。 ⏩高频考向深研⏪ 考向一 曲线运动 1. 概念：物体运动轨迹是曲线的运动。 2. 条件：物体所受合外力（Fₐ）的方向与其瞬时速度（v）的方向不在同一直线上（即存在夹角）。（物体的加速度方向跟它的速度方向不在同一条直线上）。 3. 处理思想：运动的合成与分解。将复杂的曲线运动分解为两个（或多个）较简单的直线运动（通常是正交分解），再运用直线运动规律求解。 4.运动特征： （1）变速运动： 速度方向时刻改变（必然），速度大小可能改变（如平抛）也可能不变（如匀速圆周）。 【注意】曲线运动一定是变速运动，但变速运动不一定是曲线运动。 （2）加速度存在： 曲线运动一定是变速运动，一定存在加速度，但加速度不一定变化。加速度方向总指向轨迹曲线的“凹侧”（或理解为与合外力方向一致）。 （3）瞬时性： 某点的速度方向沿该点的切线方向；加速度方向由该点所受合外力决定。 注意：速度大小的增减判断 ①当合外力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率增大； ②当合外力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率减小； ③当合外力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变。 注意：由于做曲线运动的物体的速度时刻变化,说明物体具有加速度,根据牛顿第二定律可知,物体所受合外力一定不为零且和速度方向始终不在一条直线上(曲线运动条件).合外力在垂直于速度方向上的分力改变物体速度的方向,合外力在沿速度方向上的分力改变物体速度的大小。 5.轨迹：曲线运动的轨迹始终夹在合力方向与速度方向之间,而且向合力的一侧弯曲,或者说合力的方向总指向曲线的凹侧.轨迹只能平滑变化,不会出现折线.若已知物体的运动轨迹，可判断出物体所受合外力的大致方向，如平抛运动的轨迹向下弯曲，圆周运动的轨迹总向圆心弯曲等. 注意：运动类型的判断： F(a)与v的方向 轨迹特点 加速度特点 运动性质 F(a)＝0 直线 a＝0 匀速直线运动 共线 a恒定 匀变速直线运动 a不恒定 非匀变速直线运动 不共线 曲线 a恒定 匀变速曲线运动 a不恒定 非匀变速曲线运动 【跟踪训练】（高三上·山东青岛·开学考试）（多选）关于曲线运动，下列说法正确的是（　　） A．恒力作用下物体可以做曲线运动 B．物体的加速度减小，物体的速度一定减小 C．物体做圆周运动，所受合力一定指向圆心 D．曲线运动速度的方向不断发生变化，速度的大小不一定发生变化 考向二 运动的合成与分解 1.基本概念：如果物体同时参与了几个运动，那么物体实际发生的运动就是合运动，参与的几个运动就是分运动。 2.合成与分解法则：平行四边形法则 3.合运动与分运动的关系：等时性（时间相同）；等效性（效果相同）；同体性（同一物体）；独立性（分运动之间互不影响）。 注意：两个互成角度的直线运动的合运动性质的判断 两个互成角度的分运动 合运动 两个匀速直线运动 匀速直线运动 两个初速度为零的匀加速直线运动 匀加速直线运动 两个初速度不为零的匀变速直线运动 如果与共线，为匀变速直线运动 如果与不共线，为匀变速曲线运动 一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动 如果与共线，为匀变速直线运动 如果与不共线，为匀变速曲线运动 【跟踪训练】（2026·河北·三模）某次无人机表演时，某架无人机竖直向上做匀速直线运动的同时，水平方向上运动的速度—时间（）图像如图所示，水平向右为正方向。以水平向右为轴正方向、竖直向上为轴正方向，无人机的运动轨迹可能正确的是（     ） A． B． C． D． 考向三 小船渡河模型 1. 核心思想:运动分解 合运动：船的运动方向也就是船的实际运动方向，一般情况下与船头指向不一致. 分运动1：船在静水中的划行运动（方向由船头指向决定，速度 v船）。 分运动2：随水流漂移的运动（方向沿河岸，速度 v水） 2. 运动分解的基本方法:按实际效果分解，一般用平行四边形定则沿水流方向和船头指向进行分解。 模型解读 分运动1 分运动2 合运动 运动 船相对于静水的划行运动 船随水漂流的运动 船的实际运动 速度本质 发动机给船的速度 水流给船的速度 船相对于岸的速度 速度方向 沿船头指向 沿水流方向 合速度方向,轨迹(切线)方向 渡河时间 ①渡河时间只与船垂直于河岸方向的分速度有关,与水流速度无关 ②渡河时间最短:船头正对河岸时,渡河时间最短 (d为河宽) 渡河位移 若v船>v水，当船头方向与上游河岸夹角θ满足v船cos θ＝v水时，合速度垂直河岸，渡河位移最短，且xmin＝d 若v船<v水，合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河．当船头方向(即v船方向)与合速度方向垂直时，渡河位移最短，且 【跟踪训练】（2026·湖南湘潭·二模）湘江水碧湘山绿，一艘船在横渡湘江，它在静水中的速度大小为，水流速度大小为，该船经时间航行到正对岸，则此处湘江两岸的距离为（　　） A． B． C． D． 考向四 关联速度模型 1.关联体：指两个或多个通过不可伸长的绳（或杆） 或 直接接触 等方式连接在一起的物体。 关键特征：连接体之间存在运动约束关系（如绳长不变、接触点速度协调），导致它们的运动相互关联、相互制约。 2.核心处理思想：运动的合成与分解 + 约束条件： 注意：分解依据： 将物体的实际运动（合运动）分解为两个分运动： 沿约束方向（沿绳/杆方向或接触面法线方向）的分运动： 体现约束（绳不可伸长 → 沿绳速度分量相等；接触面无相对法向运动 → 法向速度分量相等）。 垂直约束方向的分运动： 通常是允许相对运动的方向。 3.常见的速度分解模型 情景图示 定量结论 v＝v物cos θ v物′＝v∥＝v物cos θ v∥＝v∥′ 即v物cos θ＝v物′cos α v∥＝v∥′ 即v物cos α＝v物′cos β 【跟踪训练】（2026·河北秦皇岛·一模）如图所示，物体（和动滑轮）通过跨过位于固定平台上的两个定滑轮的轻绳与物体连接，物体与动滑轮连接，绳的水平部分平行于地面，当绳的倾斜部分与水平方向夹角为时，物体的速度大小为，此时的速度大小为（     ） A． B． C． D． 考点二 抛体运动的规律及其应用 ⏩考试重点提炼⏪ 考向 考试重点 一、平抛运动的规律和应用 1. 运动的分解：水平方向：匀速直线运动，vx=v0，x=v0t； 竖直方向：自由落体运动，vy=gt，y=gt2/2。 2. 合速度：即，v与水平方向夹角为 3. 合位移：即，S与水平方向夹角为 4. 飞行时间：t＝（仅由高度h决定，与初速度无关） 5. 水平射程：x＝v0t＝v0（由初速度v0和下落高度h共同决定） 6.轨迹方程：y=（gx2）/（2v02）（抛物线） 二、类平抛运动 1. 特征：合外力恒定且与初速度垂直，加速度恒定（如带电粒子在匀强电场中的偏转、物体在斜面上的类平抛）； 2. 处理方法：将类平抛运动分解为初速度方向的匀速直线运动和沿合外力方向的匀加速直线运动，a=F合/m； 3. 解题公式：x=v0t，y=1/2at2，vy=at，偏转角tanθ=at/v0； 4. 与平抛的区别：加速度不一定是g，由合外力决定；轨迹仍为抛物线； 5. 典型模型：带电粒子垂直进入匀强电场、物体在光滑斜面上的运动（沿斜面初速度垂直斜面方向？注意：沿斜面方向的加速度为gsinθ，垂直斜面方向无加速度）。 ⏩高频考向深研⏪ 考向一 平抛运动 1. 基本概念：物体以一定初速度v0水平抛出，仅受重力作用的曲线运动，轨迹为抛物线。 2. 运动性质：匀变速曲线运动，加速度恒为重力加速度 g（大小方向不变）。 独立性：水平方向匀速直线运动，竖直方向自由落体运动，两分运动互不影响。 3. 产生条件 （1）初速度 v0=0，方向水平； （2）只受重力（忽略空气阻力）。 4. 核心处理思想：运动的合成与分解： 水平方向：匀速直线运动，vx=v0，x=v0t； 竖直方向：自由落体运动，vy=gt，y=gt2/2。 【跟踪训练】（2026·安徽合肥·模拟预测）周末一对父子在一片水平空地上投沙包。父子两人先后站在地面上同一位置从不同高度分别将沙包甲、乙沿同一水平方向抛出，沙包落地前的运动轨迹如图所示。已知沙包甲出手高度是沙包乙出手高度的倍，沙包甲出手速度是沙包乙出手速度的倍。两沙包落地点的距离为。忽略空气阻力，重力加速度为，根据以上条件不能求出（     ） A．沙包甲的水平位移大小 B．沙包乙的出手速度大小 C．两沙包运动的时间之比 D．两沙包的水平位移之比 考向二 平抛运动的规律和应用 1. 核心思想：运动分解： （1）水平方向：匀速直线运动，速度：vx＝v0，位移：x＝v0t （2）竖直方向：自由落体运动，速度：vy=gt，位移：y＝gt2 （3）合运动规律： 合速度：即，v与水平方向夹角为 合位移：即，S与水平方向夹角为 （4）角度关系：速度偏角 α与位移偏角 θ：tanα=2tanθ=2y/x （5）轨迹方程：y=（gx2）/（2v02）（抛物线） （6）时间与高度：飞行时间t＝（仅由高度h决定） （7）水平射程：x＝v0t＝v0（由初速度v0和下落高度h共同决定） 【跟踪训练】（2026·安徽合肥·模拟预测）如图所示，先将小球甲水平抛出，甲抛出后1.5秒将小球乙水平抛出，小球甲、乙将会在空中的点相遇，已知小球甲、乙的抛出点水平距离为，小球甲、乙抛出时的速度大小均为。取重力加速度大小，不计空气阻力，小球可看成质点，则下列说法正确的是（     ） A．小球乙在相遇前运动的时间为 B．小球甲、乙在相遇时速度偏转角相同 C．甲、乙相遇时两小球的速度方向相互垂直 D．小球甲、乙抛出点的高度差 考向三 类平抛运动的分析与处理 1. 定义： 物体受恒定的合外力作用，且初速度方向与合外力方向垂直的运动。 2. 本质：匀变速曲线运动，加速度恒定（大小方向不变）。 3. 与平抛的区别： 平抛：加速度为重力加速度g，方向竖直向下； 类平抛：加速度a为任意恒力（如电场力、斜面重力分量等）产生的加速度，方向不一定是竖直。 注意：类平抛运动关键分析方法 （1）识别条件： 初速度 v0=0 且与合外力方向垂直； 合外力恒定（加速度 a恒定）。 （2）建立坐标系： 以v0方向为x轴，合外力方向为y轴（确保加速度仅在y 方向）。 （3）分解加速度： 若加速度方向与初速度不严格垂直（如斜面上的类平抛），需将加速度正交分解： ax（影响x 方向速度变化）；ay（主导类抛体特征） 【跟踪训练】（2026·湖北襄阳·模拟预测）（多选）如图所示，倾角均为的两个光滑斜面体固定放置，两个斜面、均是正方形，的边长为，的边长未知，是的中点，是的中心，、、在同一条直线上。质量为的小球（视为质点）用长为的轻质细线系于点，在点给小球一个沿方向、大小为的初速度，绕点在斜面内做圆周运动，当小球再次运动到点时，突然剪断细线（不影响小球的速度），此后小球沿斜面运动并从c点离开，重力加速度为，不计空气阻力。下列说法正确的是（     ） A．剪断细线前，小球在点时细线的拉力大小为 B．小球在点的速度大小为 C．的边长为 D．剪断细线后，小球从到的运动时间为 考向四 斜抛运动 1.基本概念 物体以初速度 v0斜向上方（与水平成θ角）抛出，仅受重力作用的曲线运动，轨迹为抛物线。 2. 运动分解（核心思想） 水平方向：匀速直线运动，速度：vx=v0cosθ，位移：x=v0cosθt 竖直方向：竖直上抛运动，速度：vy=v0sinθ−gt，位移：y=v0sinθt−gt2/2 3. 关键物理量 物理量 公式 飞行时间 T=2v0sinθ/g（落回同一水平面） 最大高度 H=(v0sinθ)2/2g 水平射程 X=v02sin2θ/g（对称抛射） 注意：重要结论 射程最大条件：当 θ=45∘时，Xmax=v02/g。 对称性： 上升时间=下降时间=v0sinθ/g； 同一高度速度大小相等，方向对称（水平速度相同，竖直速度等大反向）。 5. 应用场景 抛体问题：投掷铅球、投篮、炮弹轨迹； 斜面斜抛：分解为沿斜面和垂直斜面方向（需调整坐标系）； 非对称抛体：落点高于/低于抛出点时，利用竖直位移方程 y=v0sinθ t−gt2/2求时间。 核心要点： 水平匀速+竖直匀变速（加速度−g）； 抓对称性、最值条件（θ=45∘θ=45∘ 射程最大）； 斜面问题通过旋转坐标系转化为类平抛处理。 【跟踪训练】（2026·宁夏吴忠·三模）（多选）某游客摄像记录打铁花表演中两个质量相同的铁花a、b（均视为质点）在同一竖直面内运动的轨迹图，如图2所示。若a、b从水平地面上B点的正上方A处以相同速率v同时水平和向右上方飞出，恰好落在地面上同一处C点（铁花飞行过程中所受阻力不计），则下列说法正确的是（     ） A．两个铁花落地时间相同 B．两铁花落地时速度相同 C．b铁花在最高点时的速度不为0 D．a铁花落地时重力的瞬时功率较小 核心考点 平抛运动的相关规律和推论 1.水平射程：x＝v0t＝v0（由初速度v0和下落高度h共同决定） 2.飞行时间:由知,飞行时间取决于下落高度h,与初速度v0无关. 3.落地速度: ,以θ表示落地速度与x轴正方向间的夹角,有,所以落地速度只与初速度v0和下落高度h有关. 4.速度改变量:物体在任意相等时间内的速度改变量相同,方向恒为竖直向下. 5.平抛运动的两个重要结论 ①做平抛运动的物体在任意时刻(任意位置)处，有. 推导： ②做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过水平位移的中点， 如图所示，即. 推导： 【跟踪训练】（25-26高一下·河南新乡·阶段检测）物理兴趣小组在封闭隔离的专用实验高台上开展平抛探究实验，自同一高度处，沿同一水平方向，先后以大小不同的初速度抛出两个完全相同的小球A、B，它们在空中运动的轨迹分别如图中曲线a、b所示。不计空气阻力，关于两小球的平抛运动，下列说法正确的是（     ） A．小球A、B的初速度大小之比为 B．小球B的速度变化量大于小球A的速度变化量 C．两小球落地时重力的瞬时功率相同 D．两小球落地瞬间，A速度与水平方向的夹角是B速度与水平方向的夹角的2倍 素养进阶·答题技法突破 攻坚指南・重难突破——解题思路 【重难突破01】平抛运动的临界问题 1. 最小初速度问题 障碍物临界：轨迹抛物线恰好与障碍物相切。 条件：切点处竖直分速度 vy2=2gh（h为障碍物高度），水平位移 x=v0t。 落入坑洞：轨迹端点与坑洞边界相切，利用位移方程联立几何约束求解 v0范围。 2. 斜面碰撞临界 垂直落至斜面：末速度方向垂直斜面 → vx与 vy满足 tanβ=gt/v0（β为斜面倾角）。 最远撞击点：位移方向与斜面平行 → tanβ=y/x=gt2/v0。 关键： 几何约束：画轨迹图，找切点或边界条件； 瞬时状态分析：利用速度/位移方向与临界线（斜面、障碍）的关系列方程。 【跟踪训练】（2026·云南昆明·模拟预测）智能网球发球机可将网球从发球口沿水平面内任意方向以不同大小的速度击出，供运动员进行训练。如图所示，发球机置于网球场左侧底线AB的中点M处，发球口在M点正上方高度为的O点。球网两侧球场ABCF与FCDE为边长相同的正方形，球网高度为。不计空气阻力。则网球（视为质点）直接落在右侧球场中所有可能落点构成图形的形状为（    ） A． B． C． D． 【重难突破02】 平抛运动与斜面的结合分析 平抛运动与斜面的结合：核心思想 模型 思想 内容 斜面 核心关系 垂直打在斜面上 分解速度 速度关系： vx＝v0 vy＝gt v＝ 位移关系： x＝v0t y＝gt2 s＝ tan θ＝＝ → t＝ 平抛再次落在斜面上（位移偏转角） 分解位移 tan θ＝＝ → t＝ 平抛再次落在斜面上（速度偏转角） 角度关系 tan φ＝ ＝ ＝＝2tan θ ，α＝φ－θ 切向落入斜面 分解速度 tan θ＝＝ → t＝ 离斜面最远 角度关系 tan θ＝＝→t＝ 【跟踪训练】（2026·河南信阳·模拟预测）如图所示，一个平台静止在水平面上，现给水平面上点处的小球一个斜向上的初速度，使小球从平台上表面左端的点沿水平方向滑上平台，已知、连线与水平方向的夹角为，则小球抛出的初速度与水平方向的夹角应满足的条件是（　　） A． B． C． D． 【重难突破03】 平抛运动与曲面的结合分析 平抛运动与曲面的结合：核心思想 模型 方法 内容 斜面 与曲面内切 分解速度 水平：vx＝v0 竖直：vy＝gt tan θ＝＝ → t＝ 从斜面一端射入 由半径和几何关系 h＝gt2，R＋＝v0t 与曲面外切 分解速度 水平：vx＝v0 竖直：vy＝gt tan θ＝＝ → t＝ 【跟踪训练】（2026·河北邢台·二模）如图所示，半圆形凹槽半径为R，圆心为O，MN为水平直径。A点与O等高，B点在O点正下方，P点位于槽面上，P到O的水平距离为。现从A、B点分别以水平速度vA、vB抛出小球，恰好都垂直槽面击中P点，所用时间分别为tA、tB。不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A． B． C． D．A、B、P三点不共线 易错剖析・避坑攻略——易错归纳 【易混易错01】关联速度的分析——运动分解的核心思想 关联速度中常见的速度分解模型 情景图示 定量结论 v＝v物cos θ v物′＝v∥＝v物cos θ v∥＝v∥′ 即v物cos θ＝v物′cos α v∥＝v∥′ 即v物cos α＝v物′cos β 【跟踪训练】（2026·江西·三模）某种窗户支架如图甲所示，其工作原理简化图如图乙所示。ad杆的a点通过铰链固定在滑槽导轨中，d点通过铰链固定在窗户底面，滑块可在滑槽导轨中自由滑动，bc杆的c点通过铰链固定在滑块上，b点通过铰链固定在ad杆上。某次关闭窗户的过程中，ad杆绕a点匀速转动，则下列说法正确的是（　　） A．点和点的速度大小可能相等 B．点的速度大小始终小于点的速度大小 C．点和点的加速度大小可能相等 D．点的加速度大小始终大于点的加速度大小 【易混易错02】斜抛运动的物理量求解——多过程问题 斜抛运动多过程物理量求解核心思想：对称性： 上升时间=下降时间=v0sinθ/g； 同一高度速度大小相等，方向对称（水平速度相同，竖直速度等大反向）。 【跟踪训练】（2026·广东广州·二模）（多选）如图所示，某同学将离地1.25m的网球以13m/s的速度斜向上击出，击球点到竖直墙壁的距离4.8m。当网球竖直分速度为零时，击中墙壁上离地高度为8.45m的P点。网球与墙壁碰撞后，垂直墙面速度分量大小变为碰前的0.75倍，平行墙面的速度分量不变。重力加速度g取10m/s2，空气阻力不计，则（     ） A．网球与墙壁碰撞前在空中的飞行时间为1.2s B．网球与墙壁碰撞前瞬间的速度大小为12m/s C．网球与墙壁碰撞前瞬间的速度方向与墙壁的夹角正弦值为0.8 D．网球与墙壁碰撞后瞬间的速度大小为 技法提炼・审题点拨——技巧总结 【技法点拨01】运动的特殊分解的情景创新的问题处理 1. 按实际作用效果分解。最典型的是将速度分解为： 沿绳（杆）方向：此分速度改变速度大小（提供拉力或支撑）。 垂直绳（杆）方向：此分速度改变速度方向（使物体绕固定点转动）。 注意：核心原则：根据运动产生的实际效果（如重力方向、接触面约束）选择分解方向，而非机械正交分解。例如斜面问题常分解为沿斜面和垂直斜面方向，使牛顿定律更易应用。掌握此方法能快速解决连接体、圆周运动临界等问题，大大提高解题效率。 2. 按运动独立性建立坐标系： 沿初速度方向：分解为匀速直线运动（水平方向速度不变）。 沿重力方向：分解为匀变速直线运动（竖直方向加速度恒为g）。 注意：关键技巧： 斜抛可进一步分解为水平匀速（vx=v0cosθ）和竖直上抛（vy=v0sinθ−gt）。 最高点：竖直分速为零，水平速度保留。 优势：利用两个直线运动的规律合成复杂曲线，简化计算 【跟踪训练】（2026·福建·三模）投喂海鸟是很多游客最喜爱的活动。一只海鸟在距离游客高处以水平速度匀速飞行，游客面向海鸟飞来的方向，以与水平面成角斜向上抛出食物，海鸟恰好在食物运动到轨迹最高点时接住食物。飞鸟与食物轨迹在同一竖直面内，不计空气阻力，，，。求： (1)食物从抛出到升至最高点的时间； (2)食物抛出时的初速度大小； (3)游客抛出食物时，海鸟到游客的水平距离。 【技法点拨02】逆向、对称、极限等物理思维考查 在高中物理曲线运动中，逆向、对称、极限三大物理思维是破解复杂问题的关键： 1. 逆向思维 将末状态视为初状态反向推理。 应用：竖直上抛运动可视为自由落体的逆过程（时间、速度对称），平抛运动中从落点反推初速度。 例：物体从斜面抛回原点问题，逆转为平抛计算时间。 2. 对称性分析 利用轨迹或过程的几何/时间对称性简化问题。 斜抛运动：轨迹关于最高点轴对称，上升与下降时间相等，水平位移对称。 圆周运动：匀速圆周中速度、加速度大小周期性对称；非匀速圆周中常找特殊对称点（如最高点、最低点）分析受力。 3. 极限思想 通过极端假设（如速度极大/小、角度趋近0°或90°）分析临界状态。 斜面抛体：倾角θ→90°时射程趋近于0，验证结论 R=（2v02tanθ）/g​。 考查核心： 逆向：转换视角，化难为易； 对称：减少计算，直击本质； 极限：界定范围，突破临界。 掌握三者可高效解决轨迹分析、临界条件、极值求解等难题 【跟踪训练】 （2026·湖北·模拟预测）（多选）如图，在地面上有一可左右移动的发射装置，能使小球乙以与地面成30°的速度抛出，现地面上方某处固定另一发射装置可将小球甲以水平向右抛出，AI智能控制发射装置同时发射。若当两个发射装置在同一条竖直线上时发射小球，恰好乙球运动到最高点处两球相遇，重力加速度取。（　　） A．乙球抛出的速度为 B．甲球抛出时在地面上方处 C．将发射装置乙向右平移，并将乙的发射速度改为，两小球可在空中相遇 D．将发射装置乙向左平移，无论乙的发射速度为多少，两小球不可能在空中相遇 $